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408/数据结构/6 树和二叉树/6 树和二叉树.md

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 ### 6.1① 已知一棵树边的集合为 $\{ <I, M>, <I, N>, <E, I>, <B, E>, <B, D>, <A, B>, <G, J>, <G, K>, <C, G>, <C, F>, <H, L>, <C, H>, <A, C> \}$，请画出这棵树，并回答下列问题：
 
+```mermaid
+graph TB
+A --- B
+A --- C
+B --- D
+B --- E
+C --- F
+C --- G
+C --- H
+E --- I
+G --- J
+G --- K
+H --- L
+I --- M
+I --- N
+```
+
 #### （1）哪个是根结点？
 
+A。
+
 #### （2）哪些是叶子结点？
 
+D、F、J、K、L、M、N。
+
 #### （3）哪个是结点 G 的双亲？
 
+C。
+
 #### （4）哪些是结点 G 的祖先？
 
+A、C。
+
 #### （5）哪些是结点 G 的孩子？
 
+J、K。
+
 #### （6）哪些是结点 E 的子孙？
 
+I、M、N。
+
 #### （7）哪些是结点 E 的兄弟？哪些是结点 F 的兄弟？
 
+D；G、H。
+
 #### （8）结点 B 和 N 的层次号分别是什么？
 
+2 和 5。
+
 #### （9）树的深度是多少？
 
+5。
+
 #### （10）以结点 C 为根的子树的深度是多少？
 
+3。
+
 ### 6.2① 一棵度为 2 的树与一棵二叉树有何区别？
 
+- 度为 2 的树至少有 3 个节点，而二叉树可以为空。
+- 度为 2 的有序树的孩子的左右次序是相对于另一孩子而言的，若某节点只有一个孩子，则这个孩子就无需区分其左右次序，而二叉树无论其孩子数是否为 2，均需确定其左右次序，即二叉树的结点次序不是相对于另一结点而言，而是确定的。 
+
 ### 6.3① 试分别画出具有 3 个结点的树和 3 个结点的二叉树的所有不同形态。
 
+
+
 ### 6.4③ 一棵深度为 $H$ 的满 $k$ 叉树有如下性质：第 $H$ 层上的结点都是叶子结点，其余各层上每个结点都有 $k$ 棵非空子树。如果按层次顺序从 1 开始对全部结点编号，问：
 
-#### （1）各层的结点数目是多少?(2）编号为p的结点的父结点（若存在)的编号是多少？(3）编号为p的结点的第i个儿子结点(若存在）的编号是多少?（4)编号为p的结点有右兄弟的条件是什么?其右兄弟的编号是多少？6.5②已知一棵度为k的树中有M个度为1的结点，M2个度为2的结点，…，n个度为k的结点，问该树中有多少个叶子结点?
+#### （1）各层的结点数目是多少？
+
+$3^{k - 1}$。
+
+#### （2）编号为 $p$ 的结点的父结点（若存在）的编号是多少？
+
+$[p / k + 1 / 2]$。
+
+#### （3）编号为 $p$ 的结点的第 $i$ 个儿子结点（若存在）的编号是多少？
+
+$p \times k - [k + 1 / 2] + i$。
+
+#### （4）编号为 $p$ 的结点有右兄弟的条件是什么？其右兄弟的编号是多少？
+
+### 6.5② 已知一棵度为 $k$ 的树中有 $n_1$ 个度为 1 的结点，$n_2$ 个度为 2 的结点，……，$n_k$ 个度为 $k$ 的结点，问该树中有多少个叶子结点？
+
+### 6.6③ 已知在一棵含有 $n$ 个结点的树中，只有度为 $k$ 的分支结点和度为 0 的叶子结点。试求该树含有的叶子结点的数目。
+
+### 6.7③ 一棵含有 $n$ 个结点的 $k$ 叉树，可能达到的最大深度和最小深度各为多少？
+
+可能达到的最大深度为 $n$，最小深度为 $1 + \log_{k}n$。
+
+### 6.8① 证明：一棵满 $k$ 叉树上的叶子结点数 $n_0$ 和非叶子结点数 $n_1$ 之间满足以下关系：
+
+$$
+n_0 = (k - 1) n_1 + 1
+$$
+
+### 6.9② 试分别推导含 $n$ 个结点和含 $n_0$ 个叶子结点的完全三叉树的深度 $H$。
+
+含 $n$ 个结点的完全三叉树的深度 $H = \log_3{n} + 1$；含 $n_0$ 个叶子结点的完全三叉树的深度 $H = n_0$
+
+### 6.10① 对于那些所有非叶子结点均有非空左右子树的二叉树：
+
+#### （1）试问：有 $n$ 个叶子结点的树中共有多少个结点？
+
+#### （2）试证明：$\sum\limits_{i = 1}^{n}2^{-(l_i - 1)}=1$，其中 $n$ 为叶子结点的个数，$l_i$ 表示第 $i$ 个叶子结点所在的层次（设根结点所在层次为 1）。
+
+### 6.11③ 在二叉树的顺序存储结构中，实际上隐含着双亲的信息，因此可和三叉链表对应。假设每个指针域占 4 个字节的存储，每个信息域占 $k$ 个字节的存储。试问：对于一棵有 $n$ 个结点的二叉树，且在顺序存储结构中最后一个结点的下标为 $m$，在什么条件下顺序存储结构比三叉链表更节省空间？
+
+### 6.12② 对题 6.3 所得各种形态的二叉树，分别写出前序、中序和后序遍历的序列。
+
+### 6.13② 假设 $n$ 和 $m$ 为二叉树中两结点，用「1」、「0」或「φ」（分别表示肯定、恰恰相反或者不一定）填写下表：
+
+|       ---       | 前序遍历时n在m前? | 中序遍历时n在m前? | 后序遍历时n在m前? |
+| :-------------: | :---------------: | :---------------: | :---------------: |
+| $n$ 在 $m$ 左方 |         1         |         1         |         1         |
+| $n$ 在 $m$ 右方 |         0         |         0         |         0         |
+| $n$ 是 $m$ 祖先 |         1         |         φ         |         φ         |
+| $n$ 是 $m$ 子孙 |         1         |         φ         |         φ         |
+
+> 注：如果 ① 离 a 和 b 最近的共同祖先 p 存在，且 ② a 在 p 的左子树中，b 在 p 的右子树中，则称 a 在 b 的左方（即 b 在 a 的右方）。
+
+### 6.14② 找出所有满足下列条件的二叉树：
+
+#### （a）它们在先序遍历和中序遍历时，得到的结点访问序列相同；
+
+```mermaid
+graph TB
+1(1)
+```
+
+#### （b）它们在后序遍历和中序遍历时，得到的结点访问序列相同；
+
+```mermaid
+graph TB
+1(1) --- 2(2)
+2(2) -.- n(n)
+```
+
+#### （c）它们在先序遍历和后序遍历时，得到的结点访问序列相同；
+
+```mermaid
+graph TB
+
+```
+
+### 6.15② 请对右图所示二叉树进行后序线索化，为每个空指针建立相应的前驱或后继线索。
+
+
+