更新矩阵

advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.tex

@@ -240,6 +240,20 @@ $=-\dfrac{2au}{1+u^2}+2a\arctan u+C=(x-a)\sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}+2a\arctan\sqrt{
 
 $=-\sqrt{a^2-x^2}+2a\arctan\sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}+C$。
 
+特别是根式下是比较古怪的表达式，不能直接通过有理换元计算，可以尝试先部分积分再换元。
+
+\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int\dfrac{xe^x}{\sqrt{1+e^x}}\textrm{d}x}$。
+
+解：若首先进行换元积分法，令$\sqrt{1+e^x}=t$，则$I=2\int\ln(t^2-1)\,\textrm{d}t$。
+
+所以先尝试换元：$\int xe^x(1+e^x)^{-\frac{1}{2}}\,\textrm{d}x=2\int x\,\textrm{d}(\sqrt{1+e^x})=2x\sqrt{1+e^x}-2\int\sqrt{1+e^x}\,\textrm{d}x$，再令$\sqrt{1+e^x}=t$。
+
+则$x=\ln(t^2-1)$，$\textrm{d}x=\dfrac{2t}{t^2-1}\textrm{d}t$。
+
+则$\displaystyle{\int\sqrt{1+e^x}\,\textrm{d}x=\int\dfrac{2t^2}{t^2-1}\textrm{d}t=2\int\dfrac{t^2-1+1}{t^2-1}\textrm{d}t}=2\left(t+\dfrac{1}{2}\ln\left\vert\dfrac{t-1}{t+1}\right\vert\right)+C=2\sqrt{1+e^x}+\ln\dfrac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C$。
+
+$\therefore=2x\sqrt{1+e^x}-4\sqrt{1+e^x}-2\ln\dfrac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C$。
+
 \paragraph{万能公式} \leavevmode \medskip
 
 同样属于有理积分的内容，但是本质还是属于三角函数的部分。
@@ -643,6 +657,16 @@ $=-\dfrac{1}{2(x^2+x+1)}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}-\dfrac
 
 $=-\dfrac{4x+3}{2(x^2+x+1)}-\dfrac{6}{\sqrt{3}}\arctan\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$。
 
+\subsection{不定积分等式}
+
+积分求导就得到微分，题目会给出微分和积分之间的关系式，以求相关的函数表达式。
+
+\textbf{例题：}已知$\int f'(x^3)\,\textrm{d}x=x^3+C$，求$f(x)$表达式。
+
+解：两边求导：$f'(x^3)=3x^2$，令$x^3=t$，则$x=t^\frac{1}{3}$，即$f'(t)=3t^\frac{2}{3}$。
+
+所以$f(x)=\dfrac{9}{5}x^\frac{5}{3}+C$。
+
 \section{定积分}
 
 \subsection{定限积分}
@@ -679,20 +703,26 @@ $=\left[\arctan x+\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]_0^1=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\
 
 \subsubsection{区间再现}
 
-若函数$f(x)$为连续函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^bf(a+b-x)\,\textrm{d}x$。
+若函数$f(x)$为连续函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^bf(a+b-x)\,\textrm{d}x$。区间再现本质是一种换元法，但是实际上是本显式的根据函数周期移动$x$的范围，求出另一种形式，再结合一起解出。
+
+基本上三角函数相关的式子可以用区间再现。
 
 \textbf{例题：}求$\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\textrm{d}x}$。
 
-解：
-
-% 可以使用万能公式来计算，但是这里我们使用区间再现换元法来计算。
-
-$=\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)}{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)+\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)}\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\textrm{d}x}$
+解：$=\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)}{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)+\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)}\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\textrm{d}x}$
 
 又$\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\textrm{d}x+\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\textrm{d}x}$$=\int_0^\frac{\pi}{2}\textrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}$。
 
 $\therefore\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\textrm{d}x}=\dfrac{\pi}{4}$。
 
+\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int_0^\pi}\dfrac{x\sin x}{1+\cos^2x}\textrm{d}x$。
+
+解：首先看题目，貌似分部积分无法进行，因为式子结构不是两个部分，换元法一般的也换不了，
+
+根据区间再现公式，令$x=\pi-t$，则$=-\displaystyle{\int_\pi^0\dfrac{(\pi-t)\sin(\pi-t)}{1+\cos^2(\pi-t)}\textrm{d}t}=$\\$\displaystyle{\int_0^\pi\dfrac{(\pi-t)\sin t}{1+\cos^2t}\textrm{d}t}=\pi\displaystyle{\int_0^\pi\dfrac{\sin t}{1+\cos^2t}\textrm{t}-I}$。
+
+$\therefore=\dfrac{1}{2}\pi\displaystyle{\int_0^\pi\dfrac{\sin t}{1+\cos^2t}\textrm{d}t}=-\dfrac{1}{2}\pi\int_0^\pi\dfrac{\textrm{d}\cos t}{1+\cos^2t}=-\dfrac{1}{2}\pi\arctan\cos t\bigg|_0^\pi=\dfrac{1}{4}\pi^2$。
+
 \subsubsection{换元积分}
 
 换元积分法基本上跟不定积分一样。
@@ -722,6 +752,34 @@ $\therefore\int_0^\frac{\pi}{2}e^{2x}\cos x\,\textrm{d}x=[e^{2x}\sin x+2e^{2x}\c
 
 $\int_0^\frac{\pi}{2}e^{2x}\cos x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{5}[e^{2x}(\sin x+2\cos x)]_0^\frac{\pi}{2}=\dfrac{1}{5}(e^\pi-2)$。
 
+\subsubsection{几何意义}
+
+定积分与不定积分不同的就是定积分具有几何意义，可以在计算时简化操作。
+
+\textbf{例题：}计算$\int_0^1\sqrt{2x-x^2}\,\textrm{d}x$。
+
+解：首先看到这个题目可能会使用换元积分法，但是尝试$t=\sqrt{2x-x^2}$，则$x$无法用$t$表示。
+
+对$\sqrt{2x-x^2}$进行变形，$=\sqrt{1-(x-1)^2}$，令$x-1=t$，则$=\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,\textrm{d}t$，根据定积分的几何意义，这是一个单位圆的四分之一，所以结果等于$\dfrac{1}{4}\pi$。
+
+\subsubsection{定限积分等式}
+
+与不定积分等式一样，存在一些问题给出带有不定积分的等式，需要求里面的包含的函数。其中不同的是定限积分的值都是常数，所以解题时可以令其为一个参数求。
+
+\textbf{例题：}设$f(x)=x^2-x\int_0^2f(x)\,\textrm{d}x+2\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x$，求$f(x)$。
+
+解：令$\int_0^2f(x)\,\textrm{d}x=a$，$\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x=b$。
+
+则等式变为$f(x)=x^2-ax+2b$，所以等式就可以回代到两个参数的定积分中。
+
+$\int_0^2(x^2-ax+2b)\,\textrm{d}x=a$，$\int_0^1(x^2-ax+2b)\,\textrm{d}x=b$。
+
+$\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{ax^2}{2}+2bx\right]_0^2=\dfrac{8}{3}-2a+4b=a$，$\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{ax^2}{2}+2bx\right]_0^1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{a}{2}+2b=b$。
+
+即$b-\dfrac{1}{2}a=-\dfrac{1}{3}$，$4b-3a==\dfrac{8}{3}$，解得$a=\dfrac{4}{3}$，$b=\dfrac{1}{3}$。
+
+则$f(x)=x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
+
 \subsection{变限积分}
 
 \subsubsection{极限}
@@ -758,6 +816,24 @@ $\therefore\varPhi(x)=\left\{\begin{array}{ll}
 
 由于$x\to1^-$时，$\lim\limits_{x\to1^-}\varPhi(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x^3}{3}=\dfrac{1}{3}$。$x=1$时，$\varPhi(1)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}$，所以$\varPhi(x)$在$x=1$处连续，而在其他定义域都是函数，所以也连续，从而$\varPhi(x)$在$(0,2)$上连续。
 
+\subsubsection{极值}
+
+\textbf{例题：}设$f(x)$是定义于$x\geqslant1$的正值连续函数，则求其相关函数$F(x)=\displaystyle{\int_1^x\left[\left(\dfrac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\dfrac{2}{t}+\ln t\right)\right]f(t)\,\textrm{d}t}$（$x\geqslant1$）的极小值点。\medskip
+
+解：按照一般函数一样求极值就是求导，注意的是$t$和$x$含义不同，若对$t$求导，则$x$作为积分上限是看作常数的，所以可以提出去：
+
+$F(x)=\left(\dfrac{2}{x}+\ln x\right)\displaystyle{\int_1^xf(t)\,\textrm{d}t-\int_1^x\left(\dfrac{2}{t}+\ln t\right)f(t)\,\textrm{d}t}$。
+
+$x$求导：$F'(x)=\left(-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right)\int_1^xf(t)\,\textrm{d}t+\left(\dfrac{2}{x}+\ln x\right)f(x)-\left(\dfrac{2}{x}+\ln x\right)f(x)$
+
+$\because f(x)$为连续正值函数，$\therefore=\dfrac{x-2}{x^2}\int_1^xf(t)\,\textrm{d}t=\left\{\begin{array}{lcl}
+    < 0, & & 1<x<2 \\
+    =0, & & x=2 \\
+    >0, & & x>2
+\end{array}\right.$。
+
+所以极小值为$2$。
+
 \subsection{反常积分}
 
 反常积分就是取极限，基本计算方法一样。
@@ -774,6 +850,14 @@ $\therefore=\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{1+\tan u}\textrm{d}u=\in
 
 根据区间再现公式，$\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin u}{\cos u+\sin u}\textrm{d}u=\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\cos u}{\cos u+\sin u}\textrm{d}u=\dfrac{\pi}{4}}$。
 
+\subsubsection{求参数}
+
+题目会给出一个含参的式子，并给出对应的极限值，要求对应的参数值。首先必须知道对应的式子什么时候才会收敛。
+
+\textbf{例题：}已知$\displaystyle{\int_1^{+\infty}\left[\dfrac{2x^2+bx+a}{x(2x+a)}-1\right]}$，求参数。
+
+解：首先将式子化简$=\displaystyle{\int_1^{+\infty}\dfrac{(b-a)x+a}{x(2x+a)}\textrm{d}x=(b-a)\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{2x+a}\textrm{d}x}+$\\$\displaystyle{a\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x(2x+a)}\textrm{d}x}=(b-a)\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{2x+a}\textrm{d}x+\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x}\textrm{d}x-2\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{2x+a}\textrm{d}x$
+
 \subsubsection{递推公式}
 
 \textbf{例题：}利用递推公式计算反常积分$I_n=\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,\textrm{d}x$（$n\in N$）。

linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex

@@ -463,4 +463,76 @@ $(A-E)^{-1}=BA^{-1}=B(B-E)B^{-1}$，然后就不知道接下来怎么办了。
     0 & 0 & 1
 \end{array}\right]$。
 
+\section{矩阵秩}
+
+\subsection{未知参数}
+
+已知一个矩阵的秩，求其矩阵中的参数。需要将矩阵简化，使得最下面的一行除了参数没有别的非零常数。
+
+\textbf{例题：}已知$A=\left[\begin{array}{cccc}
+    1 & 1 & a & 4 \\
+    1 & 0 & 2 & a \\
+    -1 & a & 1 & 0
+\end{array}\right]$，$r(A)=3$，求$A$。
+
+解：首先对$A$化简：$A=\left[\begin{array}{cccc}
+    1 & 1 & a & 4 \\
+    0 & 1 & a-2 & 4-a \\
+    0 & 0 & (a+1)(3-a) & a(a-3)
+\end{array}\right]$，若$r(A)=3$，则$(a+1)(3-a)$与$a(a-3)$不全为0，所以$a\neq3$。
+
+\subsection{矩阵运算}
+
+给出几个矩阵，进行矩阵运算求出对应的秩。
+
+$r(kA)=r(A)$。
+
+$r(AB)\leqslant\min\{r(A),r(B)\}$。当且仅当$AB$满秩等号成立。
+
+$r(A+B)\leqslant r(A|B)\leqslant r(A)+r(B)$。
+
+$r(A^*)=\left\{\begin{array}{l}
+    n, r(A)=n \\
+    1, r(A)=n-1 \\
+    0, r(A)<n-1
+\end{array}\right.$。
+
+\textbf{例题：}已知$A=\left[\begin{array}{cccc}
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    2 & 3 & 4 & 5 \\
+    3 & 4 & 5 & 6 \\
+    4 & 5 & 6 & 7
+\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cccc}
+    0 & 1 & -1 & 2 \\
+    0 & -1 & 2 & 3 \\
+    0 & 0 & 1 & 4 \\
+    0 & 0 & 0 & 2
+\end{array}\right]$，求$r(AB+2A)$。
+
+解：$r(AB+2A)=r(A(B+2E))$。又$B+2E=\left[\begin{array}{cccc}
+    2 & 1 & -1 & 2 \\
+    0 & 1 & 2 & 3 \\
+    0 & 0 & 3 & 4 \\
+    0 & 0 & 0 & 4
+\end{array}\right]$，$r(B+2E)=4$。
+
+又$A=\left[\begin{array}{cccc}
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    2 & 3 & 4 & 5 \\
+    3 & 4 & 5 & 6 \\
+    4 & 5 & 6 & 7
+\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    1 & 1 & 1 & 1
+\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    0 & -1 & -2 & -3 \\
+    0 & 0 & 0 & 0 \\
+    0 & 0 & 0 & 0
+\end{array}\right]$。\medskip
+
+所以$r(A)=2$，$r(AB+2A)=\min\{r(A),r(B+2E)\}=2$。
+
 \end{document}

linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex

@@ -743,7 +743,7 @@ $\sim\left(\begin{array}{ccccc}
 
 $r(kA)=r(A)$。
 
-$r(AB)\leqslant\min\{r(A),r(B)\}$。
+$r(AB)\leqslant\min\{r(A),r(B)\}$。当且仅当$AB$满秩等号成立。
 
 $r(A+B)\leqslant r(A|B)\leqslant r(A)+r(B)$。
 

probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.tex

@@ -34,5 +34,30 @@
 \newpage
 \pagestyle{plain}
 \setcounter{page}{1}
-\section{}
+\section{随机事件概率}
+
+是基本事件关系的概率运算。
+
+\textbf{例题：}已知事件$A$和$B$相互独立，$P(A)=a$，$P(B)=b$，如果事件$C$必然导致$AB$同时发生，则求$ABC$都不发生的概率。
+
+解：首先必须理解题目的意思，并将其抽象为具体的计算式子。
+
+$ABC$都不发生就是$A$不发生且$B$不发生且$C$不发生，用式子表达就是$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$。
+
+然后是分析事件$C$必然导致$AB$同时发生，$AB$同时发生就是$AB$，即$AB$比$C$的范围大，$C\subset AB$，$\overline{AB}\subset\overline{C}$，$\therefore\overline{ABC}=\overline{AB}\cap\overline{C}=\overline{AB}$。
+
+又事件$AB$相互独立。$P(\overline{AB})=P(\overline{A})P(\overline{B})=(1-a)(1-b)$。
+
+\section{概率模型}
+
+\section{独立性}
+
+\textbf{例题：}射手对同一目标独立地进行4次射击。若至少命中一次的概率为$\dfrac{15}{16}$，则求该射手对同一目标独立地进行4次射击中至少没命中一次的概率。
+
+解：这个题目其实就是四重伯努利试验，彼此之间的概率都是独立的。令每一次命中的概率为$p$，则该次未命中的概率为$1-p$。
+
+若至少命中一次的概率为$\dfrac{15}{16}$，则其对立事件全部不命中的概率为$1-\dfrac{15}{16}=\dfrac{1}{16}$，则$(1-p)^4=\dfrac{1}{16}$，则得到每次命中概率$p=\dfrac{1}{2}$。
+
+求该射手对同一目标独立地进行4次射击中至少没命中一次的概率，则其对立事件为每次命中，其概率为$\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}$，则至少没命中一次的概率为$1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}$。
+
 \end{document}

probability-theory-and-mathematical-statistics/knowledge/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.tex

@@ -136,8 +136,8 @@
     \item 集合对应法：\begin{enumerate}
         \item 加法原理：完成一件事有$n$类方法，第一类方法中有$m_1$类方法，第二类办法有$m_2$中方法，$\cdots$，第$n$类方法中有$m_n$类方法，所以完成此事共有$\sum\limits_{i=1}^nm_i$种方法。 
         \item 乘法原理：完成一件事情有$n$个步骤，第一步有$m_1$种方法，第二步有$m_2$种方法，$\cdots$，第$n$步有$m_n$种方法，则完成此事共有$\prod\limits_{i=1}^nm_i$种方法。   
-        \item 排列：从$n$种不同的元素种取出$m\leqslant n$个元素，并按照一定顺序排成一列，称为排列，所有排列的个数称为排列数，记为$P_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$，当$m=n$时，$P_m^n=n!$称为\textbf{全排列}。
-        \item 组合：从$n$种不同的元素种取出$m\leqslant n$个元素，并组成一组，称为组合，所有组合的个数称为组合数，记为$C_n^m=\dfrac{P_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{(n-m)!m!}$。
+        \item 排列：从$n$种不同的元素种取出$m\leqslant n$个元素，并按照一定顺序排成一列，称为排列，所有排列的个数称为排列数，记为$A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$，当$m=n$时，$A_m^n=n!$称为\textbf{全排列}。
+        \item 组合：从$n$种不同的元素种取出$m\leqslant n$个元素，并组成一组，称为组合，所有组合的个数称为组合数，记为$C_n^m=\dfrac{A_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{(n-m)!m!}$。
     \end{enumerate}
     \item 逆数法：先求$\overline{A}$中的基本事件数$n_{\overline{A}}$，将基本事件总数$n$减去$n_{\overline{A}}$得$A$中的基本事件数。常用于计算含有“至少”字样的事件的概率。
 \end{enumerate}
@@ -256,7 +256,7 @@ $\therefore =\dfrac{0.2}{0.7+0.6-0.5}=0.25$。\medskip
 \subsection{事件独立性}
 
 \begin{itemize}
-    \item 描述性定义（直观性定义）：设$AB$为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受零位一个事件发生与否的影响，则称事件$A$与$B$\textbf{相互独立}。设$A_1,A_2,\cdots,A_n$是$n\geqslant2$个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或几个事件发生与否的影响，则称事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$\textbf{相互独立}。
+    \item 描述性定义（直观性定义）：设$AB$为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件$A$与$B$\textbf{相互独立}。设$A_1,A_2,\cdots,A_n$是$n\geqslant2$个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或几个事件发生与否的影响，则称事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$\textbf{相互独立}。
     \item 数学定义：设$AB$为两个事件，如果$P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件$A$与事件$B$\textbf{相互独立}，简称$A$与$B$\textbf{独立}。如$P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=\dfrac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$。
 \end{itemize}
 
@@ -294,4 +294,6 @@ $C.A_1,A_2,A_3$两两独立\qquad$D.A_2,A_3,A_4$两两独立
 
 伯努利试验\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}只针对失败、成功两种对立结果的试验，将伯努利试验重复进行$n$次，就是\textbf{$n$重伯努利试验}。
 
+在计算伯努利试验概率的时候不仅要考虑每一类情况（出现几次）的次数，还有考虑其组合情况，即将多个情况的$C_n^mp^j$相加。
+
 \end{document}