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408/数据结构/期中考试.md

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+### 1、字符串 `S` 的长度为 `n`，`S` 中的字符 `S[i]` 满足 `'A' <= S[i] <= 'Z'`，请设计一个时间上尽可能高效的算法，统计 `S` 中有多少个不同的字母。要求：
+
+#### （1）给出算法的基本设计思想。
+
+建立 `occur[26]`，初始值为 0，当字母出现时，相应位置设为 1，遍历字符串，输出 `occur` 中 1 的个数。
+
+#### （2）根据设计思想，采用 C 或 C++ 语言描述算法，关键之处给出注释。
+
+```cpp
+int occur[26]; // 建立数组表示字母是否出现，初始为 0
+int alphabet(char *S, int n) {
+    for (int i = 0; i < n; i++) { // 依序读入 S 中字符
+        occur[(int) S[i] - 65] = 1; // 字母出现时，数组相应位置变为 1（'A' ~ 'Z' 的 ASCII 值为 65 ~ 90）
+    }
+    n = 0; // 初始化字母个数为 0
+    for (int i = 0; i < 26; i++) { // 遍历 occur 数组
+        n += occur[i]; // 计算有几个字母出现
+    }
+    return n;
+}
+```
+
+#### （3）说明你所设计的算法的时间复杂度。
+
+时间复杂度为 O(n)。
+
+### 2、对于一棵非空平衡二叉树，其中任何一个节点的平衡因子只为 -1、0、1（平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度）
+
+#### （1）请写出二叉树的结点定义（`data` 域是 `int`）。
+
+```cpp
+typedef struct BiTNode {
+    int data;
+    struct BiTNode *lchild, *rchild;
+} BiTNode, *BiTree;
+```
+
+#### （2）设 $a[h]$ 表示满足高为 $h$ 的平衡二叉树的最小节点数。$h = 1$ 时，只有根节点，$a[1] = 1$；$h = 2$ 时，$a[2] = 2$。请推导出 $a[h]$ 的递推关系式。
+
+$$
+a[h] = \begin{cases}
+h & h = 1, 2\\ 
+a[h - 1] + a[h - 2] + 1 & h \ge 3
+\end{cases}
+$$
+
+#### （3）对于下面这颗平衡二叉树，执行如下操作：删除 98，删除 115，插入37，插入 54。请分别画出每一步插入或者删除操作完成后的平衡二叉树。
+
+```mermaid
+graph TB
+subgraph 5
+28 ---|L| 23
+28 ---|R| 37
+23 ---|L| 15
+23 ---|R| 54
+37 ---|R| 34
+end
+subgraph 4
+d1(23) ---|L| d3(15)
+d1 ---|R| d2
+d2(37) ---|L| d5(28)
+d2 ---|R| d6(34)
+end
+subgraph 3
+c1(23) ---|L| c3(15)
+c1 ---|R| c2(34)
+c2 ---|L| c4(28)
+end
+subgraph 2
+b1(34) ---|L| b2(23)
+b1 ---|R| b3(115)
+b2 ---|L| b4(15)
+b2 ---|R| b5(28)
+end
+subgraph 1
+a1(34) ---|L| a2(23)
+a1 ---|R| a3(98)
+a2 ---|L| a4(15)
+a2 ---|R| a5(28)
+a3 ---|R| a6(115)
+end
+```