更新例题

advanced-math/1-limit/limit.tex

@@ -541,7 +541,7 @@ $\therefore\lim\limits_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。
 
 \subsection{迭代式数列}
 
-\subsubsection{关系式变形}
+\subsubsection{数列表达式}
 
 最重要的是将迭代式进行变形。
 
@@ -577,6 +577,36 @@ $\therefore\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{3}$
 
 \subsubsection{单调有界准则}
 
+对于无法将关系式通过变形归纳为一般式的关系式，对于其极限就必须使用单调有界准则来求出。
+
+单调有界的数列必有极限。需要证明单调性和有界性，然后对式子求极限就能求出目标极限。
+
+\textbf{例题：}$x_0=0$，$x_n=\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n\in N*)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$。\medskip
+
+首先应该知道数列的趋向都是趋向正无穷。
+
+然后对关系式进行变形：$x_n=\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=1+\dfrac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=2-\dfrac{1}{1+x_{n-1}}$。
+
+首先证明单调性，令$f(x)=2-\dfrac{1}{1+x}$。
+
+$\therefore f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}>0$，则$f(x)$单调递增。
+
+所以不管$x=x_{n-1}$或其他，$f'(x)>0$，$x_n$都是单调递增，则$x_n\geqslant x_0=0$。
+
+然后证明有界性，$\because x_n\geqslant 0$且单调，$\therefore x_n=2-\dfrac{1}{1+x_{n-1}}\in[0,2]$。
+
+从而$x_n$有界。
+
+所以根据单调有界定理，$x_n$的极限存在。
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+对于关系式两边取极限：
+
+$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}=\dfrac{1+2\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}}{1+\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}}=\dfrac{1+2\lim\limits_{n\to\infty}x_n}{1+\lim\limits_{n\to\infty}x_n}$。
+
+解该一元二次方程：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，又根据保号性，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n>0$。
+
+$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。
+
 \subsection{变限积分极限}
 
 已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\rm{d}x$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。

advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex

@@ -239,9 +239,7 @@ $\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y
 
 \subsection{复合函数的导数}
 
-$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$，$\rm{d}\{f[g(x)]\}=f'[g(x)]g'(x)\rm{d}x$。
-
-一阶微分形式不变性指：$\rm{d}f(\varsigma)=f'(\varsigma)\rm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么。（类似导数的链式求导法则）
+$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$。
 
 \textbf{例题：}设$f(x)=\Pi_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^a}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？
 
@@ -574,7 +572,9 @@ $\therefore \rm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\rm{
 
 \subsubsection{微分形式不变性}
 
-设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\rm{d}y=y'_x\rm{d}x=y'_u\rm{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的。
+设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\rm{d}y=y'_x\rm{d}x=y'_u\rm{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的，即$\rm{d}\{f[g(x)]\}=f'[g(x)]g'(x)\rm{d}x$。
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+一阶微分形式不变性指：$\rm{d}f(\varsigma)=f'(\varsigma)\rm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么（类似导数的链式求导法则）。
 
 \textbf{例题：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\rm{d}y$。