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完成一二章

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138
advanced-math/1-function-and-limit/function-and-limit.tex
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@@ -424,6 +424,35 @@ $\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarro
同理得证极限值小于0的情况。
\subsection{迭代式数列极限}
\textbf{例题：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim_{n\to\infty}a_n$。
首先看题目，给出的递推式设计到二阶递推，即存在三个数列变量，所以我们必须先求出对应的数列表达式。因为这个表达式涉及三个变量，所以尝试对其进行变型：
$
\begin{aligned}
a_{n+1}-a_n & =\dfrac{a_{n-1}-a_n}{2} \\
& =\left(-\dfrac{1}{2}\right)(a_n-a_{n-1}) \\
& =\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2(a_{n-1}-a_{n-2}) \\
& =\cdots \\
& =\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_1-a_0) \\
& = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{aligned}
$
然后得到了$a_{n+1}-a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$，而需要求极限，所以使用列项相消法的逆运算：
$
\begin{aligned}
a_n & = (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_1-a_0)+a_0 \\
& = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} + \cdots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^0 \\
& = \dfrac{1\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)} \\
& = \dfrac{2}{3}\left[1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right] \\
\lim_{n\to\infty}a_n & =\dfrac{2}{3}
\end{aligned}
$
\subsection{海涅定理（归结原则）}
设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。
@@ -868,6 +897,8 @@ $
\subsection{\texorpdfstring{$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$}{}}
证明：
当$x\to 0$时$x\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$。
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
@@ -899,19 +930,34 @@ $\therefore\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。
从而$\lim_{\Delta\to 0}\dfrac{\sin\Delta}{\Delta}=1(\Delta\neq 0)$。
\subsection{\texorpdfstring{$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$}{}}
\subsection{\texorpdfstring{$\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$}{}}
书上通过数列进行单调有界定理证明极限存在性。
证明：
$
\begin{aligned}
& \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x \\
& =\lim_{x\to\infty}e^{\ln(1+\frac{1}{x})^x} \\
& =\lim_{x\to\infty}e^{x\ln(1+\frac{1}{x})} \\
& =e^{\lim_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})} \\
& =e^{\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}} \\
& =e^{\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}} \\
& =e^{\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+x}} \\
& =e
\end{aligned}
$
从而$\lim_{\Delta\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{\Delta}\right)^\Delta=e$与$\lim_{\Delta\to 0}\left(1+\Delta\right)^{\frac{1}{\Delta}}=e(\Delta\neq 0)$。
\section{无穷小的比较}
无穷小运算，设$m$，$n$为正整数：
\subsection{无穷小量}
\begin{enumerate}
\item $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=\min{m,n}$（加减法低阶吸收高阶）。
\item $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$（乘法累加）。
\item $o(x^m)=o(k\cdot x^m)=k\cdot o(x^m)$，$k\neq 0$且为常数（非零常数相乘不影响阶数）。
\end{enumerate}
\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim_{x\to x_0}f(x)=0$，则称$f(x)$为当$x\to x_0$时的无穷小量。
\subsection{无穷小比阶定义}
\subsection{无穷小的比较}
设在自变量同一变化过程中，$\lim\alpha(x)=0$，$\lim\beta(x)=0$，且$\beta(x)\neq 0$，则：
@@ -923,10 +969,36 @@ $\therefore\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。
\item 若$\lim\dfrac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k}=c\neq 0$，则$\alpha(x)$是$\beta(x)$的$k$阶无穷小。
\end{enumerate}
并不是任意无穷小都可以比阶。如$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin\dfrac{1}{x}}{x^2}$就因为得到函数振荡而无法得到极限。
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\alpha(x)\sim\beta(x)$的充要条件是$\alpha(x)=\beta(x)+o(\beta(x))$。
\textcolor{orange}{注意：}并不是任意无穷小都可以比阶。如$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin\dfrac{1}{x}}{x^2}$就因为得到函数振荡而无法得到极限。
\textbf{例题：}证明当$x\to 0$时，$\sqrt[n]{1+x}-1\sim\dfrac{1}{n}x$。
证明$\sqrt[n]{1+x}-1\sim\dfrac{1}{n}x$就是证明$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}\sim\dfrac{1}{n}$。
令$\sqrt[n]{1+x}-1=t$，则$1+x=(1+t)^n$，则$x=(1+t)^n-1$。
利用二项式展开：$=\lim_{t\to 0}\dfrac{t}{nt+\dfrac{n(n-1)}{2}t^2+\cdots}=\dfrac{1}{n}$。
\subsection{无穷小运算}
设$m$，$n$为正整数：
\begin{enumerate}
\item $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=\min{m,n}$（加减法低阶吸收高阶）。
\item $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$（乘法累加）。
\item $o(x^m)=o(k\cdot x^m)=k\cdot o(x^m)$，$k\neq 0$且为常数（非零常数相乘不影响阶数）。
\end{enumerate}
\subsection{常用等价无穷小}
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，则$\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha}{\beta_1}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}$。
所以可以使用等价无穷小替换对应式子，这些等价无穷小都是使用泰勒展开得到的。
\textcolor{red}{警告：}一般只有所替换的式子为乘除的整个因子才能替换，加减一般都不能替换，如$x-\sin x\sim\dfrac{1}{6}x^3$。
$x\to 0$：
\begin{enumerate}
@@ -951,7 +1023,7 @@ $x\to 0$：
\subsection{连续定义}
若函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，且有$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。
若函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，且有$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$或$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。
极限值等于函数值，则该点连续。
@@ -1000,7 +1072,7 @@ $x\to 0$：
\filldraw[black] (1,1) node[right]{$\lim_{x\to x_0}=A$};
\end{tikzpicture}
可去间断点与跳跃间断点都称为第一类间断点。
可去间断点与跳跃间断点的左右极限都存在的点都称为第一类间断点。
\subsubsection{无穷间断点}
@@ -1026,7 +1098,7 @@ $x\to 0$：
\draw[black, thick, domain=-2:-0.01] plot (\x,{sin(pow(\x,-1) r)});
\end{tikzpicture}
无穷间断点与振荡间断点都是第二类间断点。
无穷间断点与振荡间断点的左右极限都不存在的点都是第二类间断点。
\textcolor{orange}{注意：}两侧邻域都有定义才能讨论间断点问题。
@@ -1058,4 +1130,46 @@ $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\ln\vert x\vert\cdot\sin x=\lim_{x\to 0}x\ln\ver
而$x=0$未定义，所以其为可去间断点。
\subsection{函数连续性}
\subsubsection{连续函数四则运算的连续性}
若两个函数在某点连续，则这两个函数的和差积商在该点都连续。
\subsubsection{反函数的连续性}
若函数在定义域是严格单调的函数，则其反函数在其原值域上也是连续的。
\subsubsection{复合函数的连续性}
若$y=f(g(x))$由$y=f(u)$与$u=g(x)$复合而成，若$g(x)$在$x_0$处连续，$f(u)$在$u_0$处连续，且$u_0=g(x_0)$，则$f(g(x))$在$x_0$处连续。
\subsubsection{初等函数的连续性}
基本初等函数在定义域上是连续的。
初等函数在定义区间上是连续的。
定义区间是定义域的子集。
\section{闭区间上连续函数的性质}
设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则：
\begin{enumerate}
\item 最大最小值定理：$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值。
\item 有界性定理：$f(x)$在$[a,b]$上必有界。
\item 零点定理：若$f(a)f(b)<0$，则$\exists\,\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=0$。
\item 介值定理：若$f(a)\neq f(b)$，$\mu$为介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何值，那么至少存在$\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=\mu$。
\end{enumerate}
\textbf{例题：}证明方程$x=a\sin x+b(a>0,b>0)$中至少有一个正根，并且不超过$a+b$。
令$f(x)=x-a\sin x-b$，其中$f(0)=-b<0$，$f(a+b)=a+b=a\sin(a+b)-b=a[1-\sin(a+b)]\geqslant 0$。
若$\sin(a+b)=1$，则根为$a$，结论成立。
若$\sin(a+b)<1$，$\because f(a+b)\cdot f(0)<0$根据零点定理$\exists\,\xi\in[0,a+b]$使得$f(\xi)=0$，从而得证。
\end{document}

473
advanced-math/4-single-variable-function-differential-calculus/single-variable-function-differential-calculus.tex → advanced-math/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex
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@@ -30,7 +30,7 @@
\usepackage{array}
% 设置表格行距
\author{Didnelpsun}
\title{一元函数微分学}
\title{导数与微分}
\date{}
\begin{document}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
@@ -42,14 +42,16 @@
\newpage
\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{1}
\section{概念}
\section{导数概念}
\subsection{引例}
设$f(x)$下$x$在$x_0$的邻域内，$\alpha$为切线所成夹角。
$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$
$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$。
\subsection{导数}
导数的本质是增量比的极限。
\subsection{定义}
设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x)$，即$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。
@@ -73,7 +75,7 @@ $f'_+(x)=\lim_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\d
若$f(x)$在$x_0$处导数为无穷，如$y=x^{\frac{1}{3}}$在$0$处利用导数的极限定义计算得到为正无穷，那么该点的导数为无穷导数，在考研中被认为是不存在的。
\textbf{例题1：}证明若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。
\textbf{例题：}证明若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。
该证明是准备部分的定理。
@@ -92,13 +94,15 @@ $
同理得证$f(-x)=-f(x)\Rightarrow f'(-x)=f'(x)$。
\textbf{例题2：}证明$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。
\textbf{例题：}证明$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。
已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。
$\therefore f'(x+T)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。
$\therefore f'(x+T)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}$
\textbf{例题3：}设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\dfrac{1}{2})>0$，$f'(\dfrac{1}{2})>0$，比较$f(-\dfrac{1}{2})$、$f'(\dfrac{3}{2})$、$f''(0)$的大小。
$=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。
\textbf{例题：}设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\dfrac{1}{2})>0$，$f'(\dfrac{1}{2})>0$，比较$f(-\dfrac{1}{2})$、$f'(\dfrac{3}{2})$、$f''(0)$的大小。
$\because f(x)$为二阶奇函数，$\therefore f(x)\text{奇函数}\Rightarrow f'(x)\text{偶函数}\Rightarrow f''(x)\text{奇函数}\Rightarrow f''(0)=0$。
@@ -108,7 +112,67 @@ $\because f(x)T=2\Rightarrow f'(x)T=2$，$\therefore f'(\dfrac{3}{2})=f'(\dfrac{
$\therefore f'(\dfrac{3}{2})>f''(0)>f(-\dfrac{1}{2})$。
\textbf{例题4：}证明$(uv)'=u'v+uv'$。
\textbf{例题：}$\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}(x>0)$。
$
\begin{aligned}
& \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\
& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\left(x+\Delta x\right)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x} \\
& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\left[\left(1+\dfrac{\Delta x}{x}\right)^\alpha-1\right]}{\Delta x} \\
& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\cdot\alpha\cdot\dfrac{\Delta x}{x}}{\Delta x} \\
& =\alpha x^{\alpha-1}
\end{aligned}
$
\subsection{导数的几何意义}
导数$f'(x_0)$在几何上就是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。
切线方程：$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$。
法线方程：$y-y_0=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$。
\subsection{可导与连续的关系}
可导必连续，连续不一定可导。
\textbf{例题：}证明可导必连续。
已知连续定义：$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。
可导定义：$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$
$
\begin{aligned}
& \lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x) \\
& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x \\
& =A\cdot 0 \\
& =0
\end{aligned}
$
\textbf{例题：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。
证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。
又$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。
如$\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。
\section{函数求导法则}
\subsection{四则运算}
若函数可导：
\begin{enumerate}
\item 和差的导数：$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$。
\item 积的导数：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$，\\ $[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)+w'(x)$。
\item 商的导数：$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
\end{enumerate}
\textbf{例题：}证明$(uv)'=u'v+uv'$。
令$f(x)=u(x)v(x)$。
@@ -124,143 +188,13 @@ $
\end{aligned}
$
\textbf{例题5：}证明可导必连续。
已知连续定义：$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。
可导定义：$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$
$
\begin{aligned}
& \lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x) \\
& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x \\
& =A\cdot 0 \\
& =0
\end{aligned}
$
\textbf{例题6：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。
证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。
又$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。
如$\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。
高阶导数\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$f^n(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f^{n-1}(x_0+\Delta x)-f^{n-1}(x_0)}{\Delta x}$，其中$n\geqslant 2$且$n\in N^+$，$f^{n-1}(x)$在$x_0$的某领域内有定义，$x_0+\Delta x$也在该邻域内。
\subsection{微分}
有一个边长为$x$的正方形，变化了$\Delta x$，其面积$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$。
当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot\Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。
增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\rm{d}y$，叫做$y$的微分。
$\therefore \rm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\rm{d}x$
由此，可导必可微，可微必可导。
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[-latex](-0.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$};
\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$};
\draw[black, thick, domain=1.5:3] plot (\x,{pow(\x-1,2)/2+1}) node[above]{$y(x)$};
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
\draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (1.5,0) node[below]{$x_0$};
\draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (0,1.125) node[left]{$y_0$};
\draw[black, densely dashed](3,3) -- (3,0) node[below]{$x_0+\Delta x$};
\draw[black, densely dashed](3,3) -- (0,3) node[left]{$y_0+\Delta x$};
\draw[black, densely dashed](3,1.875) -- (0,0.375) node[left]{$\rm{d}yx+b$};
\draw[<->, black](1.5,1.125) -- (3,1.125);
\draw[<->, black](4,1.125) -- (4,3);
\draw[<->, black](3.25,1.125) -- (3.25,1.875);
\draw[<->, black](3.25,3) -- (3.25,1.875);
\draw[black](3,3) -- (4.5,3);
\draw[black](3,1.125) -- (4.5,1.125);
\draw[black](3,1.875) -- (3.75,1.875);
\filldraw[black] (2.25,0.75) node{$\Delta x$};
\filldraw[black] (4.3,2) node{$\Delta y$};
\filldraw[black] (3.5,1.5) node{\scriptsize{$\rm{d}y$}};
\filldraw[black] (3.5,2.5) node{\scriptsize{$o(\Delta x)$}};
\end{tikzpicture}
所以可微就是用简单线性取代复杂线性，如图用直线取替代曲线。
\section{导数与微分计算}
\subsection{四则运算}
若函数可导：
\begin{enumerate}
\item 和差的导数或微分：$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$，$\rm{d}[u(x)\pm v(x)]=\rm{d}u(x)\pm\rm{d}v(x)$。
\item 积的导数或微分：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$，$\rm{d}[u(x)v(x)]=u(x)\rm{d}v(x)+v(x)\rm{d}u(x)$，$[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)+w'(x)$。
\item 商的导数：$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$，$\rm{d}\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]=\dfrac{v(x)\rm{d}u(x)-u(x)\rm{d}v(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
\item 复合函数的导数：链式求导法则$\dfrac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}u}{\rm{d}y}\cdot\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}$。
\end{enumerate}
\subsection{分段函数的导数}
设$f(x)=\left\{
\begin{array}{lcl}
f_1(x), & & x\geqslant x_0 \\
f_2(x), & & x<x_0 \\
\end{array}
\right.$。
在分段点用定义：判断$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0}\overset{?}{=}\lim_{x\to x_0^-}\dfrac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。
非分段点使用导数公式求导：$x>x_0,f'(x)=f_1'(x),x<0，f'(x)=f_2'(x)$。
\subsection{复合函数的导数与微分形式不变性}
$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$，$\rm{d}\{f[g(x)]\}=f'[g(x)]g'(x)\rm{d}x$。
一阶微分形式不变性指：$\rm{d}f(\varsigma)=f'(\varsigma)\rm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么。（类似导数的链式求导法则）
\textbf{例题7：}设$f(x)=\Pi_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^a}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？
原式=$\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)$。
令$\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)=g(x)$。
$\therefore f(x)=\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g(x)$。
$\therefore f'(x)=\sec^2\dfrac{\pi x}{4}\cdot\dfrac{\pi}{4}\cdot g(x)+\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g'(x)$。
$\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求导乘以其他不求导项的和，而$\tan\dfrac{\pi x}{4}-1$当$x=1$时为0，只要它不求导，其他的项都必然是0，所以原式的后面的结果都是0。
$\therefore$
$
\begin{aligned}
f'(1) & =f'(x)\vert_{x=1} \\
& =\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)+0\cdot g'(x) \\
& =\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1) \\
& =\dfrac{\pi}{2}(-1)(-2)\cdots(-99) \\
& =-\dfrac{\pi}{2}\cdot 99!
\end{aligned}
$
\textbf{例题8：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\rm{d}y$。
$\because y=e^{\sin(\ln x)} \therefore$
$
\begin{aligned}
\rm{d}y &=\rm{d}e^{\sin(\ln x)} \\
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\rm{d}(\sin(\ln x)) \\
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\rm{d}\ln x \\
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}\rm{d}x
\end{aligned}
$
\subsection{反函数导数}
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$，则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\dfrac{\rm{d}x}{\rm{d}y}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}}$，即$\varphi'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$。
$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$就是指严格单调，而严格单调必有反函数。
\textbf{例题9：}求$y=\arcsin x,x\in(-1,1)$与$y=\arctan x$的导数。
\textbf{例题：}求$y=\arcsin x,x\in(-1,1)$与$y=\arctan x$的导数。
首先反三角函数就是三角函数的反函数、
@@ -288,7 +222,7 @@ $
其中$\rm{d}x\cdot\rm{d}x=(\rm{d}x)^2=\rm{d}x^2$称为微分的幂，而$\rm{d}(x^2)$叫幂的微分。
\textbf{例题10：}设$y=f(x)$的反函数是$x=\varphi(y)$，且$f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\rm{d}t+1$，求$\varphi''(1)$。
\textbf{例题：}设$y=f(x)$的反函数是$x=\varphi(y)$，且$f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\rm{d}t+1$，求$\varphi''(1)$。
$\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y_{xx}''}{(y_x')^3}=-\dfrac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$。
@@ -296,60 +230,56 @@ $\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y
又$y=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\varphi''(1)=-\dfrac{f''\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\left[f'\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]^3}=-\dfrac{1}{e^2}$。
\subsection{参数方程函数导数}
\subsection{复合函数的导数}
设函数$y=y(x)$由参数方程$\left\{
\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{array}
\}\right.$确定，其中$t$为参数，且$\varphi(t)\psi(t)$对于$t$都可导，$\varphi(t)\neq 0$，则：
$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$，$\rm{d}\{f[g(x)]\}=f'[g(x)]g'(x)\rm{d}x$。
\bigskip
一阶微分形式不变性指：$\rm{d}f(\varsigma)=f'(\varsigma)\rm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么。（类似导数的链式求导法则）
一阶导数：$\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}y/\rm{d}t}{\rm{d}x/\rm{d}t}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=u(t)$。
\textbf{例题：}设$f(x)=\Pi_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^a}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？
二阶导数：$\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)/\rm{d}t}{\rm{d}x/\rm{d}t}=\dfrac{\rm{d}u/\rm{d}t}{\rm{d}x/\rm{d}t}=\dfrac{u'_t}{x'_t}$
原式=$\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)$。
\textbf{例题11：}设$y=y(x)$由方程$\left\{
\begin{array}{l}
x=\sin t \\
y=t\sin t+\cos t
\end{array}
\right.
$（$t$为参数）确定，求$\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}\vert_{t=\frac{\pi}{4}}$。
令$\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)=g(x)$。
求参数方程的二阶导数首先就要求出其一阶导数：
$\therefore f(x)=\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g(x)$。
$\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\dfrac{y_t'}{x_t'}=\dfrac{t\cos t}{\cos t}=t$。
$\therefore f'(x)=\sec^2\dfrac{\pi x}{4}\cdot\dfrac{\pi}{4}\cdot g(x)+\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g'(x)$。
$\therefore\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)}{\rm{d}x}=\dfrac{t_t'}{(\sin t)_t'}=\dfrac{1}{\cos t}$
$\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求导乘以其他不求导项的和，而$\tan\dfrac{\pi x}{4}-1$当$x=1$时为0，只要它不求导，其他的项都必然是0，所以原式的后面的结果都是0。
$\therefore \sqrt{2}$。
\subsection{隐函数求导法}
设函数$y=y(x)$由方程$F(x,y)=0$确定的可导函数，则\ding{172}方程两边对自变量$x$求导，（$y=y(x)$就是将$y$看作中间变量）得到一个关于$y'$的方程。\ding{173}解该方程就可以得出$y'$。
\textbf{例题12：}设$y=y(x)$是由方程$\sin(xy)=\ln\dfrac{x+e}{y}+1$确定的隐函数，求$y'(0)$。
两边求导：
$\therefore$
$
\begin{aligned}
\sin(xy) &=\ln(x+e)-\ln(y)+1 \\
\cos(xy)(y+xy') &=\dfrac{1}{x+e}-\dfrac{y'}{y} \\
\because\text{将0代入} & x=0, y=e^2 \\
e^2&=\dfrac{1}{e}-\dfrac{y'(0)}{e^2} \\
y'(0) & =e-e^4
f'(1) & =f'(x)\vert_{x=1} \\
& =\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)+0\cdot g'(x) \\
& =\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1) \\
& =\dfrac{\pi}{2}(-1)(-2)\cdots(-99) \\
& =-\dfrac{\pi}{2}\cdot 99!
\end{aligned}
$
\subsection{分段函数的导数}
设$f(x)=\left\{
\begin{array}{lcl}
f_1(x), & & x\geqslant x_0 \\
f_2(x), & & x<x_0 \\
\end{array}
\right.$。
在分段点用定义：
判断$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0}\overset{?}{=}\lim_{x\to x_0^-}\dfrac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。
非分段点使用导数公式求导：$x>x_0,f'(x)=f_1'(x),x<0，f'(x)=f_2'(x)$。
\subsection{对数求导法}
对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，设$y=f(x)(f(x)>0)$，则\ding{172}等式两边取对数：$\ln y=\ln f(x)$。\ding{173}两边对自变量$x$求导，得$\dfrac{1}{y}y'=[\ln f(x)]'\Rightarrow y'=y[\ln f(x)]'$。
\textbf{例题13：}求$y=\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)(2x-1)^2}{(4-3x)^5}}$的导数。
\textbf{例题：}求$y=\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)(2x-1)^2}{(4-3x)^5}}$的导数。
取对数：$\ln\vert y\vert=\dfrac{1}{3}[\ln\vert x+1\vert+2\ln\vert 2x-1\vert-5\ln\vert 4-3x\vert]$。
@@ -365,13 +295,17 @@ $\therefore y'=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\
非常重要。
对于$u(x)^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\neq 1)$除了对数求导法外还可以使用指数函数$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$，然后求导得到$[u(x)^{v(x)}]'=[e^{v(x)\ln u(x)}]'=u(x)^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+v(x)\cdot\dfrac{u'(x)}{u(x)}\right]$。
对于$u(x)^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\neq 1)$，除了对数求导法外还可以使用指数函数$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$。
\textbf{例题14：}求$y=x^x(x>0)$的导数。
然后求导得到$[u(x)^{v(x)}]'$$=[e^{v(x)\ln u(x)}]'$
$=u(x)^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+v(x)\cdot\dfrac{u'(x)}{u(x)}\right]$。
\textbf{例题：}求$y=x^x(x>0)$的导数。
$\because x^x=e^{x\ln x}$，$\therefore (x^x)'=(e^{x\ln x})'=x^x\cdot(\ln x+1)$。
\textbf{例题15：}求解$y=x^{\frac{1}{x}}(x>0)$的整数最大值。
\textbf{例题：}求解$y=x^{\frac{1}{x}}(x>0)$的整数最大值。
$\because y=x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln x}$。
@@ -400,17 +334,43 @@ $0<x<e$时$1-\ln x$大于0，所以导数大于0，函数在该区间增。相
所以必然在$\sqrt{2}$与$\sqrt[3]{3}$两点取得整数最大值，而全部六次方后$\sqrt{2}^6=8<\sqrt[3]{3}=9$，所以$\sqrt[3]{3}$为最大整数解。
\subsection{高阶导数}
\subsection{变限积分求导公式}
即导数阶数在2以及以上的导数计算。
必然会考。
\subsubsection{归纳法}
已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\rm{d}x$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。
\section{高阶导数}
\subsection{定义}
高阶导数\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$f^{(n)}(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}$，其中$n\geqslant 2$且$n\in N^+$，$f^{(n-1)}(x)$在$x_0$的某领域内有定义，$x_0+\Delta x$也在该邻域内。
若$f^{(n)}(x)$在区间$I$上连续，称$f(x)$在$I$上$n$阶连续可导。
\begin{itemize}
\item $(e^x)^{(n)}=e^x$。
\item $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\dfrac{\pi}{2})$。
\item $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\dfrac{\pi}{2})$。
\item $(\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}$。
\end{itemize}
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}
设$u,v$都是$n$阶可导，则：
\begin{itemize}
\item $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$。
\item 莱布尼兹公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。
\end{itemize}
\subsection{归纳法}
即依次求导得出规律。
$(a^x)^n=a^x(\ln a)^{(n)}$，如$y=2^x$，则$y'=2^x\ln 2$，$y''=2^x(\ln 2)^2\cdots$得到$y^{(n)}=2^x(\ln 2)^n,n\in N$。
\textbf{例题16：}求$\sin x$的$n$阶导数。
\textbf{例题：}求$\sin x$的$n$阶导数。
$\because \sin x'=\cos x$而不断求导会发现正负号会++--++--地变化而难以归纳为公式，所以需要另想办法。
@@ -425,7 +385,7 @@ $
\end{aligned}
$
\subsubsection{莱布尼茨公式}
\subsection{莱布尼茨公式}
设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶可导，则$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。
@@ -489,7 +449,7 @@ $
\draw[-,thick] (9) to (14);
\end{tikzpicture}
\textbf{例题17：}已知函数$y=e^x\cos x$，求$y^{(4)}$。
\textbf{例题：}已知函数$y=e^x\cos x$，求$y^{(4)}$。
根据莱布尼兹公式：
@@ -502,38 +462,135 @@ $
\end{aligned}
$
\subsubsection{泰勒公式}
\section{隐函数与参数方程的导数以及相关变化率}
先写出$y=f(x)$的泰勒公式或麦克劳林公式，再通过比较系数来获得$f^{(n)}(x_0)$：
\subsection{隐函数求导法}
设函数$y=y(x)$由方程$F(x,y)=0$确定的可导函数，则\ding{172}方程两边对自变量$x$求导，（$y=y(x)$就是将$y$看作中间变量）得到一个关于$y'$的方程。\ding{173}解该方程就可以得出$y'$。
\textbf{例题：}设$y=y(x)$是由方程$\sin(xy)=\ln\dfrac{x+e}{y}+1$确定的隐函数，求$y'(0)$。
两边求导：
$
\begin{aligned}
\sin(xy) &=\ln(x+e)-\ln(y)+1 \\
\cos(xy)(y+xy') &=\dfrac{1}{x+e}-\dfrac{y'}{y} \\
\because\text{将0代入} & x=0, y=e^2 \\
e^2&=\dfrac{1}{e}-\dfrac{y'(0)}{e^2} \\
y'(0) & =e-e^4
\end{aligned}
$
\subsection{参数方程函数导数}
设函数$y=y(x)$由参数方程$\left\{
\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{array}
\}\right.$确定，其中$t$为参数，且$\varphi(t)\psi(t)$对于$t$都可导，$\varphi(t)\neq 0$，则：
\bigskip
一阶导数：$\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}y/\rm{d}t}{\rm{d}x/\rm{d}t}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=u(t)$。
二阶导数：$\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)/\rm{d}t}{\rm{d}x/\rm{d}t}=\dfrac{\rm{d}u/\rm{d}t}{\rm{d}x/\rm{d}t}=\dfrac{u'_t}{x'_t}$
\textbf{例题：}设$y=y(x)$由方程$\left\{
\begin{array}{l}
x=\sin t \\
y=t\sin t+\cos t
\end{array}
\right.
$（$t$为参数）确定，求$\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}\vert_{t=\frac{\pi}{4}}$。
求参数方程的二阶导数首先就要求出其一阶导数：
$\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}=\dfrac{y_t'}{x_t'}=\dfrac{t\cos t}{\cos t}=t$。
$\therefore\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}x^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\right)}{\rm{d}x}=\dfrac{t_t'}{(\sin t)_t'}=\dfrac{1}{\cos t}$
$\therefore \sqrt{2}$。
当所求是极坐标方程时，可以使用$x=\rho(\theta)\cos\theta$和$y=\rho(\theta)\sin\theta$进行转换为参数方程然后进行求导。
\subsection{相关变化率}
列出依赖于$t$的相关变化率关系式，然后等式两端对$t$求导。
\section{函数微分}
\subsection{定义}
有一个边长为$x$的正方形，变化了$\Delta x$，其面积$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$。
当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot\Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。
增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\rm{d}y$，叫做$y$的微分。
$\therefore \rm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\rm{d}x$
由此，可导必可微，可微必可导。
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[-latex](-0.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$};
\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$};
\draw[black, thick, domain=1.5:3] plot (\x,{pow(\x-1,2)/2+1}) node[above]{$y(x)$};
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
\draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (1.5,0) node[below]{$x_0$};
\draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (0,1.125) node[left]{$y_0$};
\draw[black, densely dashed](3,3) -- (3,0) node[below]{$x_0+\Delta x$};
\draw[black, densely dashed](3,3) -- (0,3) node[left]{$y_0+\Delta x$};
\draw[black, densely dashed](3,1.875) -- (0,0.375) node[left]{$\rm{d}yx+b$};
\draw[<->, black](1.5,1.125) -- (3,1.125);
\draw[<->, black](4,1.125) -- (4,3);
\draw[<->, black](3.25,1.125) -- (3.25,1.875);
\draw[<->, black](3.25,3) -- (3.25,1.875);
\draw[black](3,3) -- (4.5,3);
\draw[black](3,1.125) -- (4.5,1.125);
\draw[black](3,1.875) -- (3.75,1.875);
\filldraw[black] (2.25,0.75) node{$\Delta x$};
\filldraw[black] (4.3,2) node{$\Delta y$};
\filldraw[black] (3.5,1.5) node{\scriptsize{$\rm{d}y$}};
\filldraw[black] (3.5,2.5) node{\scriptsize{$o(\Delta x)$}};
\end{tikzpicture}
所以可微就是用简单线性取代复杂线性，如图用直线取替代曲线。微分就是瞬时改变量，而导数就是瞬时改变速率。
\subsection{基本运算}
\subsubsection{四则运算}
若函数可导：
\begin{enumerate}
\item 任何一个无穷阶可导的函数（在收敛的情况下）都可以写为 \\
$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 或 $y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$。
\item 给出的任意一个具体的无穷阶可导函数$y=f(x)$都可以通过已知的公式展开为幂级数。
\item 而函数的展开式具有唯一性，比较步骤一步骤二的公式的系数就可以获取倒$f^{(n)}(x_0)$或$f^{(n)}(0)$。
\item 和差的微分：$\rm{d}[u(x)\pm v(x)]=\rm{d}u(x)\pm\rm{d}v(x)$。
\item 积的微分：$\rm{d}[u(x)v(x)]$$=u(x)\rm{d}v(x)+v(x)\rm{d}u(x)$。
\item 商的微分：$\rm{d}\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]=\dfrac{v(x)\rm{d}u(x)-u(x)\rm{d}v(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
\item 复合函数的微分：链式求导法则$\dfrac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}u}{\rm{d}y}\cdot\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}$。
\end{enumerate}
\textbf{例题18：}设$y=x^3\sin x$，求$y^{(6)}(0)$。
\subsubsection{微分形式不变性}
\ding{172}$y=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{y^{(n)}(0)}{n!}x^n$。
设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\rm{d}y=y'_x\rm{d}x=y'_u\rm{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的。
$\because$需要结果的导数阶数为6，所以最后得到的次数为6就可以了。
\textbf{例题：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\rm{d}y$。
\ding{173}$\therefore y=x^3\left(x-\dfrac{1}{6}x^3+\cdots\right)=x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\cdots$（不要写$o(x^n)$，因为这里$x$并不是趋向0的）。
$\because y=e^{\sin(\ln x)} \therefore$
\ding{174}步骤一的抽象函数当$n=6$时为$\dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}x^6$，它应该与步骤二得到的$x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\cdots$的6阶项的系数相等。
$
\begin{aligned}
\rm{d}y &=\rm{d}e^{\sin(\ln x)} \\
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\rm{d}(\sin(\ln x)) \\
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\rm{d}\ln x \\
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}\rm{d}x
\end{aligned}
$
$\therefore \dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow y^{(6)}(0)=-5!=-120$。
\section{基本求导公式}
\subsection{变限积分求导公式}
必然会考。
已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\rm{d}x$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。
\subsection{基本求导公式}
\subsubsection{对幂指函数}
\subsection{对幂指函数}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
@@ -547,7 +604,7 @@ $\therefore \dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow y^{(6)}(0)=-5!=-120$
\end{tabular}
\end{center}
\subsubsection{三角与反三角函数}
\subsection{三角与反三角函数}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
@@ -563,7 +620,7 @@ $\therefore \dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow y^{(6)}(0)=-5!=-120$
\end{tabular}
\end{center}
\subsubsection{双曲与反双曲函数}
\subsection{双曲与反双曲函数}
\begin{itemize}
\item 双曲正弦：$\rm{sinh}\,\textit{x}=\rm{sh}\,\textit{x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$。

79
advanced-math/2-number-series-and-limit/numer-series-and-limit.tex
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@@ -1,79 +0,0 @@
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\author{Didnelpsun}
\title{数列与极限}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\newpage
\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{1}
\section{夹逼准则}
\section{单调有界准则}
\section{直接计算法}
通过单调有界准则不一定能简单计算出结果，因为如果要计算极限，就无法使用，对于迭代式方程也可以直接计算，不过该种类型题目难度较大。
\textbf{例题9：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim_{n\to\infty}a_n$。
首先看题目，给出的递推式设计到二阶递推，即存在三个数列变量，所以我们必须先求出对应的数列表达式。因为这个表达式涉及三个变量，所以尝试对其进行变型：
$
\begin{aligned}
a_{n+1}-a_n & =\dfrac{a_{n-1}-a_n}{2} \\
& =\left(-\dfrac{1}{2}\right)(a_n-a_{n-1}) \\
& =\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2(a_{n-1}-a_{n-2}) \\
& =\cdots \\
& =\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_1-a_0) \\
& = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n
\end{aligned}
$
然后得到了$a_{n+1}-a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$，而需要求极限，所以使用列项相消法的逆运算：
$
\begin{aligned}
a_n & = (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_1-a_0)+a_0 \\
& = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} + \cdots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^0 \\
& = \dfrac{1\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)} \\
& = \dfrac{2}{3}\left[1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right] \\
\lim_{n\to\infty}a_n & =\dfrac{2}{3}
\end{aligned}
$
\end{document}

29
advanced-math/3-differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives/differential-mean-value-theorem-and-applications-of-derivatives.tex
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@@ -42,6 +42,12 @@
\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{1}
\section{微分中值定理}
\subsection{罗尔定理}
\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}
\section{洛必达法则}
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}
@@ -116,6 +122,29 @@ $
$
\subsubsection{泰勒公式}
先写出$y=f(x)$的泰勒公式或麦克劳林公式，再通过比较系数来获得$f^{(n)}(x_0)$：
\begin{enumerate}
\item 任何一个无穷阶可导的函数（在收敛的情况下）都可以写为 \\
$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 或 $y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$。
\item 给出的任意一个具体的无穷阶可导函数$y=f(x)$都可以通过已知的公式展开为幂级数。
\item 而函数的展开式具有唯一性，比较步骤一步骤二的公式的系数就可以获取倒$f^{(n)}(x_0)$或$f^{(n)}(0)$。
\end{enumerate}
\textbf{例题18：}设$y=x^3\sin x$，求$y^{(6)}(0)$。
\ding{172}$y=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{y^{(n)}(0)}{n!}x^n$。
$\because$需要结果的导数阶数为6，所以最后得到的次数为6就可以了。
\ding{173}$\therefore y=x^3\left(x-\dfrac{1}{6}x^3+\cdots\right)=x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\cdots$（不要写$o(x^n)$，因为这里$x$并不是趋向0的）。
\ding{174}步骤一的抽象函数当$n=6$时为$\dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}x^6$，它应该与步骤二得到的$x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\cdots$的6阶项的系数相等。
$\therefore \dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow y^{(6)}(0)=-5!=-120$。
\subsection{展开幂的选择}