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linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex

@@ -555,4 +555,12 @@ $r(A^*)=\left\{\begin{array}{l}
 
 其实求等价矩阵就是判定其秩是否相等。
 
+\subsection{行列式变换}
+
+注意如果携带参数，要保证乘除的参数式子不为0。
+
+\subsection{行列式}
+
+只有矩阵可逆，即满秩时行列式才不为0，否则为0。
+
 \end{document}

linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex

@@ -84,6 +84,8 @@ $\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_2=0$，消去$\lambda_2$：$\
 
 对向量的线性相关性可以从其向量组组成的行列式来计算，若行列式值为0则线性相关，若行列式值不为0则线性无关。
 
+注意这里容易失根。要仔细找出所有为0的因式，不要随便降低阶数。
+
 \textbf{例题：}设$a_1,a_2,\cdots,a_s$是$s$个互不相同的数，探究$s$个$n$维列向量$\alpha_i=[1,a_i,a_i^a,\cdots,a_i^{n-1}]^T$（$i=1,2,\cdots,s$）的线性相关性。
 
 解：当$s>n$时，有$n$个方程$s$个未知数，所以必然存在自由变量，从而必然线性相关性。

linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex

@@ -41,7 +41,7 @@
 
 首先根据$\vert\lambda E-A\vert=0$求出$\lambda$，然后把$\lambda$逐个带入$(\lambda E-A)x=0$，根据齐次方程求解方法进行初等变换求出基础解系。这个基础解系就是当前特征值的特征向量。
 
-\subsection{迹}
+\subsection{代数余子式}
 
 \textbf{例题：}已知$A$是3阶方阵，特征值为1，2，3，求$\vert A\vert$的元素$a_{11},a_{22},a_{33}$的代数余子式$A_{11},A_{22},A_{33}$的和$\sum\limits_{i=1}^3A_{ii}$。
 
@@ -53,7 +53,9 @@
 
 $=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}{\lambda_i}=\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2=2+3+6=11$。
 
-\subsection{逆矩阵}
+\subsection{特征值}
+
+\subsubsection{已知对应特征向量}
 
 通过相关式子将逆矩阵转换为原矩阵。同一个向量的逆矩阵的特征值是原矩阵的特征值的倒数。
 
@@ -93,9 +95,39 @@ $=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\
 
 所以矩阵$A$对应的特征值为$-5$。
 
-\subsection{抽象型}
+\subsection{特征向量}
 
-题目只会给对应的式子，来求对应的特征向量或特征值。需要记住特征值的关系式然后与给出的式子上靠拢，不会很复杂。
+\subsubsection{已知其他特征向量}
+
+使用实对称矩阵性质，即实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交（$B^TA=0$）。
+
+\textbf{例题：}已知$A$为三阶实对称矩阵，特征值为$1,3，-2$，其中$\alpha_1=(1,2,-2)^T$，$\alpha_2=(4,-1,a)^T$分别属于特征值$\lambda=1$，$\lambda=3$的特征向量。求$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量。
+
+解：令$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量为$(x_1,x_2,x_3)^T$。
+
+根据实对称矩阵的正交性质。
+
+$\alpha_1^T\alpha_2=4-2-2a=0$，$\alpha_2^T\alpha_3=4x_1-x_2+ax_3=0$，$\alpha_3^T\alpha_1=x_1+2x_2-2x_3=0$。
+
+$a=1$，$4x_1-x_2+x_3=0$，$x_1+2x_2-2x_3=0$，解得基础解系$(0,1,1)^T$,$\alpha_3=(0,k,k)^T$（$k\neq0$）。
+
+\subsubsection{可逆矩阵关系}
+
+使用可逆矩阵相似对角化的性质。若$A\sim B$，则$P^{-1}AP=B$。$B$为纯量阵。且$B$的迹为$A$的特征值。$P$为特征向量。\medskip
+
+\textbf{例题：}已知$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}
+    1 \\
+     & 1 \\
+     & & -1
+\end{array}\right]$，$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$可逆，求$A$关于特征值$\lambda=1$的特征向量。
+
+解：根据$P^{-1}AP=\Lambda$，所以$P$为特征向量，$1,1,-1$为特征值。
+
+所以$A$关于$\lambda=1$的特征向量为$\alpha_1$或$\alpha_2$。而某一特征值的全部特征向量构成特征向量子空间，所以$\lambda=1$的特征向量为$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$。
+
+\subsubsection{抽象型}
+
+题目只会给对应的式子，来求对应的特征向量。需要记住特征值的关系式然后与给出的式子上靠拢，不会很复杂。
 
 \textbf{例题：}已知$A$为三阶矩阵，且矩阵$A$各行元素之和均为5，则求$A$必然存在的特征向量。
 
@@ -123,34 +155,6 @@ $\left\{\begin{array}{l}
 
 即$\xi=(1,1,1)^T$。
 
-\subsection{可逆矩阵}
-
-使用可逆矩阵相似对角化的性质。若$A\sim B$，则$P^{-1}AP=B$。$B$为纯量阵。且$B$的迹为$A$的特征值。$P$为特征向量。\medskip
-
-\textbf{例题：}已知$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}
-    1 \\
-     & 1 \\
-     & & -1
-\end{array}\right]$，$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$可逆，求$A$关于特征值$\lambda=1$的特征向量。
-
-解：根据$P^{-1}AP=\Lambda$，所以$P$为特征向量，$1,1,-1$为特征值。
-
-所以$A$关于$\lambda=1$的特征向量为$\alpha_1$或$\alpha_2$。而某一特征值的全部特征向量构成特征向量子空间，所以$\lambda=1$的特征向量为$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$。
-
-\subsection{实对称矩阵}
-
-实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交（$B^TA=0$）。
-
-\textbf{例题：}已知$A$为三阶实对称矩阵，特征值为$1,3，-2$，其中$\alpha_1=(1,2,-2)^T$，$\alpha_2=(4,-1,a)^T$分别属于特征值$\lambda=1$，$\lambda=3$的特征向量。求$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量。
-
-解：令$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量为$(x_1,x_2,x_3)^T$。
-
-根据实对称矩阵的正交性质。
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-$\alpha_1^T\alpha_2=4-2-2a=0$，$\alpha_2^T\alpha_3=4x_1-x_2+ax_3=0$，$\alpha_3^T\alpha_1=x_1+2x_2-2x_3=0$。
-
-$a=1$，$4x_1-x_2+x_3=0$，$x_1+2x_2-2x_3=0$，解得基础解系$(0,1,1)^T$,$\alpha_3=(0,k,k)^T$（$k\neq0$）。
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 \section{相似理论}
 
 \subsection{判断相似对角化}