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更新随机变量与分布
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% 使用颜色
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% 因为所以
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% 数学公式
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\title{随机变量及其分布}
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\date{}
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\tableofcontents
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\section{二项分布}
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\textbf{例题：}已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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2x, & 0<x<1 \\
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0, \text{其他}
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\end{array}\right.$，$Y$表示对$X$进行3次独立重复试验中事件$\left\{X\leqslant\dfrac{1}{2}\right\}$，求$P\{Y=2\}$。\medskip
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解：已知对$X$进行独立重复试验，表示这个进行的是伯努利试验，从而$Y\sim B(n,p)$。又是3次，所以$Y\sim B(3,p)$。
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只用求出这个$p$即$\left\{X\leqslant\dfrac{1}{2}\right\}$的概率就可以了。又已知$f(x)$。
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$\therefore p=\left\{X\leqslant\dfrac{1}{2}\right\}=\int_0^\frac{1}{2}2x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{4}$。$\therefore P\{Y=2\}=B\left(3,\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{9}{64}$。
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\section{泊松分布}
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\textbf{例题：}设一本书的各页印刷错误的个数$X$服从泊松分布。已知只有一个和只有两个印刷错误的页数相同，则随机抽查的4页中无印刷错误的概率$p$为？
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解：$\because P\{X=1\}=P\{X=2\}$，$\therefore\dfrac{\lambda^1}{1!}e^{-\lambda}=\dfrac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}$，$\lambda=2$。
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由于随机抽四页类似于伯努利试验是相互独立的，所以随机抽4页都无错误的概率为$[P\{X=0\}]^4=e^{-8}$。
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\section{几何分布}
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\textbf{例题：}已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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2^{-x}\ln2, & x>0 \\
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0, \text{其他}
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\end{array}\right.$，对$X$进行独立重复观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记$Y$为观测次数，求$Y$的概率分布。
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解：由题目直到就停止，知道$Y\sim G(p)$。
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又$p=P\{X\geqslant3\}=\int_3^{+\infty}2^{-x}\ln2\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{8}$
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这是对几何分布的变形，首先进行$k$次试验，第$k$次成功，所以要乘$p$，而因为是第2个成功，所以前面的$k-1$次中有$k-2$次失败和一次成功，所以一共$p^2(1-k)^{k-2}$。因为前面的成功的一次在$k-1$中任意一个地方就可以了，所以一共有$k-1$中可能性，要考虑到排列，所以还要乘$(k-1)$。
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$\therefore P\{Y=k\}=(k-1)\left(\dfrac{1}{8}\right)^2\cdot\left(\dfrac{7}{8}\right)^{k-2}$。
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\end{document}
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\title{标题}
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% 圆圈序号
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\title{随机事件与概率}
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\date{}
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\begin{itemize}
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\item 描述性定义：将随机事件$A$发生的可能性大小的度量（非负）称为事件$A$发生的概率，记为$P(A)$。
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||||
\item 统计性定义：在相同条件下做重复试验，事件$A$出现的次数$k$和总的试验次数$n$之比$\dfrac{k}{n}$，称为事件$A$在这$n$次试验中出现的\textbf{频率}，当$n$充分大时，频率将稳定与某常数$p$附近，$n$越大频率偏离这个常数$p$的可能性越小，这个常数$p$就是事件$A$的概率。
|
||||
\item 公理化定义：设随机试验的样本空间为$\Omega$，如果对每一个事件$A$都有一个确定的实数$P(A)$，且事件函数$P(\cdot)$满足：\ding{172}非负性：$P(A)\geqslant0$；\ding{173}规范性：$P(\Omega)=1$；\ding{174}可列可加性：对于任意个互不相容事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$有$P(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)$，则称$P(\cdot)$为概率，$P(A)$为事件$A$的概率。
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||||
\end{itemize}
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\subsection{概率模型}
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\subsection{概率类型}
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\subsubsection{古典概型}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}样本空间满足：\ding{172}只有有限个样本点（基本事件）；\ding{173}每个样本点（基本事件）发生的可能性一样（等可能）。
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||||
若古典概型的基本事件总数为$n$，事件$A$包含$k$个基本事件，也称为有利于$A$的基本事件为$k$个，则$A$的概率为$P(A)=\dfrac{k}{n}=\dfrac{\text{事件}A\text{所含基本事件的个数}}{\text{基本事件总数}}$，这个概率就是$A$的\textbf{古典概率}。
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古典概型的关键是计数，常用的方法有三种：
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\begin{enumerate}
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\item 列举法（直接查数法）：基本事件为数不多使用。
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\item 集合对应法：\begin{enumerate}
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\item 加法原理：完成一件事有$n$类方法，第一类方法中有$m_1$类方法，第二类办法有$m_2$中方法，$\cdots$，第$n$类方法中有$m_n$类方法，所以完成此事共有$\sum\limits_{i=1}^nm_i$种方法。
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||||
\item 乘法原理：完成一件事情有$n$个步骤，第一步有$m_1$种方法，第二步有$m_2$种方法，$\cdots$，第$n$步有$m_n$种方法，则完成此事共有$\prod\limits_{i=1}^nm_i$种方法。
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||||
\item 排列：从$n$种不同的元素种取出$m\leqslant n$个元素，并按照一定顺序排成一列，称为排列，所有排列的个数称为排列数，记为$P_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$，当$m=n$时，$P_m^n=n!$称为\textbf{全排列}。
|
||||
\item 组合：从$n$种不同的元素种取出$m\leqslant n$个元素，并组成一组，称为组合，所有组合的个数称为组合数，记为$C_n^m=\dfrac{P_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{(n-m)!m!}$。
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||||
\end{enumerate}
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||||
\item 逆数法：先求$\overline{A}$中的基本事件数$n_{\overline{A}}$，将基本事件总数$n$减去$n_{\overline{A}}$得$A$中的基本事件数。常用于计算含有“至少”字样的事件的概率。
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\end{enumerate}
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问题常见类型：
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\begin{itemize}
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\item 直接用定义求概率。
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\item 随机分配或随机占位。将$n$个可辨质点是随机分配到$N$个盒子中。若每盒最多可容纳一个质点，则一共有$P_N^n$种分法；若每盒可以容纳任意多个质点，则一共有$N^n$种分法。
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\item 简单随机抽样。设$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_N\}$含有$N$个元素，称$\Omega$为总体。各元素被抽到的可能性相同。若先后有放回取$n$次，则有$N^n$种抽法；若先后无放回取$n$次，则有$P_N^n$种抽法；若任取$n$个，则有$C_N^n$种抽法。
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\end{itemize}
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\textbf{例题：}5人共钓到3条鱼，每条鱼每个人钓到的可能性相同，求：
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(1)3条鱼由不同人钓到的概率。
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(2)有1人钓到两条鱼的概率。
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(3)3条鱼由同一个人钓到的概率。
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由题目可知这是一个随机分配的问题，总基本事件数为$5^3$。
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对于鱼而言没有明确的区分说明，所以这个就是个组合问题。
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(1)解：令第一个事件为$A$，因为每条鱼由不同的人钓到，即5人中恰有3人各钓到鱼，所以组合一共有$C_5^3$种，即从5个人取3个人有这么多种的取法。这3个人需要钓到3条鱼，因为鱼是可辩的，所以每组有$P_3^3$种分配方法。则$P(A)=\dfrac{C_5^3P_3^3}{5^3}$。
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(2)解：令第二个事件为$B$，若一个人钓到两条，即从3条中任意选2，即$C_3^2$，又是5个人中的一个人完成的，所以$C_5^1$，所以有一个人钓到2条鱼共有$C_3^2C_5^1$种可能，此时还有一条鱼可以被其他4个人钓到，所以还要乘4。则$P(B)=\dfrac{C_3^2C_5^14}{5^3}$。
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||||
(3)解：令第三个事件为$C$，若一个人钓到三条，所以只有一种选法，然后有5个人可能钓到3条，所以是$C_5^1$，则$P(C)=\dfrac{C_5^1}{5^3}$。
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\subsubsection{几何概型}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}\ding{172}样本空间$\Omega$是一个可度量的有界区域；\ding{173}每个样本点发生的可能性都是一样，即样本点落入$\Omega$的某一可度量的子区域$S$的可能性大小与$S$的几何度量成正比，而与$S$的位置与形状无关。
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||||
在几何概型随机试验中，若$S_A$是样本空间$\Omega$的一个可度量的子区域，则事件$A={\text{样本落入区域}S_A}$的概率为$P(A)=\dfrac{S_A\text{的几何度量}}{\Omega\text{的几何度量}}$，这个概率就是$A$的\textbf{几何概率}。
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古典概型的基本事件有限，而几何概型的基本事件无限且可几何度量。
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\subsection{性质}
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\begin{itemize}
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\item 有界性：对于任一事件$A$，有$0\leqslant P(A)\leqslant1$，且$P(\varnothing)=0$，$P(\Omega)=1$。（$P(A)=0$不能推出$A=\varnothing$，同样$P(A)=1$不能推出$A=\Omega$）
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||||
\item 单调性：设$AB$为两个事件，若$A\subset B$，则$P(B-A)=P(B)-P(A)$，$P(B)\geqslant P(A)$。
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||||
\end{itemize}
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||||
\subsection{公式}
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||||
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item 逆事件概率公式：对于任一事件$A$，有$P(\overline{A})=1-P(A)$。
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||||
\item 加法公式：对于任意两个事件$AB$，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$；对于三个事件$ABC$，$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$；对于四个事件$ABCD$，$P(A\cup B\cup C\cup D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)-P(AB)-P(AC)-P(AD)-P(BC)-P(BD)-P(CD)+P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD)-P(ABCD)$；若$A_1,A_2,\cdots,A_n$两两互不相容，则$P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)$。
|
||||
\item 减法公式：$P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\overline{B})$。
|
||||
\item 条件概率公式：对于任意两个事件$AB$，若$P(A)>0$，我们称在已知事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率为\textbf{条件概率}，记为$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$。$P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)$，$P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A)$。
|
||||
\item 乘法公式：若$P(A)>0$，则$P(AB)=P(A)P(B|A)$。一般而言，对于$n>2$，$P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0$，则$P(A_1A_2\cdots A_{n-1})=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)$\\$\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})$。（$A_i$的顺序不定）
|
||||
\item 全概率公式：若$\bigcup\limits_{i=1}^nA_i=\Omega$，$A_iA_j=\varnothing$（$i\neq j$，$i,j=1,2,\cdots,n$），$P(A_i)>0$，则对任一事件$B$，有$B=\bigcup\limits_{i=1}^nA_iB$，$P(B)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$。$P(B)=P(B\Omega)=P(B(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i))=P(\bigcup\limits_{i=1}^nBA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(BA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$。
|
||||
\item 贝叶斯公式：若$\bigcup\limits_{i=1}^nA_i=\Omega$，$A_iA_j=\varnothing$（$i\neq j$，$i,j=1,2,\cdots,n$），$P(A_i)>0$，则对任一事件$B$，有$P(A_i|B)=\dfrac{P(A_iB)}{P(B)}=\dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}$。
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||||
\end{itemize}
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||||
全概率公式是由因知果，而贝叶斯公式是执果索因。
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\textbf{例题：}若随机事件$AB$同时发生，$C$也必然发生，且下列选项一定成立的是()。
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$A.P(C)<P(A)+P(B)-1$\qquad$B.P(C)\geqslant P(A)+P(B)-1$
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||||
$C.P(C)=P(AB)$\qquad$D.P(C)=P(A\cup B)$
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||||
解：$AB$同时发生，$C$也必然发生则说明$AB$这个事件是包含于$C$的，所以$AB$同时发生才能发生$C$，但是反之不一定成立，$AB\subset C$，$P(AB)\leqslant P(C)$。
|
||||
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||||
又$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\leqslant P(C)$。
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||||
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||||
又$P(A\cup B)\leqslant1$，则$P(A)+P(B)-1\leqslant P(C)$。$B$成立。
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||||
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||||
\textbf{例题：}已知$P(\overline{A})=0.3$，$P(B)=0.4$，$P(A\overline{B})=0.5$，求$P(B|A\cup\overline{B})$。
|
||||
|
||||
解：$P(B|A\cup\overline{B})=\dfrac{P(B(A\cup\overline{B}))}{P(A\cup\overline{B})}=\dfrac{P(BA\cup B\overline{B})}{P(A)+P(\overline{B})-P(A\overline{B})}$。
|
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||||
$P(A)=1-P(\overline{A})=0.7$，$P(\overline{B})=1-P(B)=0.6$，$P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$，$\therefore P(AB)=P(A)-P(A\overline{B})=0.2$。
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||||
$\therefore =\dfrac{0.2}{0.7+0.6-0.5}=0.25$。\medskip
|
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||||
\textbf{例题：}每箱产品有10件，次品数从0到2都是等可能的，开箱检查时，任取1件。
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(1)求抽到是正品的概率。
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(2)若检测出次品就拒收，假如检验有误差，将1件正品误认为次品的概率为2\%，1件次品被漏查认为是正品的概率是5\%，求该箱产品通过验收的概率。
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(1)解：已知次品数从0到2都是等可能的，从而令有0件次品为$A_0$，有1件次品为$A_1$，有2件次品为$A_2$，事件出现的概率都是$\dfrac{1}{3}$。
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设取到正品的事件为$B_1$，发生概率为对应次品情况下取到正品的可能性，根据全概率公式：$P(B_1)=\sum\limits_{i=0}^2P(A_i)P(B_1|A_i)=\dfrac{1}{3}\cdot1+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{10}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{8}{10}=0.9$。
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(2)解：取出一件商品只有两个事件，是正品$B_1$或是次品$\overline{B_1}$。
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令通过验收的概率为$B$，则分为两种情况，一种是抽出正品被认为是正品的情况，一种是抽出次品被认为是正品的情况，即根据全概率公式：$P(B)=P(B_1)P(B|B_1)+P(\overline{B_1})P(B|\overline{B_1})=0.9\cdot(1-2\%)+0.1\cdot5\%=0.887$。
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\textbf{例题：}假设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有25\%不合格。从两批产品中任取1件，经检验是正品，放回原处，并在原所在批次再取1件，求这次产品是次品的概率。
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解：首先因为是两堆零件。第一次抽到的零件合格，可能是100\%的一堆，也可能是75\%的一堆。这个概率是等可能的。
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令$H_i$为第一次从第$i$批中取零件，则$P(H_1)=\dfrac{1}{2}=P(H_2)$。
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令取到正品为$A$，第1批取到正品概率$P(A|H_1)=1$，第2批$P(A|H_2)=\dfrac{3}{4}$。
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根据全概率公式取到正品：$P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)=\dfrac{7}{8}$。
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又已经检测到了是正品，即$A$已经发生了，后面说的将产品放回原位再从原位抽一件零件检测判断是否为次品，即表示已知$A$发生求是$H_1$或$H_2$的可能性，再求是次品的可能性。利用贝叶斯公式计算。
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抽到正品原批次是$H_1$概率：$P(H_1|A)=\dfrac{P(H_1A)}{P(A)}=\dfrac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}=\dfrac{4}{7}$。
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抽到正品原批次是$H_2$概率：$P(H_1|A)=1-\dfrac{4}{7}=\dfrac{3}{7}$。
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令$C_i$为第二次从第$i$批取零件，则$P(C_1)=P(H_1|A)=\dfrac{4}{7}$，$P(C_2)=\dfrac{3}{7}$。
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此时产品是次品的概率为$P(\overline{A})=P(C_1)P(\overline{A}|C_1)+P(C_2)P(\overline{A}|C_2)=$\\$\dfrac{4}{7}\cdot0+\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{28}$。
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\section{独立性}
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\subsection{事件独立性}
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\begin{itemize}
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\item 描述性定义（直观性定义）：设$AB$为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受零位一个事件发生与否的影响，则称事件$A$与$B$\textbf{相互独立}。设$A_1,A_2,\cdots,A_n$是$n\geqslant2$个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或几个事件发生与否的影响，则称事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$\textbf{相互独立}。
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\item 数学定义：设$AB$为两个事件，如果$P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件$A$与事件$B$\textbf{相互独立}，简称$A$与$B$\textbf{独立}。如$P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=\dfrac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$。
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\end{itemize}
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设$A_1,A_2,\cdots,A_n$为$n\leqslant2$个事件，若堆其中任意有限个事件$A_{k1},A_{k2},\cdots,$\\$A_{kk}$（$2\leqslant k\leqslant n$），有$P(A_{k1}A_{k2}\cdots A(kk))=P(A_{k1}A_{k2}\cdots A_{kk})$，则称这$n$个事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$为$n\leqslant2$相互独立。
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如$n=3$，若$P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2)$，$P(A_1A_3)=P(A_1)P(A_3)$，$P(A_2A_3)=P(A_2)P(A_3)$，$P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$，则称事件$A_1,A_2,A_3$相互独立。若没有最后一个式子则只能称其两两独立。
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\textbf{例题：}设$AB$是任意两个事件，其中$P(A)\in(0,1)$，证明$P(B|A)=P(B|\overline{A})$是事件$AB$相互独立的充要条件。
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证明：先证必要性，即$AB$独立，则$P(AB)=P(A)P(B)$，$P(B|A)=P(B)$，同理$P(B|\overline{A})=P(B)$，所以必要性成立。
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然后证明充分性，若$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}=P(B|\overline{A})$。
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根据减法公式，$\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)}$，使用交叉相乘得到$P(A)(P(B)-P(AB))=P(AB)(1-P(A))$，解得$P(AB)=P(A)P(B)$。从而充分性成立。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB$独立，则$\overline{A}B$、$A\overline{B}$、$\overline{AB}$也独立。
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\textbf{例题：}将一枚硬币独立地掷两次，设$A_1=$\{掷第一次出现正面\}，$A_2=$\{掷第二次出现正面\}，$A_3=$\{正反面各出现一次\}，$A_4=$\{出现正面两次\}，则事件()。
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$A.A_1,A_2,A_3$相互独立\qquad$B.A_2,A_3,A_4$相互独立
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$C.A_1,A_2,A_3$两两独立\qquad$D.A_2,A_3,A_4$两两独立
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解：已知一共只有四种情况：\{正，正\}、\{正，反\}、\{反，正\}、\{反，反\}。
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则$P(A_1)=\dfrac{1}{2}$，$P(A_2)=\dfrac{1}{2}$，$P(A_3)=\dfrac{1}{2}$，$P(A_4)=\dfrac{1}{4}$。
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对于$P(A_1A_2)=\dfrac{1}{4}=P(A_1)P(A_2)$，$P(A_1A_3)=\dfrac{1}{4}=P(A_1A_3)$，$P(A_2A_3)=\dfrac{1}{4}=P(A_2A_3)$，$P(A_1A_2A_3)=0\neq P(A_1A_2A_3)$。所以C。
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\subsection{\texorpdfstring{$n$重伯努利试验}{}}
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独立试验\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}称试验$E_1,E_2,\cdots,E_n$为相互独立的，如果分别于各个试验相联系的任意$n$个事件之间相互独立。
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独立重复试验\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}独立表示与各试验相联系的事件之间相互独立，其中重复表示每个事件在各次试验中出现的概率不便。
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伯努利试验\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}只针对失败、成功两种对立结果的试验，将伯努利试验重复进行$n$次，就是\textbf{$n$重伯努利试验}。
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\end{document}
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\author{Didnelpsun}
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\title{随机变量及其分布}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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\section{一维随机变量}
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\subsection{随机变量概念}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}随机变量就是其值会随机而定的变量。设随机试验$E$的样本空间$\Omega={\omega}$，如果对每一个$\omega$都有唯一的实数$X(\omega)$与之对应，并且对任意实数$x$，$\{\omega|X(\omega)\leqslant x,\omega\in\Omega\}$是随机事件，则称定义在$\Omega$上的实值单值函数$X(\omega)$为\textbf{随机变量}，记为随机变量$X$。
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\subsection{分布函数}
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\subsubsection{概念}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$X$为随机变量，$x$为任意实数，称函数$F(x)=P\{X\leqslant x\}$（$x\in R$且取遍所有实数）为随机变量$X$的分布函数，或称$X$服从分布$F(x)$，记为$X\sim F(x)$。（随着$x$从$-\infty$到$+\infty$，$X(\omega)$到$\varnothing$到$\Omega$）
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\subsubsection{性质}
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同样是分布函数的充要条件：
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\begin{itemize}
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\item $F(x)$是$x$的单调不减函数，即对任意实数$x_1<x_2$，有$F(x_1)\leqslant F(x_2)$。
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||||
\item $F(x)$是$x$的右连续函数，即对任意$x_0\in R$，有$\lim\limits_{x\to x_0^+}F(x)=F(x_0+0)=F(x_0)$。（左空心右实心）
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||||
\item $F(-\infty)=\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0$，$F(+\infty)=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1$。
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\end{itemize}
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||||
\subsubsection{应用}
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\begin{itemize}
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\item $P\{X\leqslant a\}=F(a)$。
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\item $P\{X<a\}=F(a-0)$。是指分布函数下该点左极限的概率值。
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\item $P(X=a)=F(a)-F(a-0)$。$\because P\{X\leqslant a\}=P\{X<a\cup X=a\}=P\{X<a\}+P\{X=a\}$，$\therefore P\{X=a\}=P\{X\leqslant a\}-P\{X<a\}=F(a)-F(a-0)$。
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\end{itemize}
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\section{一维离散随机变量}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若随机变量$X$只可能取有限个或可列各值$x_1,x_2,\cdots$，则称$X$为离散型随机变量。
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\subsection{分布律}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$P\{X=x_i\}=p_i$，$i=1,2,\cdots$为$X$的\textbf{分布列}、\textbf{分布律}或\textbf{概率分布}，记为$X\sim p_i$。
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概率分布常用表格或矩阵表示：\medskip
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\begin{tabular}{c|ccc}
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\hline
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$X$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ \\ \hline
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$P$ & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ \\
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\hline
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||||
\end{tabular}\,或$X\sim\left(\begin{array}{ccc}
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x_1 & x_2 & \cdots \\
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p_1 & p_2 & \cdots
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\end{array}\right)$。\medskip
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\subsection{性质}
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数列$\{p_i\}$是离散型随机变量的概率分布的充要条件是$p_i\geqslant0$（$i=1,2,\cdots$）且$\sum\limits_{i=1}^np_i=1$。
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||||
设离散型随机变量$X$的概率分布为$P\{X=x_i\}=p_i$，则$X$的分布函数$F(x)=P\{X\leqslant x\}=\sum\limits_{x_i\leqslant x}P\{X=x_i\}$，即离散型随机变量的分布律函数是一个左实右空的阶梯形函数。
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||||
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||||
$P\{X=x_i\}=P\{X\leqslant x_i\}-P\{X<x_i\}=F(x_i)-F(x_i-0)$，即某点的概率值为该点分布律值减去该点左极限的分布律值。
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||||
|
||||
对实数轴上的任一集合$B$有$P\{X\in B\}=\sum\limits_{x_i\in B}P\{X=x_i\}$，特别地$P\{a<X\leqslant b\}=P\{X\leqslant b\}-P\{X\leqslant a\}=F(b)-F(a)$。
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\subsection{应用}
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\textbf{例题：}已知随机变量$X$的概率分布为：\medskip
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\begin{tabular}{c|ccc}
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\hline
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$X$ & 1 & 2 & 3 \\ \hline
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$P\{X=k\}$ & $\theta^2$ & $2\theta(1-\theta)$ & $(1-\theta)^2$ \\
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\hline
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||||
\end{tabular} \medskip
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||||
且$P\{X\geqslant2\}=\dfrac{3}{4}$，求未知参数$\theta$与$X$的分布函数$F(x)$。
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解：$\because P\{X\geqslant2\}=\dfrac{3}{4}$，$\therefore 2\theta(1-\theta)+(1-\theta)^2=\dfrac{3}{4}$，解得$\theta=\dfrac{1}{2}$，$-\dfrac{1}{2}$舍。
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\subsection{分布}
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\subsubsection{0-1分布}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$X$的概率分布为$X\sim\left(\begin{array}{cc}
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1 & 0 \\
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p & 1-p
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\end{array}\right)$，即$P\{X=1\}=p$，$P\{X=0\}=1-p$，则称$X$服从参数为$p$的0-1分布，记为$X\sim B(1,p)$（$0<p<1$）。
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0-1分布基于一次伯努利试验，$X$也称为伯努利计数变量。
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\subsubsection{二项分布}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果$X$的概率分布为$P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$（$k=0,1,\cdots,n$，$0<p<1$），则称$X$服从参数为$(n,p)$的\textbf{二项分布}，记为$X\sim B(n,p)$。
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二项分布基于$n$重伯努利试验。
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二项分布的分布律计算，总共进行试验$n$次，已知成功的概率为$p$，若成功了$k$次，则$k$次成功概率为$p^k$，则失败次数为$n-k$，从而$n-k$失败概率为$(1-p)^{n-k}$，因为$n$次试验都是相互独立的，所以将成功的概率与失败的概率乘在一起。又在$n$次中成功$k$次就可以了，进行排列，所以还乘上$C_n^k$。
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\subsubsection{泊松分布}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果$X$的概率分布为$P\{X=k\}=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$（$k=0,1,\cdots,n$，$\lambda>0$），则称$X$服从参数为$\lambda$的\textbf{泊松分布}，记为$X\sim P(\lambda)$。
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泊松分布基于某场合某单位时间内源源不断的质点来流的个数$X=k$，$\lambda$代表质点流动到来的强度。也可以代表稀有事件发生的概率。
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\subsubsection{几何分布}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果$X$的概率分布为$P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p$（$k=0,1,\cdots,n$，$0<p<1$），则称$X$服从参数为$p$的\textbf{几何分布}，记为$X\sim G(p)$。
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几何分布与几何无关，代表的是$n$重伯努利试验首次成功就停止试验，试验次数可以为无穷。设$X$表示伯努利试验中事件$A$首次放生所需要的试验次数，则$X\sim G(p)$，其中$p=P(A)$。
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从而根据意义，几何分布要求前$k-1$次都失败，从而概率为$(1-p)^{k-1}$，最后一次成功，所以再乘上$p$。
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\subsubsection{超几何分布}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果$X$的概率分布为$P\{X=k\}=\dfrac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$（$\max\{0,n-N+M\}\leqslant k\leqslant\min\{MM,n\}$，$M,N,n$为正整数且$M\leqslant N$，$n\leqslant N$，$k$为整数），则称$X$服从参数为$(n,N,M)$的\textbf{超几何分布}，记为$X\sim H(n,N,M)$。
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超几何分布考的可能性很小，事件数就是古典概型的一个特例。
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如有$N$件产品，其中$M$件正品，从而$N-M$件次品，任取$n$个，则取出$k$件正品的概率就是超几何分布。
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\section{一维连续随机变量}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若随机变量$X$的分布函数可以表示为$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,\textrm{d}t$（$x\in R$且取遍所有实数），其中$f(x)$是非负可积函数，则$X$为\textbf{连续型随机变量}。
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\subsection{概率密度}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$f(x)$称为$X$的\textbf{概率密度函数}，简称\textbf{概率密度}，记为$X\sim f(x)$。
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\subsection{性质}
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改变$f(x)$有限各点的值$f(x)$仍是概率密度，$f(x)$为某一随机变量$X$的概率密度的充分必要条件：$f(x)\geqslant0$，且$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=1$。
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若$X$为连续型随机变量，$X\sim f(x)$，则对任意实数$c$有$P\{X=c\}=0$。
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对实数轴上的任一集合$B$有$P\{X\in B\}=\int_Bf(x)\,\textrm{d}x$，特别地$P\{a<X<b\}=P\{a\leqslant X<b\}=P\{a<X\leqslant b\}=P\{a\leqslant X\leqslant b\}=\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)$。
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\subsection{应用}
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\textbf{例题：}已知随机变量$X$的概率密度为$\left\{\begin{array}{ll}
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Ax, & 1<x<2 \\
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B, & 2\leqslant x<3 \\
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0, & \text{其他}
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\end{array}\right.$，且$P\{1<X<2\}=P\{2<X<3\}$，求常数$AB$，分布函数$F(x)$以及概率$P\{2<X<4\}$。
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解：由于归一性$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=1$，$\therefore\int_1^2Ax\,\textrm{d}x+\int_2^2B\,\textrm{d}x=1$。
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$\therefore\dfrac{3}{2}A+B=1$。又$P\{1<X<2\}=P\{2<X<3\}$。
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||||
$\therefore\int_1^2Ax\,\textrm{d}x=\int_2^3B\,\textrm{d}x$，即$\therefore\int_1^2Ax\,\textrm{d}x=\int_2^2B\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}$，$A=\dfrac{1}{3}$，$B=\dfrac{1}{2}$。
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||||
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||||
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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||||
\dfrac{1}{3}x, & 1<x<2 \medskip \\
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||||
\dfrac{1}{2}, & 2\leqslant x<3 \\
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||||
0, & \text{其他}
|
||||
\end{array}\right.$，$\because F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,\textrm{d}t$。
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||||
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||||
$\therefore F(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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||||
0, & x<1 \\
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||||
\int_1^x\dfrac{1}{3}t\,\textrm{d}t=\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{1}{6}, & 1\leqslant x<2 \medskip \\
|
||||
\int_1^2\dfrac{1}{3}x\,\textrm{d}x+\int_2^x\dfrac{1}{2}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}, & 2\leqslant x<3 \\
|
||||
1, & x\geqslant3
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||||
\end{array}\right.$
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||||
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||||
\subsection{分布}
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\subsubsection{均匀分布}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果$X$的概率密度或分布函数分别为$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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\dfrac{1}{b-a}, & a<x<b \\
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0, & \text{其他}
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\end{array}\right.$，$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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0, & x<a \\
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\dfrac{x-a}{b-a}, & a\leqslant x<b \\
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||||
1, & x\geqslant b
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\end{array}\right.$，则称$X$在区间$(a,b)$上服从\textbf{均匀分布}，记为$X\sim U(a,b)$。
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\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
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||||
\draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
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||||
\draw[-latex](0,-0.25) -- (0,1.25) node[above]{$y$};
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||||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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||||
\draw[black](-2,0) -- (-1,0) node[below]{$a$};
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||||
\draw[black](2,0) -- (1,0) node[below]{$b$};
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||||
\draw[black ](-1,0.6) -- (1,0.6);
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||||
\draw[black, densely dashed](-1,0.6) -- (-1,0);
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||||
\draw[black, densely dashed](1,0.6) -- (1,0);
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||||
\filldraw[black] (-1,1) node{$\dfrac{1}{b-a}$};
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||||
\filldraw[black] (0.5,1) node{$f(x)$};
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||||
\end{tikzpicture}
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\hspace{2.5em}
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||||
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
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||||
\draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
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||||
\draw[-latex](0,-0.25) -- (0,1.25) node[above]{$y$};
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||||
\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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||||
\draw[black](-2,0) -- (-1,0) node[below]{$a$};
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||||
\draw[black](2,1) -- (1,1) node[below]{$b$};
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||||
\draw[black](1,1) -- (-1,0);
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||||
\filldraw[black] (-0.5,1) node{$F(x)$};
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||||
\end{tikzpicture}
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\subsubsection{指数分布}
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\subsubsection{正态分布}
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\section{一维随机变量函数分布}
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\subsection{离散型}
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\subsection{连续性}
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\end{document}
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||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
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||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
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||||
\usepackage{geometry}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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||||
% 设置四级目录与标题
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||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
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||||
% 默认大小为A4
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||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
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||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
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||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
% 因为所以
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||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
% 数学公式
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||||
\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
|
||||
% 超链接
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||||
\author{Didnelpsun}
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\title{标题}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\newpage
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\setcounter{page}{1}
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\section{}
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\end{document}
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