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Didnelpsun
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@@ -99,6 +99,8 @@ $=\displaystyle{\int(\sec^2x-1)}\tan x\sec x\,\textrm{d}x=\displaystyle{\int(\se
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书上这个类型属于有理函数部分，我这里移动到第一类换元中。即将无理因式设为一个变量，从而提高式子的阶数，消除无理式变为有理式。
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有理换元时无理因式中的$x$必须是一阶的，如$\sqrt[3]{x+6}=u$，若是二阶需要利用第二类换元（三角换元），否则则无法消去无理因式项，因为$x$不能用单个的$u$来表示，如$\sqrt{x^3+6}=u$，$u=\sqrt[3]{u^2-6}$。
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\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{1+\sqrt[3]{x+1}}}$。
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令$u=\sqrt[3]{x+1}$，从而$x=u^3-1$，$\textrm{d}x=3u^2\,\textrm{d}u$。
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File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -1,289 +1,289 @@
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\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
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% UTF8编码，ctexart现实中文
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\usepackage{color}
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% 使用颜色
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\usepackage{geometry}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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% 设置四级目录与标题
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\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
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% 默认大小为A4
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\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
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% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
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\usepackage{indentfirst}
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\setlength{\parindent}{2.45em}
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% 首行缩进2个中文字符
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\usepackage{setspace}
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\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
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% 1.5倍行距
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\usepackage{amssymb}
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% 因为所以
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\usepackage{amsmath}
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% 数学公式
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\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
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% 超链接
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\usepackage{multicol}
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% 分栏
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\usepackage{rotating}
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% 用于旋转对象（旋转包）
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\author{Didnelpsun}
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\title{行列式}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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||||
高数研究连续的问题，而代数研究离散的问题。
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||||
行列式本质是研究线性方程组的问题。行列式本质是一个数，必须是一个长宽相等的形式。
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\section{行列式概念}
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\subsection{二三阶行列式}
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若要解一个二元一次方程组：
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$\begin{cases}
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a_1x+b_1y=c_1 (1) \\
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a_2x+b_2y=c_2 (2)
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\end{cases}
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$
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则利用$(1)\times b_2-(2)\times b_1=(a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1$。
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$(1)\times a_2-(2)\times a_1=(a_2b_1-a_1b_2)y=c_1a_2-c_2a_1$。
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根据系数形式可以得到一个二阶行列式：
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$
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\left|\begin{array}{cc}
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a & b \\
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||||
c & d
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\end{array}\right|
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=ad-bc$。
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同理解三元一次方程组可得三阶行列式：
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$
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\left|\begin{array}{ccc}
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||||
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
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a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
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||||
a_{31} & a_{32} & a_{33}
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||||
\end{array}\right|
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||||
=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}$。
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||||
行列式是一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和。
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||||
横排为行，竖排为列，数$a_{ij}$为元素或元，第一个下标$i$为行标，第二个下标$j$为列标。
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||||
二阶三阶行列式的值就是所有左对角线的值减去所有右对角线的值。
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\subsection{排列、逆序、逆序数}
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||||
由$1,2,\cdots,n$任意组成的有序数组称为一个$n$阶排列（全排列），通常用$j_1j_2\cdots j_n$表示$n$阶排列。如9 5 4 7就是一个4阶排列。
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||||
一个排列中，若一个大的数排在一个小的数的前面，就称为这两个数构成一个逆序。如9 5 4 7的9和4就构成一个逆序。
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||||
一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数，用$\tau(j_1j_2\cdots j_n)$表示排列$j_1j_2\cdots j_n$的逆序数。如9 5 4 7有逆序9-5，9-4，9-7，5-4四个逆序，逆序数为4。
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||||
若一个排列的逆序数是偶数，则这个排列是偶排列，否则称为奇排列。如9 5 4 7是偶排列。
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若是1 2 $\cdots$ n按序排列，称为这个排列为自然排列，逆序数为0，是偶排列。
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将任意两个元素对调，其他元素不动就是对换，若这两个元素相邻则是相邻对换。
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||||
一个排列中任意两个元素对换，排列奇偶性变化。
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奇排列对换成标准排列（一般为自然排列）的对换次数为奇数，偶排列的对换次数为偶数。
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\subsection{n阶行列式}
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$
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\left|\begin{array}{cccc}
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||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
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||||
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|
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||||
=\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$。
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||||
即在$n$行每一行都取一个不同于之前取的列的数相乘，把所有的乘积相加起来，其每个项的正负号由其列号序列的逆序数决定。一共有$n!$个项相加减。
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\subsection{特殊行列式}
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\subsubsection{三角行列式}
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$\left|\begin{array}{cccc}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
& \ddots & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
& & \ddots & \vdots \\
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||||
& & & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|=
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||||
\left|\begin{array}{cccc}
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||||
a_{11} & & & \\
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||||
a_{21} & \ddots & & \\
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||||
\vdots & \cdots & \ddots & \\
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||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|=
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||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & & & \\
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||||
& \ddots & & \\
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||||
& & \ddots & \\
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||||
& & & a_{nn}
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||||
\end{array}\right|=a_{11}\cdots a_{nn}$
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||||
上三角行列式：包括主对角线的右上部分元素不全为0，左下部分元素全为0。
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下三角行列式：包括主对角线的左下部分元素不全为0，右上部分元素全为0。
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对角行列式：省略号处的元素不全为0，其他主对角线外的元素全为0。
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\subsubsection{反三角行列式}
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$\left|\begin{array}{cccc}
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||||
& & & a_{1n} \\
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||||
& & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & a_{2n} \\
|
||||
& \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \cdots & \vdots \\
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||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|=
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||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
a_{21} & \cdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
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||||
\vdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
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||||
a_{n1} & & &
|
||||
\end{array}\right|=
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||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
& & & a_{1n} \\
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||||
& & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
|
||||
& \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
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||||
a_{n1} & & &
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\end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}\cdots a_{n1}$
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可以从第$n$行开始向上相邻对换$n-1$次到达第$1$层，依此类推，反下三角可以对换成上三角行列式，对换次数为$(n-1),(n-2),\cdots,1$一共$\dfrac{n(n-1)}{2}$次，反上三角行列式也同理。
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\subsubsection{范德蒙德行列式}
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\begin{multicols}{2}
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$\left|\begin{array}{cccc}
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||||
1 & 1 & \cdots & 1 \\
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||||
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
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||||
\cdots & \cdots & \vdots & \cdots \\
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||||
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\
|
||||
\end{array}\right|$
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||||
范德蒙德行列式：元素连乘，结果为$\sum\limits_{1\leqslant j<i\leqslant n}(a_i-a_j)$。
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||||
若一个四阶范德蒙德行列式的结果为$(a_4-a_1)(a_4-a_2)(a_4-a_3)(a_3-a_1)(a_3-a_2)(a_2-a_1)$。
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||||
\end{multicols}
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若一个范德蒙德行列式不等于0，则其每个元素$a_1a_2\cdots a_n$两两不等。
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\subsubsection{分块行列式}
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$\left|\begin{array}{cc}
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A & O \\
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O & B
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\end{array}\right|=
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\left|\begin{array}{cc}
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A & * \\
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O & B
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\end{array}\right|=
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\left|\begin{array}{cc}
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A & O \\
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* & B
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\end{array}\right|=\vert A\vert\cdot\vert B\vert$。
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\section{行列式性质}
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拉普拉斯法则：$A_{n\times n}$，$B_{n\times n}$，则$\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert$。
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若对于行列式$D$，将$a_{ij}$和$a_{ji}$的元素互换位置得到$D^T$，则其就是$D$的转置行列式，转置行列式与其行列式相等。
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||||
对调行列式的任意两行或两列，行列式变号。
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||||
若行列式中有两行或两列元素完全相同，则此行列式等于0。
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||||
行列式中如果有两行或两列元素成比例，则此行列式等于0。
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||||
行列式的某一行或某一列中所有的元素都乘以同一个数$k$，则等于用$k$乘此行列式。行列式中某一行或一列的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面。
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||||
|
||||
即$
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||||
\left|\begin{array}{ccccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & ka_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
a_{21} & \cdots & ka_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & \cdots & ka_{ni} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|
|
||||
=k\left|\begin{array}{ccccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|$。
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||||
|
||||
行列式某一行列的元素是两数之和$
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{i1}+a_{j1} & a_{i2}+a_{j2} & \cdots & a_{in}+a_{jn} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|
|
||||
$，
|
||||
|
||||
则$=\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|+
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|$
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||||
|
||||
把行列式的某一行或某一列的个元素乘以同一个数然后加到另一行或一列对应元素上去，行列式不变。
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||||
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\section{行列式展开}
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||||
\subsection{代数余子式}
|
||||
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$
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||||
D=\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|
|
||||
$
|
||||
|
||||
$\forall a_{ij}$，$D$中划去$i$行，$j$列余下元素而成的$n-1$阶行列式记为$M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的余子式。
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||||
|
||||
令$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的代数余子式。
|
||||
|
||||
若一个$n$阶行列式，若其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都是零，则行列式值$D=a_{ij}A_{ij}$。
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||||
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||||
\subsection{展开公式}
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||||
行列式等于其任一行或列的各元素与对应的代数余子式乘积之和。
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||||
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||||
即$D=a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in}$或$D=a_{1j}A_{1j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$。
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||||
|
||||
若元素与不对应的代数余子式乘积之和必然为0。
|
||||
|
||||
即$a_{i1}A_{k1}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0$。
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
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% UTF8编码，ctexart现实中文
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\usepackage{color}
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% 使用颜色
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\usepackage{geometry}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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% 设置四级目录与标题
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\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
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% 默认大小为A4
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\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
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% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
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\usepackage{indentfirst}
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\setlength{\parindent}{2.45em}
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% 首行缩进2个中文字符
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\usepackage{setspace}
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\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
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% 1.5倍行距
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\usepackage{amssymb}
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% 因为所以
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\usepackage{amsmath}
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% 数学公式
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\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
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% 超链接
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\usepackage{multicol}
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% 分栏
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\usepackage{rotating}
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% 用于旋转对象（旋转包）
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\author{Didnelpsun}
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\title{行列式}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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||||
高数研究连续的问题，而代数研究离散的问题。
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行列式本质是研究线性方程组的问题。行列式本质是一个数，必须是一个长宽相等的形式。
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\section{行列式概念}
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||||
\subsection{二三阶行列式}
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若要解一个二元一次方程组：
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$\begin{cases}
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||||
a_1x+b_1y=c_1 (1) \\
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||||
a_2x+b_2y=c_2 (2)
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\end{cases}
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$
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则利用$(1)\times b_2-(2)\times b_1=(a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1$。
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$(1)\times a_2-(2)\times a_1=(a_2b_1-a_1b_2)y=c_1a_2-c_2a_1$。
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根据系数形式可以得到一个二阶行列式：
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$
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\left|\begin{array}{cc}
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a & b \\
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c & d
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\end{array}\right|
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=ad-bc$。
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同理解三元一次方程组可得三阶行列式：
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$
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\left|\begin{array}{ccc}
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a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
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a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
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a_{31} & a_{32} & a_{33}
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\end{array}\right|
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=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}$。
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行列式是一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和。
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||||
横排为行，竖排为列，数$a_{ij}$为元素或元，第一个下标$i$为行标，第二个下标$j$为列标。
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二阶三阶行列式的值就是所有左对角线的值减去所有右对角线的值。
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\subsection{排列、逆序、逆序数}
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||||
由$1,2,\cdots,n$任意组成的有序数组称为一个$n$阶排列（全排列），通常用$j_1j_2\cdots j_n$表示$n$阶排列。如9 5 4 7就是一个4阶排列。
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一个排列中，若一个大的数排在一个小的数的前面，就称为这两个数构成一个逆序。如9 5 4 7的9和4就构成一个逆序。
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|
||||
一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数，用$\tau(j_1j_2\cdots j_n)$表示排列$j_1j_2\cdots j_n$的逆序数。如9 5 4 7有逆序9-5，9-4，9-7，5-4四个逆序，逆序数为4。
|
||||
|
||||
若一个排列的逆序数是偶数，则这个排列是偶排列，否则称为奇排列。如9 5 4 7是偶排列。
|
||||
|
||||
若是1 2 $\cdots$ n按序排列，称为这个排列为自然排列，逆序数为0，是偶排列。
|
||||
|
||||
将任意两个元素对调，其他元素不动就是对换，若这两个元素相邻则是相邻对换。
|
||||
|
||||
一个排列中任意两个元素对换，排列奇偶性变化。
|
||||
|
||||
奇排列对换成标准排列（一般为自然排列）的对换次数为奇数，偶排列的对换次数为偶数。
|
||||
|
||||
\subsection{n阶行列式}
|
||||
|
||||
$
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|
|
||||
=\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$。
|
||||
|
||||
即在$n$行每一行都取一个不同于之前取的列的数相乘，把所有的乘积相加起来，其每个项的正负号由其列号序列的逆序数决定。一共有$n!$个项相加减。
|
||||
|
||||
\subsection{特殊行列式}
|
||||
|
||||
\subsubsection{三角行列式}
|
||||
|
||||
$\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
& \ddots & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
& & \ddots & \vdots \\
|
||||
& & & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|=
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & & & \\
|
||||
a_{21} & \ddots & & \\
|
||||
\vdots & \cdots & \ddots & \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|=
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & & & \\
|
||||
& \ddots & & \\
|
||||
& & \ddots & \\
|
||||
& & & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|=a_{11}\cdots a_{nn}$
|
||||
|
||||
上三角行列式：包括主对角线的右上部分元素不全为0，左下部分元素全为0。
|
||||
|
||||
|
||||
下三角行列式：包括主对角线的左下部分元素不全为0，右上部分元素全为0。
|
||||
|
||||
|
||||
对角行列式：省略号处的元素不全为0，其他主对角线外的元素全为0。
|
||||
|
||||
\subsubsection{反三角行列式}
|
||||
|
||||
$\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
& & & a_{1n} \\
|
||||
& & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & a_{2n} \\
|
||||
& \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|=
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
a_{21} & \cdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
|
||||
\vdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
|
||||
a_{n1} & & &
|
||||
\end{array}\right|=
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
& & & a_{1n} \\
|
||||
& & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
|
||||
& \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
|
||||
a_{n1} & & &
|
||||
\end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}\cdots a_{n1}$
|
||||
|
||||
可以从第$n$行开始向上相邻对换$n-1$次到达第$1$层，依此类推，反下三角可以对换成上三角行列式，对换次数为$(n-1),(n-2),\cdots,1$一共$\dfrac{n(n-1)}{2}$次，反上三角行列式也同理。
|
||||
|
||||
\subsubsection{范德蒙德行列式}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
|
||||
$\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
1 & 1 & \cdots & 1 \\
|
||||
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
|
||||
\cdots & \cdots & \vdots & \cdots \\
|
||||
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\
|
||||
\end{array}\right|$
|
||||
|
||||
范德蒙德行列式：元素连乘，结果为$\sum\limits_{1\leqslant j<i\leqslant n}(a_i-a_j)$。
|
||||
若一个四阶范德蒙德行列式的结果为$(a_4-a_1)(a_4-a_2)(a_4-a_3)(a_3-a_1)(a_3-a_2)(a_2-a_1)$。
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
若一个范德蒙德行列式不等于0，则其每个元素$a_1a_2\cdots a_n$两两不等。
|
||||
|
||||
\subsubsection{分块行列式}
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||||
|
||||
$\left|\begin{array}{cc}
|
||||
A & O \\
|
||||
O & B
|
||||
\end{array}\right|=
|
||||
\left|\begin{array}{cc}
|
||||
A & * \\
|
||||
O & B
|
||||
\end{array}\right|=
|
||||
\left|\begin{array}{cc}
|
||||
A & O \\
|
||||
* & B
|
||||
\end{array}\right|=\vert A\vert\cdot\vert B\vert$。
|
||||
|
||||
\section{行列式性质}
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||||
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||||
拉普拉斯法则：$A_{n\times n}$，$B_{n\times n}$，则$\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert$。
|
||||
|
||||
若对于行列式$D$，将$a_{ij}$和$a_{ji}$的元素互换位置得到$D^T$，则其就是$D$的转置行列式，转置行列式与其行列式相等。
|
||||
|
||||
对调行列式的任意两行或两列，行列式变号。
|
||||
|
||||
若行列式中有两行或两列元素完全相同，则此行列式等于0。
|
||||
|
||||
行列式中如果有两行或两列元素成比例，则此行列式等于0。
|
||||
|
||||
行列式的某一行或某一列中所有的元素都乘以同一个数$k$，则等于用$k$乘此行列式。行列式中某一行或一列的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面。
|
||||
|
||||
即$
|
||||
\left|\begin{array}{ccccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & ka_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
a_{21} & \cdots & ka_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & \cdots & ka_{ni} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|
|
||||
=k\left|\begin{array}{ccccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|$。
|
||||
|
||||
行列式某一行列的元素是两数之和$
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{i1}+a_{j1} & a_{i2}+a_{j2} & \cdots & a_{in}+a_{jn} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|
|
||||
$，
|
||||
|
||||
则$=\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|+
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|$
|
||||
|
||||
把行列式的某一行或某一列的个元素乘以同一个数然后加到另一行或一列对应元素上去，行列式不变。
|
||||
|
||||
\section{行列式展开}
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||||
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||||
\subsection{代数余子式}
|
||||
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||||
$
|
||||
D=\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|
|
||||
$
|
||||
|
||||
$\forall a_{ij}$，$D$中划去$i$行，$j$列余下元素而成的$n-1$阶行列式记为$M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的余子式。
|
||||
|
||||
令$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的代数余子式。
|
||||
|
||||
若一个$n$阶行列式，若其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都是零，则行列式值$D=a_{ij}A_{ij}$。
|
||||
|
||||
\subsection{展开公式}
|
||||
|
||||
行列式等于其任一行或列的各元素与对应的代数余子式乘积之和。
|
||||
|
||||
即$D=a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in}$或$D=a_{1j}A_{1j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$。
|
||||
|
||||
若元素与不对应的代数余子式乘积之和必然为0。
|
||||
|
||||
即$a_{i1}A_{k1}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0$。
|
||||
|
||||
\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -1,386 +1,395 @@
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\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
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\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0}
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% 因为所以
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% 数学公式
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\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
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\usepackage{multicol}
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% 分栏
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\author{Didnelpsun}
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||||
\title{矩阵}
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\date{}
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||||
\begin{document}
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\maketitle
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
\thispagestyle{empty}
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||||
\tableofcontents
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||||
\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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||||
矩阵本质是一个表格。
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||||
\section{矩阵定义}
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||||
$m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$列的数表。
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||||
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||||
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵是复矩阵。
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||||
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||||
行数列数都为$n$的就是$n$阶矩阵或方阵，记为$A_n$。
|
||||
|
||||
行矩阵或行向量：只有一行的矩阵$A=(a_1a_2\cdots a_n)$。
|
||||
|
||||
列矩阵或列向量：只有一列的矩阵$B=
|
||||
\left(\begin{array}{c}
|
||||
b_1 \\
|
||||
b_2 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_m
|
||||
\end{array}\right)$。
|
||||
|
||||
同型矩阵：两个矩阵行数、列数相等。
|
||||
|
||||
相等矩阵：是同型矩阵，且对应元素相等的矩阵。记为$A=B$。
|
||||
|
||||
零矩阵：元素都是零的矩阵，记为$O$，但是不同型的零矩阵不相等。
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
|
||||
|
||||
对角矩阵或对角阵：从左上角到右下角的直线（对角线）以外的元素都是0的矩阵，记为$\varLambda=\textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$。
|
||||
|
||||
$\varLambda=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
|
||||
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
|
||||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
||||
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$
|
||||
|
||||
单位矩阵或单位阵：$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。这种线性变换叫做恒等变换，$AE=A$。
|
||||
|
||||
$E=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
1 & 0 & \cdots & 0 \\
|
||||
0 & 1 & \cdots & 0 \\
|
||||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
||||
0 & 0 & \cdots & 1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\section{矩阵运算}
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||||
|
||||
\subsection{矩阵加法减法}
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||||
|
||||
设与两个矩阵都是同型矩阵$m\times n$$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，则其加法就是$A+B$。
|
||||
|
||||
$$A+B=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
|
||||
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
||||
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{m+n}+b_{m+n}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $A+B=B+A$。
|
||||
\item $(A+B)+C=A+(B+C)$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
若$-A=(-a_{ij})$，则$-A$是$A$的负矩阵，$A+(-A)=O$。
|
||||
|
||||
从而矩阵的减法为$A-B=A+(-B)$。
|
||||
|
||||
\subsection{数乘矩阵}
|
||||
|
||||
数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记为$\lambda A$或$A\lambda$，规定：
|
||||
|
||||
$$\lambda A=A\lambda=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\
|
||||
\lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$$
|
||||
|
||||
假设$A$、$B$都是$m\times n$的矩阵，$\lambda$、$\mu$为数：
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$。
|
||||
\item $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$。
|
||||
\item $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
矩阵加法与数乘矩阵都是矩阵的线性运算。
|
||||
|
||||
\subsection{矩阵相乘}
|
||||
|
||||
设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：
|
||||
|
||||
$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$$
|
||||
|
||||
所以按此定义一个$1\times s$行矩阵与$s\times 1$列矩阵的乘积就是一个1阶方针即一个数：
|
||||
|
||||
$(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
b_{1j} \\
|
||||
b_{2j} \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_{sj}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=c_{ij}$。
|
||||
|
||||
从而$AB=C$的$c_{ij}$就是$A$的第$i$行与$B$的$j$列的乘积。
|
||||
|
||||
\textcolor{orange}{注意：}只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数才能相乘。
|
||||
|
||||
只有$AB$都是方阵的时候才能$AB$与$BA$。
|
||||
|
||||
矩阵的左乘与右乘不一定相等，即$AB\neq BA$。
|
||||
|
||||
若方阵$AB$乘积满足$AB=BA$，则表示其是可交换的。
|
||||
|
||||
$A\neq O$，$B\neq O$，但是不能推出$AB\neq O$或$BA\neq O$。
|
||||
|
||||
$AB=O$不能推出$A=O$或$B=O$。
|
||||
|
||||
$A(X-Y)=O$当$A\neq O$也不能推出$X=Y$。
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(AB)C=A(BC)$。
|
||||
\item $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$。
|
||||
\item $A(B+C)=AB+AC$。
|
||||
\item $(B+C)A=BA+CA$。
|
||||
\item $EA=AE=A$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
$\lambda E$称为纯量阵，$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$。
|
||||
|
||||
若$A_{m\times s}$，$B_{s\times n}=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$，其中$\beta$为$n$行的列矩阵，则：
|
||||
|
||||
$AB=A(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(A\beta_1,\cdots,A\beta_n)$。
|
||||
|
||||
\subsection{矩阵幂}
|
||||
|
||||
只有方阵才能连乘，从而只有方阵才有幂。
|
||||
|
||||
若$A$是$n$阶方阵，所以：
|
||||
|
||||
$$A^1=A\text{，}A^2=A^1A^1\text{，}\cdots\text{，}A^{k+1}=A^kA^1$$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $A^kA^l=A^{k+l}$。
|
||||
\item $(A^k)^l=A^{kl}$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
因为矩阵乘法一般不满足交换率，所以$(AB)^k\neq A^kB^k$。只有$AB$可交换时才相等。
|
||||
|
||||
若$A\neq 0$不能推出$A^k\neq 0$，如：
|
||||
|
||||
$A=\left(
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 2 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)\neq 0$。$A^2=\left(
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 2 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)\left(
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 2 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)=\left(
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 0 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)=O$。
|
||||
|
||||
$A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，$A^3=O$。
|
||||
|
||||
矩阵幂可以同普通多项式进行处理。
|
||||
|
||||
如$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+n$，对于$A$就是$f(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_nE$。
|
||||
|
||||
$f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
|
||||
|
||||
\subsection{矩阵转置}
|
||||
|
||||
把矩阵$A$的行换成同序数的列就得到一个新矩阵，就是$A$的转置矩阵$A^T$。若$A$为$m\times n$，则$A^T$为$n\times m$。
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(A^T)^T=A$。
|
||||
\item $(A+B)^T=A^T+B^T$。
|
||||
\item $(\lambda A)^T=\lambda A^T$。
|
||||
\item $(AB)^T=B^TA^T$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
对称矩阵或对称阵：元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
|
||||
|
||||
\subsection{方阵行列式}
|
||||
|
||||
由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式称为矩阵$A$的行列式，记为$\textrm{det}\,A$或$\vert A\vert$。
|
||||
|
||||
\subsection{线性方程组与矩阵}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
|
||||
\item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。
|
||||
\item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
伴随矩阵或伴随阵：行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$构成的矩阵。
|
||||
|
||||
$$A^*=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
|
||||
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$$
|
||||
|
||||
其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。
|
||||
|
||||
\section{线性方程组}
|
||||
|
||||
矩阵是根据线性方程组得到。
|
||||
|
||||
\subsection{线性方程组与矩阵}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
|
||||
$\begin{cases}
|
||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0
|
||||
\end{cases}$ \medskip
|
||||
|
||||
$n$元齐次线性方程组。
|
||||
|
||||
$\begin{cases}
|
||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$ \medskip
|
||||
|
||||
$n$元非齐次线性方程组。
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其零解，若有一组不全为零的解，则称为其非零解。其一定有零解，但是不一定有非零解。
|
||||
|
||||
对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。
|
||||
|
||||
令系数矩阵$A_{m\times n}=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，未知数矩阵$X_{n\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
x_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
x_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，常数项矩阵$b_{m\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_m
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，增广矩阵$B_{m\times(n+1)}=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
所以$AX=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
|
||||
从而$AX=b$等价于$\begin{cases}
|
||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。
|
||||
|
||||
从而矩阵可以简单表示线性方程。
|
||||
|
||||
\subsection{线性方程组的解}
|
||||
|
||||
对于一元一次线性方程：$ax=b$：
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||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。
|
||||
\item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
当推广到多元一次线性方程组：$AX=b$，如何求出$X$这一系列的$x$的解？
|
||||
|
||||
从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。
|
||||
|
||||
当$m<n$时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有$n-m$个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。
|
||||
|
||||
当$m=n$时代表约束与变量数量相等，此时又要分三种情况。
|
||||
|
||||
当所有的约束条件其中存在线性相关，即一部分约束条件可以由其他约束表示，则代表这部分约束条件是没用的，实际上的约束条件变少，从而情况等于$m<n$，结果是无数解。
|
||||
|
||||
当所有的约束条件不存在线性相关，但是一部分约束条件互相矛盾，则约束条件下就无法解出解，从而结果是无实数解。
|
||||
|
||||
当所有的约束条件不存在线性相关，且相互之间不存在矛盾情况，这时候才会解出一个实数解，从而结果是有唯一实解。
|
||||
|
||||
若使用矩阵来解决线性方程组的问题，其系数矩阵$A_{m\times n}$。
|
||||
|
||||
对于$A\neq O$，则$AX=b$，若存在一个矩阵$B_{n\times n}$类似$\dfrac{1}{a}$，使得$BAX=Bb$，解得$EX=X=Bb$，这个$B$就是$A$的逆矩阵。
|
||||
|
||||
对于$A=O$即不可逆，需要判断$b$是否为0，若不是则无实数解，若是则无穷解，这种判断需要用到增广矩阵，需要用到矩阵的秩判断。
|
||||
|
||||
\section{逆矩阵}
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||||
|
||||
逆矩阵类比倒数，若对于$n$阶矩阵$A$，有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=E$，则$A$可逆，$B$是$A$的逆矩阵也称为逆阵，且逆矩阵唯一，记为$B=A^{-1}$。
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
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% UTF8编码，ctexart现实中文
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\usepackage{color}
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% 使用颜色
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\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0}
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\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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% 设置四级目录与标题
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% 因为所以
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% 数学公式
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\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
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\usepackage{multicol}
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% 分栏
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||||
\author{Didnelpsun}
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||||
\title{矩阵}
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\date{}
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||||
\begin{document}
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\maketitle
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
\thispagestyle{empty}
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||||
\tableofcontents
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||||
\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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||||
矩阵本质是一个表格。
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\section{矩阵定义}
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||||
$m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$列的数表。
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||||
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵是复矩阵。
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|
||||
行数列数都为$n$的就是$n$阶矩阵或方阵，记为$A_n$。
|
||||
|
||||
行矩阵或行向量：只有一行的矩阵$A=(a_1a_2\cdots a_n)$。
|
||||
|
||||
列矩阵或列向量：只有一列的矩阵$B=
|
||||
\left(\begin{array}{c}
|
||||
b_1 \\
|
||||
b_2 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_m
|
||||
\end{array}\right)$。
|
||||
|
||||
同型矩阵：两个矩阵行数、列数相等。
|
||||
|
||||
相等矩阵：是同型矩阵，且对应元素相等的矩阵。记为$A=B$。
|
||||
|
||||
零矩阵：元素都是零的矩阵，记为$O$，但是不同型的零矩阵不相等。
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
|
||||
|
||||
对角矩阵或对角阵：从左上角到右下角的直线（对角线）以外的元素都是0的矩阵，记为$\varLambda=\textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$。
|
||||
|
||||
$\varLambda=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
|
||||
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
|
||||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
||||
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$
|
||||
|
||||
单位矩阵或单位阵：$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。这种线性变换叫做恒等变换，$AE=A$。
|
||||
|
||||
$E=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
1 & 0 & \cdots & 0 \\
|
||||
0 & 1 & \cdots & 0 \\
|
||||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
||||
0 & 0 & \cdots & 1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\section{矩阵运算}
|
||||
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||||
\subsection{矩阵加法减法}
|
||||
|
||||
设与两个矩阵都是同型矩阵$m\times n$$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，则其加法就是$A+B$。
|
||||
|
||||
$$A+B=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
|
||||
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
||||
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{m+n}+b_{m+n}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $A+B=B+A$。
|
||||
\item $(A+B)+C=A+(B+C)$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
若$-A=(-a_{ij})$，则$-A$是$A$的负矩阵，$A+(-A)=O$。
|
||||
|
||||
从而矩阵的减法为$A-B=A+(-B)$。
|
||||
|
||||
\subsection{数乘矩阵}
|
||||
|
||||
数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记为$\lambda A$或$A\lambda$，规定：
|
||||
|
||||
$$\lambda A=A\lambda=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\
|
||||
\lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$$
|
||||
|
||||
假设$A$、$B$都是$m\times n$的矩阵，$\lambda$、$\mu$为数：
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$。
|
||||
\item $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$。
|
||||
\item $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
矩阵加法与数乘矩阵都是矩阵的线性运算。
|
||||
|
||||
\subsection{矩阵相乘}
|
||||
|
||||
设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：
|
||||
|
||||
$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$$
|
||||
|
||||
所以按此定义一个$1\times s$行矩阵与$s\times 1$列矩阵的乘积就是一个1阶方针即一个数：
|
||||
|
||||
$(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
b_{1j} \\
|
||||
b_{2j} \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_{sj}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=c_{ij}$。
|
||||
|
||||
从而$AB=C$的$c_{ij}$就是$A$的第$i$行与$B$的$j$列的乘积。
|
||||
|
||||
\textcolor{orange}{注意：}只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数才能相乘。
|
||||
|
||||
只有$AB$都是方阵的时候才能$AB$与$BA$。
|
||||
|
||||
矩阵的左乘与右乘不一定相等，即$AB\neq BA$。
|
||||
|
||||
若方阵$AB$乘积满足$AB=BA$，则表示其是可交换的。
|
||||
|
||||
$A\neq O$，$B\neq O$，但是不能推出$AB\neq O$或$BA\neq O$。
|
||||
|
||||
$AB=O$不能推出$A=O$或$B=O$。
|
||||
|
||||
$A(X-Y)=O$当$A\neq O$也不能推出$X=Y$。
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(AB)C=A(BC)$。
|
||||
\item $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$。
|
||||
\item $A(B+C)=AB+AC$。
|
||||
\item $(B+C)A=BA+CA$。
|
||||
\item $EA=AE=A$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
$\lambda E$称为纯量阵，$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$。
|
||||
|
||||
若$A_{m\times s}$，$B_{s\times n}=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$，其中$\beta$为$n$行的列矩阵，则：
|
||||
|
||||
$AB=A(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(A\beta_1,\cdots,A\beta_n)$。
|
||||
|
||||
\subsection{矩阵幂}
|
||||
|
||||
只有方阵才能连乘，从而只有方阵才有幂。
|
||||
|
||||
若$A$是$n$阶方阵，所以：
|
||||
|
||||
$$A^1=A\text{，}A^2=A^1A^1\text{，}\cdots\text{，}A^{k+1}=A^kA^1$$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $A^kA^l=A^{k+l}$。
|
||||
\item $(A^k)^l=A^{kl}$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
因为矩阵乘法一般不满足交换率，所以$(AB)^k\neq A^kB^k$。只有$AB$可交换时才相等。
|
||||
|
||||
若$A\neq 0$不能推出$A^k\neq 0$，如：
|
||||
|
||||
$A=\left(
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 2 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)\neq 0$。$A^2=\left(
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 2 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)\left(
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 2 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)=\left(
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
0 & 0 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)=O$。
|
||||
|
||||
$A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，$A^3=O$。
|
||||
|
||||
矩阵幂可以同普通多项式进行处理。
|
||||
|
||||
如$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+n$，对于$A$就是$f(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_nE$。
|
||||
|
||||
$f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
|
||||
|
||||
\subsection{矩阵转置}
|
||||
|
||||
把矩阵$A$的行换成同序数的列就得到一个新矩阵，就是$A$的转置矩阵$A^T$。若$A$为$m\times n$，则$A^T$为$n\times m$。
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(A^T)^T=A$。
|
||||
\item $(A+B)^T=A^T+B^T$。
|
||||
\item $(\lambda A)^T=\lambda A^T$。
|
||||
\item $(AB)^T=B^TA^T$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
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对称矩阵或对称阵：元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
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\subsection{方阵行列式}
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由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式称为矩阵$A$的行列式，记为$\textrm{det}\,A$或$\vert A\vert$。
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\subsection{线性方程组与矩阵}
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\begin{itemize}
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\item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
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\item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。
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\item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
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\end{itemize}
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伴随矩阵或伴随阵：行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$构成的矩阵。
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$$A^*=\left(
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\begin{array}{cccc}
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A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
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A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
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\end{array}
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\right)$$
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其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。
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\section{线性方程组}
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矩阵是根据线性方程组得到。
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\subsection{线性方程组与矩阵}
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\begin{multicols}{2}
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$\begin{cases}
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a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\
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\cdots \\
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a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0
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\end{cases}$ \medskip
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$n$元齐次线性方程组。
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$\begin{cases}
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a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
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\cdots \\
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a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
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\end{cases}$ \medskip
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$n$元非齐次线性方程组。
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\end{multicols}
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对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其零解，若有一组不全为零的解，则称为其非零解。其一定有零解，但是不一定有非零解。
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对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。
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令系数矩阵$A_{m\times n}=\left(
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\begin{array}{ccc}
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a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
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\cdots \\
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a_{m1} & \cdots & a_{mn}
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\end{array}
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\right)$，未知数矩阵$X_{n\times 1}=\left(
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\begin{array}{c}
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x_1 \\
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\cdots \\
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x_n
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\end{array}
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\right)$，常数项矩阵$b_{m\times 1}=\left(
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\begin{array}{c}
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b_1 \\
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\cdots \\
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b_m
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\end{array}
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\right)$，增广矩阵$B_{m\times(n+1)}=\left(
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\begin{array}{cccc}
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a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
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||||
\cdots \\
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||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_n
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\end{array}
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\right)$。
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所以$AX=\left(
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\begin{array}{c}
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a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\
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\cdots \\
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||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n
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||||
\end{array}
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\right)$。
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从而$AX=b$等价于$\begin{cases}
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a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
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\cdots \\
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a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
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\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。
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从而矩阵可以简单表示线性方程。
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\subsection{线性方程组的解}
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对于一元一次线性方程：$ax=b$：
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\begin{itemize}
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\item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。
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\item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。
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\end{itemize}
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当推广到多元一次线性方程组：$AX=b$，如何求出$X$这一系列的$x$的解？
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从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。
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当$m<n$时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有$n-m$个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。
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当$m=n$时代表约束与变量数量相等，此时又要分三种情况。
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当所有的约束条件其中存在线性相关，即一部分约束条件可以由其他约束表示，则代表这部分约束条件是没用的，实际上的约束条件变少，从而情况等于$m<n$，结果是无数解。
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当所有的约束条件不存在线性相关，但是一部分约束条件互相矛盾，则约束条件下就无法解出解，从而结果是无实数解。
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当所有的约束条件不存在线性相关，且相互之间不存在矛盾情况，这时候才会解出一个实数解，从而结果是有唯一实解。
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若使用矩阵来解决线性方程组的问题，其系数矩阵$A_{m\times n}$。
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对于$A\neq O$，则$AX=b$，若存在一个矩阵$B_{n\times n}$类似$\dfrac{1}{a}$，使得$BAX=Bb$，解得$EX=X=Bb$，这个$B$就是$A$的逆矩阵。
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对于$A=O$即不可逆，需要判断$b$是否为0，若不是则无实数解，若是则无穷解，这种判断需要用到增广矩阵，需要用到矩阵的秩判断。
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\section{逆矩阵}
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逆矩阵类比倒数，若对于$n$阶矩阵$A$，有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=E$，则$A$可逆，$B$是$A$的逆矩阵也称为逆阵，且逆矩阵唯一，记为$B=A^{-1}$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若矩阵$A$可逆，则$\vert A\vert\neq 0$。
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证明：若$A$可逆，则$AA^{-1}=E$，所以$\vert A\vert\cdot\vert A^{-1}\vert=\vert E\vert=1$，$\vert A\vert\neq 0$。
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可以类比普通数字，若$a$有一个倒数$\dfrac{1}{a}$，则$a\neq 0$，否则无法倒。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\vert A\vert\neq 0$，则$A$可逆，且$A^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*$。
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\end{document}
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