更新第三讲

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 \author{Didnelpsun}
 \title{函数与极限}
 \begin{document}
@@ -250,9 +252,180 @@ $\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot\sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to 0}\left(2x\cdot\sin
 非常重要。
 
 \subsection{定义}
+
+是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。即形式：$f(x)=\sum ax^n$。
+
+简单来说，泰勒公式就是一个近似表达函数的公式。其极限趋向为趋向0。
+
+对于泰勒公式以及后面的中值定理等相关延申见\href{https://www.zhihu.com/question/25627482}{知乎回答}。
+
 \subsection{泰勒展开}
-\section{归结原则}
+
+当$x\to 0$时：
+
+\begin{enumerate}
+    \item $\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$。
+    \item $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+o(x^4)$。
+    \item $\arcsin x=x+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$。
+    \item $\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$。
+    \item $\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$。
+    \item $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$。
+    \item $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$。
+    \item $(1+x)^\alpha=1+\alpha\cdot x+\dfrac{\alpha\cdot(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)$。
+\end{enumerate}
+
+其中$o(x^\alpha)$为佩亚诺余项，其非常小。
+
+同样可以对泰勒展开式进行变形：$x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}$。
+
+如：
+
+$
+\begin{aligned}
+    & \lim_{x\to 0}\dfrac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^4} \\
+    & =\dfrac{\dfrac{1}{6}\sin^3x\cdot\sin x}{x^4} \\
+    & =\dfrac{\dfrac{1}{6}\sin^4x}{x^4} \\
+    & =\dfrac{1}{6}
+\end{aligned}
+$
+
+\subsection{无穷小运算}
+
+\begin{enumerate}
+    \item 有限个无穷小的和是无穷小。
+    \item 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
+    \item 有限个无穷小的乘积是无穷小。
+\end{enumerate}
+
+无穷小运算，设$m$，$n$为正整数：
+
+\begin{enumerate}
+    \item $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=\min{m,n}$（加减法低阶吸收高阶）。
+    \item $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$（乘法累加）。
+    \item $o(x^m)=o(k\cdot x^m)=k\cdot o(x^m)$，$k\neq 0$且为常数（非零常数相乘不影响阶数）。
+\end{enumerate}
+
+\subsection{展开幂的选择}
+
+泰勒公式展开时应该展开到多少次幂？
+
+\subsubsection{\texorpdfstring{$\dfrac{A}{B}$}型，上下同阶}
+
+当分母或分子式$x$的$k$次幂那么应该把分母或分子展开到对应的次数幂。
+
+如$\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$展开为三次：
+
+$
+\begin{aligned}
+    & \lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3} \\
+    & =\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\left[x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)\right]}{x^3} \\
+    & =\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)}{x^3} \\
+    & =\dfrac{1}{6}
+\end{aligned}
+$
+
+\subsubsection{\texorpdfstring{$A-B$}型，幂次最低}
+
+将$A$，$B$分别展到他们系数不相等的$x$的最低次幂为止。
+
+如已知当$x\to 0$时，$\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}$与$ax^k$为等价无穷小，求$a$，$b$。
+
+泰勒展开：
+
+$
+\begin{aligned}
+    & \cos x-e^{-\frac{x^2}{2}} \\
+    & = 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{24}x^4+o(x^4)-\left(1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{8}x^4+o(x^4)\right) \\
+    & = -\dfrac{1}{12}x^4+o(x^4) \\
+    & \sim -\dfrac{1}{12}x^4
+\end{aligned}
+$
+
+$\therefore a=-\dfrac{1}{12},b=4$。
+
+\textbf{例题3：}求解$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2x-x^2}{e^{x^4}-1}$。
+
+首先由泰勒展开式$e^x=1+x+o(x)$，得到$e^x-1\sim x$。
+
+$\therefore e^{x^4}-1\sim x^4$。
+
+然后泰勒展开：
+
+$
+\begin{aligned}
+    & x-\sin x \\
+    & = 1\cdot x^1+0\cdot x^3 - (1\cdot x^1-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)) \\
+    & = \dfrac{1}{6}x^3+o(x^3) \\
+    & \sim \dfrac{1}{6}x^3
+\end{aligned}
+$
+
+$
+\begin{aligned}
+    & x+\sin x \\
+    & =x-(-\sin x) \\
+    & =1\cdot x^1-(-1\cdot x^1)+o(x) \\
+    & =2x+o(x) \\
+    & \sim 2x
+\end{aligned}
+$
+
+$\therefore$ \bigskip
+
+$
+\begin{aligned}
+    & \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2x-x^2}{e^{x^4}-1} \\
+    & =\lim_{x\to 0}\dfrac{(\sin x+x)(\sin x-x)}{x^4} \\
+    & =\lim_{x\to 0}\dfrac{2x\cdot\left(-\dfrac{1}{6}x^3\right)}{x^4} \\
+    & =-\dfrac{1}{3}
+\end{aligned}
+$
+
+\section{海涅定理（归结原则）}
+
+\subsection{定义}
+
+设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。
+
+海涅定理用来李连杰数列极限与函数极限。在极限存在下他们可以相互转换。
+
+\textbf{例题4：}求$\lim_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$（$n\in N^+$）。
+
+$\because \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$
+
+又$u^v=e^{v\ln u}$
+
+$\therefore =e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$
+
+又在$x\to 0$下$\ln (1+x)\sim x$，$\therefore \ln(1+g(x))\sim g(x),g(x)\to 0$。
+
+而$\dfrac{\tan x}{x}$在$x\to 0$时趋于1，不满足趋于0的条件，所以正好变形$\ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)$。
+
+$\therefore \ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)\sim\dfrac{\tan x}{x}-1$，$\dfrac{\tan x}{x}-1\to 0$。
+
+又泰勒展开$\tan x-x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)-x-0\cdot x^3=\dfrac{x^3}{3}$。
+
+$\therefore$ \bigskip
+
+$
+\begin{aligned}
+    & e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}} \\
+    & =e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\frac{\tan x-x}{x}} \\
+    & =e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{3}} \\
+    & = e^{\frac{1}{3}}
+\end{aligned}
+$
+
+根据海涅定理：取$x=\dfrac{1}{n},n\to\infty$，$\lim_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}=e^{\frac{1}{3}}$。
+
 \section{无穷小比阶}
+
+\subsection{定义}
+
+当$x\to x_0(\infty)$时，函数$f(x)$极限为0，就称$f(x)$为当$x\to x_0(\infty)$时的无穷小，记为：$\lim_{x\to x_0(\infty)}f(x)=0$。
+
+以0为极限的数列称为$n\to\infty$时的无穷小。
+
 \section{连续}
 \subsection{连续点的定义}
 \section{间断}