更新微分方程与矩阵

advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.tex

@@ -3,6 +3,7 @@
 \usepackage{color}
 % 使用颜色
 \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 
+\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255}
 \usepackage{geometry}
 \setcounter{tocdepth}{4}
 \setcounter{secnumdepth}{4}
@@ -222,4 +223,42 @@ $\dfrac{\textrm{d}p}{p}=\dfrac{2x}{1+x^2}\textrm{d}x$，$\ln p=\ln(1+x^2)+C'$，
 
 所以综上$y=C_2e^{C_1y}$。
 
+\section{高阶线性微分方程}
+
+第一部分是一阶微分方程，分为可分离变量微分方程、齐次微分方程、一阶齐次线性微分方程、一阶非齐次线性微分方程。
+
+第二部分是可降阶的高阶微分方程，分为三种。
+
+第三部分就是本节的高阶线性微分方程，$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$就是$n$阶齐次线性微分方程，$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)$就是$n$阶非齐次线性微分方程
+
+若$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$为两个函数，当$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$不成比例，则称$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$线性无关，否则$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$线性相关。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$的解，则$y=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)$也为其解。
+
+证明：因为$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$为解，所以代入方程：
+
+$\varphi_1''+a(x)\varphi_1'+b(x)\varphi_1=0$，$\varphi_2''+a(x)\varphi_2'+b(x)\varphi_2=0$
+
+从而$(C_1\varphi_1+C_2\varphi_2)''+a(x)(C_1\varphi_1+C_2\varphi_2)'+b(x)(C_1\varphi_1+C_2\varphi_2)=C_1(\varphi_1''+a(x)\varphi_1'+b(x)\varphi_1)+C_2(\varphi_2''+a(x)\varphi_2'+b(x)\varphi_2)=0$。
+
+所以得证。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$分别为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$与$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)$的解，则$y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)$的解。
+
+证明：$\varphi_1''+a(x)\varphi_1'+b(x)\varphi_1=0$，$\varphi_2''+a(x)\varphi_2'+b(x)\varphi_2=f(x)$，代入$y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)$：
+
+$(\varphi_1+\varphi_2)''+a(x)(\varphi_1+\varphi_2)'+b(x)(\varphi_1+\varphi_2)=(\varphi_1''+a(x)\varphi_1'+b(x)\varphi_1)+(\varphi_2''+a(x)\varphi_2'+b(x)\varphi_2)=f(x)$。
+
+所以得证。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)$的解，则$y=\varphi_1(x)-\varphi_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$的解。
+
+证明：$\varphi_1''+a(x)\varphi_1'+b(x)\varphi_1=f(x)$，$\varphi_2''+a(x)\varphi_2'+b(x)\varphi_2=f(x)$，代入$y=\varphi_1(x)-\varphi_2(x)$：
+
+$(\varphi_2-\varphi_1)''+a(x)(\varphi_2-\varphi_1)'+b(x)(\varphi_2-\varphi_1)$
+
+$(\varphi_2''+a(x)\varphi_2'+b(x)\varphi_2)-(\varphi_1''+a(x)\varphi_1'+b(x)\varphi_1)$
+
+$f(x)-f(x)=0$，所以得证。
+
 \end{document}

linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex

@@ -22,6 +22,8 @@
 % 数学公式
 \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
 % 超链接
+\usepackage{multicol}
+% 分栏
 \author{Didnelpsun}
 \title{矩阵}
 \date{}
@@ -39,4 +41,43 @@
 
 \section{矩阵定义}
 
+$m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$列的数表。
+
+元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵是复矩阵。
+
+行数列数都为$n$的就是$n$阶矩阵或方阵，记为$A_n$。
+
+行矩阵或行向量：只有一行的矩阵$A=(a_1a_2\cdots a_n)$。
+
+列矩阵或列向量：只有一列的矩阵$B=
+\left(\begin{array}{c} 
+    b_1 \\
+    b_2 \\
+    \cdots \\
+    b_m
+\end{array}\right)$。
+
+同型矩阵：两个矩阵行数、列数相等。
+
+相等矩阵：是同型矩阵，且对应元素相等的矩阵。记为$A=B$。
+
+零矩阵：元素都是零的矩阵，记为$O$，但是不同型的零矩阵不相等。
+
+\begin{multicols}{2}
+    
+    
+    对角矩阵或对角阵：从左上角到右下角的直线（对角线）以外的元素都是0的矩阵，记为$\varLambda=\textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$。
+
+    $\varLambda=\left(
+        \begin{array}{cccc}
+            \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
+        \end{array}
+    \right)$
+
+    单位矩阵或单位阵：$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。
+
+
+
+\end{multicols}
+
 \end{document}