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advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex

@@ -111,13 +111,14 @@ $\therefore\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}
 
 \subsection{洛必达法则}
 
-洛必达法则的本质是降低商形式的极限式子的幂次。
-
-洛必达在处理一般的极限式子比较好用，但是一旦式子比较复杂最好不要使用洛必达法则，最好是对求导后有规律或幂次较低的式子进行上下求导。
-
-对于幂次高的式子必然使用洛必达法则。
-
-洛必达法则必须使用在分式都趋向0或$\infty$时，如果不是这样的趋向则不能使用。如：
+\begin{itemize}
+    \item 洛必达法则的本质是降低商形式的极限式子的幂次。对于幂次高的式子必然使用洛必达法则。
+    \item 式子比较复杂最好不要使用洛必达法则，最好是对求导后有规律或幂次较低的式子进行上下求导。
+    \item 只有函数极限才能使用洛必达，数列极限不能使用。
+    \item 只有未定式才能使用洛必达，若已经能计算出为常数则不能使用洛必达。
+    \item 如果极限不存在且不是无穷，这洛必达法则失效，可能存在极限，换其他方法求解。
+    \item 洛必达法则必须使用在变量都趋向0或$\infty$时，如果不是这样的趋向则不能使用。如下面的例题。
+\end{itemize}
 
 \textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-x+1}{(x-1)^2}$。
 

advanced-math/exercise/2-function/function.tex

@@ -34,7 +34,7 @@
 \newpage
 \pagestyle{plain}
 \setcounter{page}{1}
-\section{函数连续性}
+\section{函数性质}
 
 \subsection{连续}
 
@@ -160,6 +160,14 @@ $\therefore x=e$为无穷间断点。\medskip
 
 $\therefore a=1,b=e$。
 
+\subsection{有界性}
+
+对于一个函数和其导函数，其函数有界性和其导函数有界性不存在必然关系。
+
+对于有限区间，导函数有界是原函数有界的充分必要条件。如$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,a]$上有界，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$在靠近0的一侧无界。如果导函数有界，则在有限区间内增加的增量必然是有界的，所以原函数必然有界。
+
+对于无限区间，导函数有界和原函数有界既非充分也非必要。如$f(x)=x$在$R$上无界，但是$f'(x)=1$有界；$f(x)=\sin x^2$在$R$上有界，而$f'(x)=2x\cos x^2$在$R$上无界。
+
 \section{中值定理}
 
 中值定理一般用于判断不等式。
@@ -372,7 +380,28 @@ $(1,-10)$为拐点，代入：$y''\vert_{x=1}=6a+2b=0$，$y\vert_{x=1}=a+b+c+d=-
 
 \subsection{渐近线}
 
-\subsection{零点问题}
+\subsection{拐点}
+
+\subsubsection{已知二阶导函数}
+
+不仅要关注$f''(x)$函数，还要关注$f''(x)$未定义的点。
+
+\begin{itemize}
+    \item $f''(x_0)=0$，且左右两边正负号发生改变。
+    \item $f''(x_0)$在$x_0$处无定义，但是左右两边正负号发生改变。
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{已知导函数}
+
+要求原函数的拐点（求二阶导），就要求导函数（一阶导）的驻点（一阶导），即关心导函数的极值点。
+
+如果驻点两端的单调性相反，即是极值点，则代表这里就是拐点。
+
+\subsubsection{已知原函数}
+
+要关注的是函数图像凹凸性发生变化的点。
+
+\subsection{零点}
 
 \subsubsection{零点定理}
 

advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.tex

@@ -37,6 +37,16 @@
 \newpage
 \pagestyle{plain}
 \setcounter{page}{1}
+\section{积分性质}
+
+\subsection{存在性}
+
+主要是判断在指定区域内是否连续和有界。
+
+函数有有限个间断点，函数有界；函数连续，函数单调有界。
+
+一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分;也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点，则定积分存在;若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
+
 \section{不定积分}
 \subsection{基本积分}