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Data-Structrue/6-tree-ex.md

@@ -80,7 +80,7 @@ $C.$后序线索树
 
 $D.$所有线索树
 
-解：$C$。前序遍历（中左右）、中序遍历（左中右）的最后访问的节点都是左或右叶节点，叶节点是没有子树的，所以两个指针域空出来了，可以存放线索指针用于回溯。但是后序遍历（左右中），最后访问的是子树的根节点，子树根节点的两个指针域都指向子树了，所以不能空出来存放线索信息，只能借助栈存储。
+解：$C$。前序遍历（中左右）、中序遍历（左中右）的最后访问的结点都是左或右叶结点，叶结点是没有子树的，所以两个指针域空出来了，可以存放线索指针用于回溯。但是后序遍历（左右中），最后访问的是子树的根结点，子树根结点的两个指针域都指向子树了，所以不能空出来存放线索信息，只能借助栈存储。
 
 #### 二叉树个数
 
@@ -108,7 +108,7 @@ $C.$后序遍历
 
 $D.$层次遍历
 
-解：$C$。首先无论是什么遍历方式都会是从左到右的顺序，所以最先找到的一定是左边的结点，最后找到的一定是右边的结点。$m$是$n$的祖先。先序遍历访问次序：左根右，当$n$在左边遍历时会找到$m$到$n$的路径，而当$n$在右边时，由于已经遍历完根节点和左子树，则根和左部分的结点没用了就会出栈（使用递归算法时函数数据由栈保存），则$m$就丢掉了，也就不能找到$m$到$n$的路径。同理中序遍历也是会丢掉根和左部分，若$n$在右边则会丢失路径。层次遍历每遍历都会丢掉根节点，所以也不能找到。而后序遍历最后遍历根结点，所以根结点会一直保留到子结点全部遍历完才会丢弃，则此时就能找到$n$到$m$的路径。
+解：$C$。首先无论是什么遍历方式都会是从左到右的顺序，所以最先找到的一定是左边的结点，最后找到的一定是右边的结点。$m$是$n$的祖先。先序遍历访问次序：左根右，当$n$在左边遍历时会找到$m$到$n$的路径，而当$n$在右边时，由于已经遍历完根结点和左子树，则根和左部分的结点没用了就会出栈（使用递归算法时函数数据由栈保存），则$m$就丢掉了，也就不能找到$m$到$n$的路径。同理中序遍历也是会丢掉根和左部分，若$n$在右边则会丢失路径。层次遍历每遍历都会丢掉根结点，所以也不能找到。而后序遍历最后遍历根结点，所以根结点会一直保留到子结点全部遍历完才会丢弃，则此时就能找到$n$到$m$的路径。
 
 **例题** 若$X$是二叉中序线索树中一个有左孩子的结点，且$X$不为根，则$X$的前驱为()。
 
@@ -204,7 +204,25 @@ $D.n+2$
 
 ### 平衡二叉树
 
-#### 结点数
+**例题** 在任意一棵非空平衡二叉树（$AVL$树）$T_1$中，删除某结点$v$之后形成平衡二叉树$T_2$，再将$v$插入$T_2$，形成平衡二叉树$T_2$。下列关于$T_1$与$T_3$的叙述中，正确的是()。
+
+Ⅰ.若$v$是$T$的叶结点，则$T_1$与$T_3$可能不相同
+
+Ⅱ.若$v$不是$T$的叶结点，则$T_1$与$T_3$一定不相同
+
+Ⅲ.若$v$不是$T$的叶结点，则$T_1$与$T_3$一定相同
+
+$A.$仅Ⅰ
+
+$B.$仅Ⅱ
+
+$C.$仅Ⅰ、Ⅱ
+
+$D.$仅Ⅰ、Ⅲ
+
+解：$A$。在非空平衡二叉树中插入结点，在失去平衡调整前，一定插入在叶结点的位置。若删除的是$T_1$的叶结点，则删除后平衡二叉树不会失去平衡，即不会发生调整，再插入此结点得到的二叉平衡树$T_1$与$T_3$相同。若删除后平衡二叉树失去平衡而发生调整，再插入结点得到的二叉平衡树$T_1$与$T_3$可能不同，如一个平衡树的一个子树只有一个结点，删除这个结点则平衡树必然失衡，肯定会重新调整。Ⅰ正确。若$v$不是$T$的叶结点，则删除可能相同也可能不同。一般而言删除一个结点，然后重新加入是从叶子结点处加入，所以肯定不是在原来的根位置。但是如果删除会失衡，则会调整，所以可能会调整回原来的位置。
+
+#### 深度
 
 **例题** 含有$20$个结点的平衡二叉树的最大深度为()。
 
@@ -234,6 +252,8 @@ $D.3$
 
 ### 哈夫曼树
 
+#### 编码字符数
+
 **例题** 设哈夫曼编码的长度不超过$4$，若已对两个字符编码为$1$和$01$，则还最多可对()个字符编码。
 
 $A.2$
@@ -248,6 +268,8 @@ $D.5$
 
 <!-- 若哈夫曼编码的长度只允许小于等于$4$，则哈夫曼树的高度最高是$5$，已知一个字符编码为$1$，另一个字符编码是$01$，这说明第二层和第三层各有一个叶子结点，为使得该树从第3层起能够对尽可能多的字符编码，余下的二叉树应该是满二叉树，底层可以有$4$个叶结点，最多可以再对$4$个字符编码。 -->
 
+#### 结点数
+
 **例题** 若度为$m$的哈夫曼树中，叶子结点个数为$n$，则非叶子结点的个数为()。
 
 $A.n-1$
@@ -260,20 +282,54 @@ $D.\lceil n/(m-1)\rceil-1$
 
 解：$C$。一棵度为$m$的哈夫曼树应只有度为$0$和$m$的结点，设度为$m$的结点（叶子结点）有$n_m$个，度为$0$的结点有$n_0$个，又设结点总数为$n$，$n=n_0+n_m$。因有$n$个结点的哈夫曼树有$n-1$条分支，则根据总结点与度数关系的公式（$n=n_1+2n_2+\cdots+mn_m+1$）得到$mn_m=n-1=n_m+n_0-1$，整理得$(m-1)n_m=n_0-1$，$n_m=(n-1)/(m-1)$。
 
-**例题** 在任意一棵非空平衡二叉树（$AVL$树）$T_1$中，删除某结点$v$之后形成平衡二叉树$T_2$，再将$v$插入$T_2$，形成平衡二叉树$T_2$。下列关于$T_1$与$T_3$的叙述中，正确的是()。
+#### 路径
 
-Ⅰ.若$v$是$T$的叶结点，则$T_1$与$T_3$可能不相同
+**例题** 下列选项给出的是从根分别到达两个叶结点路径上的权值序列，属于同一棵哈夫曼树的是()。
 
-Ⅱ.若$v$不是$T$的叶结点，则$T_1$与$T_3$一定不相同
+$A.24,10,5$和$24,10,7$
 
-Ⅲ.若$v$不是$T$的叶结点，则$T_1$与$T_3$一定相同
+$B.24,10,5$和$24,12,7$
 
-$A.$仅Ⅰ
+$C.24,10,10$和$24,14,11$
 
-$B.$仅Ⅱ
+$D.24,10,5$和$24,14,6$
 
-$C.$仅Ⅰ、Ⅱ
+解：$D$。首先根据两个叶子，以及访问到叶子的前一个结点，这个结点一定是叶子的父亲结点。再根据哈夫曼树的结点一定有兄弟，即不存在度为$1$的结点。因此可以知道兄弟的权值，这样，给定的一个序列就可以推出两个叶子，两个序列推出四个叶子，这样就可以根据是否选择最小的两个叶子结点组合在一起作为判据，决定这个序列是否成立了。
 
-$D.$仅Ⅰ、Ⅲ
+对于$D$，第一组最后一个是叶子结点为$5$的权值，中间的是$10$，则另一个叶子结点权值是$10-5=5$。这里不能继续推出。然后看第二组最后一个是叶子结点的权值为$6$，则另一个叶子结点权值为$14-6=8$。所以可以构造哈夫曼树：
 
-解：$A$。在非空平衡二叉树中插入结点，在失去平衡调整前，一定插入在叶结点的位置。若删除的是$T_1$的叶结点，则删除后平衡二叉树不会失去平衡，即不会发生调整，再插入此结点得到的二叉平衡树$T_1$与$T_3$相同。若删除后平衡二叉树失去平衡而发生调整，再插入结点得到的二叉平衡树$T_1$与$T_3$可能不同，如一个平衡树的一个子树只有一个结点，删除这个结点则平衡树必然失衡，肯定会重新调整。Ⅰ正确。若$v$不是$T$的叶结点，则删除可能相同也可能不同。一般而言删除一个结点，然后重新加入是从叶子结点处加入，所以肯定不是在原来的根位置。但是如果删除会失衡，则会调整，所以可能会调整回原来的位置。
+```txt
+   24
+    |
+ ------
+ 10  14
+ |    |
+---  ---
+| |  | |
+5 5  6 8
+```
+
+同理分析$A$，$24,10,5$和$24,10,7$两组的第二个权值相加为$20\neq24$，权值根本不相等不是哈夫曼树。
+
+同理$B$，$24,10,5$和$24,12,7$第二个权值相加也不等于第一个值，所以也不对。
+
+对于$C$，$24,10,10$和$24,14,11$数值相加都能对的上，计算两个叶子权值$10-10=0$、$14-11=3$。具体构造出哈夫曼树：
+
+```txt
+   24
+    |
+ -------
+ 10   14
+ |     |
+----  ----
+|  |  |  |
+10 0  11 4
+```
+
+看叶子节点的值，最小的是$0$和$4$，他们应该结合在一起，所以构造有问题。
+
+### 并查集
+
+**例题** 假设初始化$0\sim9$的并查集，按照$1-2$、$3-4$、$5-6$、$7-8$、8-9$、$1-8$、$0-5$、$1-9$的顺序进行查找和合并，求最后集合数量。
+
+解：初始化时$0\sim9$一共十个集合。$1-2$时合并$\{1,2\}$。$3-4$时合并$\{3,4\}$、$5-6$时合并$\{5,6\}$、$7-8$时合并$\{7,8\}$、$8-9$时合并$\{7,8,9\}$、$1-8$时合并$\{1,2,7,8,9\}$、$0-5$时合并$\{0,5,6\}$、$1-9$时属于同一集合不用合并。最后为$\{0,5,6\}$、$\{1,2,7,8,9\}$、$\{3,4\}$，所以有三个。

Data-Structrue/7-graph.md

@@ -18,8 +18,8 @@
 + 有向图：若$E$是有向边（也称弧）的有限集合时，则图$G$为有向图。弧是顶点的有序对，记为$<v,w>$，其中$v$、$w$是顶点，$v$称为弧尾，$w$称为弧头，$<v,w>$称为从顶点$v$到顶点$w$的弧，也称$v$邻接到$w$，或$w$邻接自$v$。$<v,w>\neq<w,v>$。
 + 简单图：不存在重复边，且不存在顶点到自身的边。一般的图默认是简单图。
 + 多重图：图$G$中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边与自己关联。
-+ 无向完全图：对于无向图$\vert E\vert\in[0,n(n-1)/2]$，无向图中任意两个顶点之间都存在边。
-+ 有向完全图：对于有向图$\vert E\vert\in[0,n(n-1)]$，有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。
++ 无向完全图：对于无向图$\vert E\vert\in[0,n(n-1)/2]$，无向图中任意两个顶点之间都存在边，即$\vert E\vert=n(n-1)/2$。
++ 有向完全图：对于有向图$\vert E\vert\in[0,n(n-1)]$，有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，即$\vert E\vert=n(n-1)$。
 + 稀疏图：一般$\vert E\vert<\vert V\vert\log\vert V\vert$的图。
 + 稠密图：一般$\vert E\vert>\vert V\vert\log\vert V\vert$的图。
 + 树：不存在回路，且连通的无向图。
@@ -27,11 +27,13 @@
 
 ### 顶点的度
 
-对于无向图，顶点$v$的度是指依附于该顶点的边的条数，记为$TD(v)$。$\sum\limits_{i=1}^nTD(v_i)=2\vert E\vert$。
+对于无向图，顶点$v$的度是指依附于该顶点的边的条数，记为$TD(v)$。
 
-对于具有$n$个顶点，$e$条边的无向图，$\sum\limits_{i=1}^nTD(v_i)=2e$，即无向图的全部顶点的度的和等于边数的两倍。
+对于具有$n$个顶点，$e$条边的无向图，$\sum\limits_{i=1}^nTD(v_i)=2\vert E\vert=2e$，即无向图的全部顶点的度的和等于边数的两倍。因为每条边都与两个顶点关联。
 
-对于有向图，入度是指以顶点$v$为终点的有向边的条数，记为$ID(v)$；出度指以顶点$v$为起点的有向边的条数，记为$OD(v)$；顶点$v$的度就是其入度和出度之和，即$TD(v)=ID(v)+OD(v)$。$\sum\limits_{i=1}^nID(v_i)=\sum\limits_{i=1}^nOD(v_i)=\vert E\vert$。因为每条有向边都有一个起点和重点。
+对于有向图，入度是指以顶点$v$为终点的有向边的条数，记为$ID(v)$；出度指以顶点$v$为起点的有向边的条数，记为$OD(v)$；顶点$v$的度就是其入度和出度之和，即$TD(v)=ID(v)+OD(v)$。$\sum\limits_{i=1}^nID(v_i)=\sum\limits_{i=1}^nOD(v_i)=\vert E\vert$。因为每条有向边都有一个起点和终点。
+
+有向树：一个顶点的入度为$0$，其他顶点入度均为$1$的有向图。
 
 ### 顶点的关系
 
@@ -47,20 +49,20 @@
 ### 图的连通
 
 + 连通：在无向图中，若从顶点$v$到顶点$u$有路径存在，则称$uv$是连通的。
-+ 强连通：在有向图中，若从顶点$v$到顶点$u$和从顶点$u$到顶点$v$之间都有路径，则称强连通。
-+ 连通图：无向图中任意两个顶点之间都是连通的。对于$n$个顶点的无向图，若其是连通图，则最少需要$n-1$条边，若其是非连通图，则最多有$C_{n-1}^2$条边。
-+ 强连通图：有向图中任意两个顶点之间都是强连通的。对于$n$个顶点的有相同，若其是强连通图，则最少需要$n$条边来形成环路。
++ 强连通：在有向图中，若从顶点$v$到顶点$u$和从顶点$u$到顶点$v$之间都有路径，则称$uv$是强连通。
++ 连通图：无向图中任意两个顶点之间都是连通的。对于$n$个顶点的无向图，若其是连通图，则最少需要$n-1$条边，若其是非连通图，则最多有$C_{n-1}^2$条边（$n-1$个顶点构成一个完全图）。
++ 强连通图：有向图中任意两个顶点之间都是强连通的。对于$n$个顶点的有向图，若其是强连通图，则最少需要$n$条边来形成环路。
 + 子图：设有两个图$G=(V,E)$和$G'=(V',E')$，若$V'$是$V$的子集，$E'$是$E$的子集，则$G'$是$G$的子图。
-+ 生成子图：若有满足$V(G')=V(G)$的子图$G'$，则$G'$是$G$的生成子图。
++ 生成子图：若有满足$V(G')=V(G)$的子图$G'$，则$G'$是$G$的生成子图。（即子图包含所有顶点，但不一定包含所有的边）
 + 连通分量：无向图$G$中的极大连通子图称为$G$的连通分量；对任何连通图而言，连通分量就是其自身。
 + 强连通分量：有向图$G$中的极大连通子图称为$G$的强连通分量；对任何强连通图而言，强连通分量就是其自身。
++ 极大连通子图：是图的连捅分量，要求连通子图包含其所有的边。
++ 极小连通子图：要保持图连通也要让边数最小的子图。
 + 生成树：包含连通图中全部顶点的一个极小连通子图。若图的顶点为$n$，则其生成树包含$n-1$条边，若去掉生成树的一条边则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
 + 生成森林：在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。
 
 无向图研究连通性，有向图研究强连通性。
 
-区分极大连通子图和极小连通子图。极大连通子图是无向图的连通分量，极大即要求该连通子图包含其所有的边；极小连通子图是既要保持图连通又要使得边数最少的子图。
-
 ### 图的权
 
 + 边的权：在一个图中，每条边都可以表上具有某种含义的数值，这就是该边的权值。