更新积分应用

advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -99,6 +99,21 @@ $=\displaystyle{\int(\sec^2x-1)}\tan x\sec x\,\textrm{d}x=\displaystyle{\int(\se
 
 当积分式子中存在$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$这种反三角函数时，可以考虑将其令为$t$来进行简化计算。从而$x$分别为$\sin t$、$\cos t$、$\tan t$。
 
+\textbf{例题：}求$\int(\arcsin x)^2\,\textrm{d}x$。
+
+令$\arcsin x=t$，$\therefore x=\sin t$，$\textrm{d}x=\cos t\,\textrm{d}t$。
+
+$=\int t^2\cos t\,\textrm{d}t$。除了换元法还需要使用分部积分法，可以直接进行分部积分也可以使用下面讲到的分部积分拓展公式的表格法来计算，$\cos t$更难求导，所以对其积分，放在下面，$t^2$容易求导，所以对其求导，放在上面：\medskip
+
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
+    \hline
+    $t^2$ & $2t$ & $2$ & $0$ \\ \hline
+    $\cos t$ & $\sin t$ & $-\cos t$ & $-\sin t$ \\
+    \hline
+\end{tabular} \medskip
+
+$\therefore=t^2\sin t-2t\cos t-\sin t+C=(\arcsin x)^2x+2\arcsin x\sqrt{1-x^2}-2x+C$。
+
 \paragraph{指对换元} \leavevmode \medskip
 
 当积分式子存在指数函数$e^x$或对数函数$\ln x$时，可以考虑令其为$t$，从而$x$分别为$\ln t$和$e^t$。
@@ -299,6 +314,8 @@ $=\int x(\sec^2-1)\,\textrm{d}x=\int x\,\textrm{d}(\tan x)-\dfrac{x^2}{2}=x\tan
 
 对于一部分通过微分形式不会发生变化的函数，所以需要多次积分，然后利用等式求出目标值。即三角函数和指数函数，这两种积分形式不变，指数函数一次积分保持不变，而三角函数两次积分保持不变。
 
+也称为积分再现、循环积分法。
+
 如：$\int e^x\sin x\,\textrm{d}x$，$\int e^x\cos x\,\textrm{d}x$。
 
 \textbf{例题：}求$\int e^x\sin^2x\,\textrm{d}x$。
@@ -327,6 +344,10 @@ $=\sin^2x\cdot e^x-\sin2x\cdot e^x+2e^x\cos2x+4\sin2x\cdot e^x-8\int e^x\cdot\co
 
 $=\dfrac{e^x(5\sin^2x-\sin2x+2\cos2x)}{5}+C=e^x\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\sin2x-\dfrac{1}{10}\cos2x\right)+C$
 
+\subsubsection{分部积分推广公式}
+
+分部积分法可以直接利用表格简便计算，以三次导数的积分为例：
+
 $\int uv'''\,\textrm{d}x=\int u\,\textrm{d}(v'')=uv''-\int v''u'\,\textrm{d}x$
 
 $\int u'v''\,\textrm{d}x=\int u'\,\textrm{d}(v')=u'v'-\int v'u''\,\textrm{d}x$
@@ -335,6 +356,44 @@ $\int u''v'\,\textrm{d}x=\int u''\,\textrm{d}v=u''v-\int vu'''\,\textrm{d}x$
 
 $\therefore\int uv'''\,\textrm{d}x=uv''-u'v'+u''v-\int u'''v\,\textrm{d}x$。
 
+所以分部积分法找到对应的规律，表格上求导，下积分：\medskip
+
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
+    \hline
+    符号 & + & - & + & $\cdots$ & $(-1)^{n+1}$ \\ \hline
+    $u$的各阶导数 & $u$ & $u'$ & $u''$ & $\cdots$ & $u^{n+1}$ \\ \hline
+    $v^{(n+1)}$的各阶原函数 & $v^{(n+1)}$ & $v^{(n)}$ & $v^{(n-1)}$ & $\cdots$ & $v$ \\
+    \hline
+\end{tabular} \medskip
+
+以$u$为起点左上右下错位相乘，各项符号正负交错，直到$uv$的导阶数相同，最后一项是$(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v\,\textrm{d}x$，只要这最后一项可以解出来就可以停止了，即上下是同一类的函数或幂函数求导成0。
+
+\textbf{例题：}求$\int(x^3+2x+6)e^{2x}\,\textrm{d}x$。
+
+如果要一般求，则需要拆分：$\int(x^3+2x+6)e^{2x}\,\textrm{d}x=\int x^3e^{2x}\,\textrm{d}x+2\int xe^{2x}\,\textrm{d}x+6\int e^2x\,\textrm{d}x$。
+
+而如果使用分部积分的推广公式，令$u=x^3+2x+6$，$v=e^{2x}$。\medskip
+
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+    \hline
+    $x^3+2x+6$ & $3x^2+2$ & $6x$ & 6 & 0 \\ \hline
+    $e^{2x}$ & $\dfrac{1}{2}e^{2x}$ & $\dfrac{1}{4}e^{2x}$ & $\dfrac{1}{8}e^{2x}$ & $\dfrac{1}{16}e^{2x}$ \\
+    \hline
+\end{tabular}
+
+$\therefore=(x^3+2x+6)\left(\dfrac{1}{2}e^{2x}\right)-(3x^2+2)\left(\dfrac{1}{4}e^{2x}\right)+6x\left(\dfrac{1}{8}e^{2x}\right)-6\left(\dfrac{1}{16}e^{2x}\right)+\displaystyle{\int0\cdot(\dfrac{1}{16}e^{2x})\,\textrm{d}x}=\left(\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x+\dfrac{17}{8}\right)e^{2x}+C$。
+
+\textbf{例题：}求$\int x^2\ln x\,\textrm{d}x$。\medskip
+
+\begin{tabular}{|c|c|}
+    \hline
+    $\ln x$ & $\dfrac{1}{x}$ \\ \hline
+    $x^2$ & $\dfrac{1}{3}x^3$ \\
+    \hline
+\end{tabular} \medskip
+
+$\therefore=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{3}x^3\,\textrm{d}x}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{9}x^3+C$。
+
 \subsubsection{分部与换元}
 
 分部积分法和换元积分法经常一起使用。
@@ -359,6 +418,8 @@ $=\dfrac{2}{3}e^{\sqrt{3x+9}}(\sqrt{3x+9}-1)+C$。
 
 \subsection{有理积分}
 
+针对于多项式分式，需要将分母和分子拆解。
+
 \subsubsection{高阶多项式分配}
 
 当不定积分式子形如$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x}$，且$f(x)$、$g(x)$都为与$x$相关的多项式，$f(x)$阶数高于或等于$g(x)$，则$f(x)$可以按照$g(x)$的形式分配，约去式子，得到最简单的表达。
@@ -373,7 +434,14 @@ $\displaystyle{=\int x\,\textrm{d}x-\dfrac{9}{2}\int\dfrac{\textrm{d}(x^2+9)}{x^
 
 当不定积分式子形如$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x}$，且$f(x)$、$g(x)$都为与$x$相关的多项式，$f(x)$阶数低于$g(x)$，且$g(x)$可以因式分解为$g(x)=g_1(x)g_2(x)\cdots$时，先因式分解再进行运算。
 
-因式分解时需要注意两点：一点是分解后的式子的分子最高阶要低于分母最高阶数一阶；二是当分母中出现某一因式有大于等于二的幂次时，需要把其分解为从一阶到其当前阶数的因式相加，但是阶数跟一阶因式的分子阶数一样，否则就缺一个不等式而求不出来。
+有理积分的拆项是最小项的最高次数不超过2。所以具体的分解基本原理：
+
+\begin{enumerate}
+    \item 一次单项式$ax+b$产生一项$\dfrac{A}{ax+b}$。
+    \item $k$重一次因式$(ax+b)^k$产生$k$项：$\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}$。
+    \item 二次因式$px^2+qx+r$产生一项：$\dfrac{Ax+B}{px^2+qx+r}$。
+    \item $k$重二次因式$(px^2+qx+r)^k$产生$k$项：$\dfrac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r}+\cdots+\dfrac{A_nx+B_n}{(px^2+qx+r)^k}$。
+\end{enumerate}
 
 虽然分母可以因式分解，但是整个式子不一定能因式分解，特别是某个因子的阶数高于一阶，所以若不能因式分解则可以考虑低阶多项式分配的方式。
 
@@ -395,6 +463,16 @@ $\therefore=\displaystyle{\int\left[\dfrac{1}{2(x+1)}-\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{
 
 $=\dfrac{1}{2}\ln\vert x-1\vert+\dfrac{1}{2}\ln\vert x+1\vert+\dfrac{1}{x+1}+C=\dfrac{1}{2}\ln\vert x^2-1\vert+\dfrac{1}{x+1}+C$。
 
+当然也没必要将所有式子拆开再同类型合并进行相等计算，可以直接将因式的解代入令部分因式等于0来计算，如：
+
+通分：$=A(x+1)(x-1)+B(x-1)+C(x+1)^2=x^2+1$。
+
+代入$x=-1$：$B(-1-1)=-2B=(-1)^2+1$，$\therefore B=-1$。
+
+代入$x=1$：$C(1+1)^2=1^2+1$，$\therefore4C=2$，$C=\dfrac{1}{2}$。
+
+代入$x=0$：$-A-B+C=1$，代入$B=-1$，$C=\dfrac{1}{2}$，$\therefore A=\dfrac{1}{2}$。
+
 \subsubsection{低阶多项式分配}
 
 当不定积分式子形如$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x}$，且$f(x)$、$g(x)$都为与$x$相关的多项式，$f(x)$阶数低于$g(x)$，且$g(x)$不能因式分解为$g(x)=g_1(x)g_2(x)\cdots$时，则可以分配式子：$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x=a_1\int\dfrac{\textrm{d}(f_1(x))}{g_1(x)}+a_2\int\dfrac{\textrm{d}(f_2(x))}{g_2(x)}}+\cdots$，将积分式子组合成积分结果为分式的函数，如$\ln x$、$\arcsin x$、$\arctan x$等。

advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex

@@ -1055,7 +1055,7 @@ $a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\dfrac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\bet
     \item $(2n-1)!!=1\times 3\times 5\times\cdots\times(2n-1)$。
 \end{enumerate}
 
-以后的华里士公式（点火公式）会使用到，如下面的题目：
+以后的华里士公式（点火公式，在定积分中）会使用到，如下面的题目：
 
 \textbf{例题：}计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\textrm{d}x$与$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^9x\textrm{d}x$。\medskip
 

advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -313,7 +313,7 @@ $\dfrac{P}{x^n}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B_0x+B_1}{x^2}+\cdots+\dfrac{N_0x^{n-1}+\cdo
 
 \subsection{性质}
 
-设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则：
+设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则得到定积分基本计算性质：
 
 \begin{enumerate}
     \item 当$a=b$时，$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=0$。
@@ -347,17 +347,38 @@ $\dfrac{P}{x^n}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B_0x+B_1}{x^2}+\cdots+\dfrac{N_0x^{n-1}+\cdo
 
 对$F(x)$使用拉格朗日中值定理：$F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)$，即$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\xi)(b-a)$，其中$\xi\in(a,b)\subset[a,b]$。
 
-对于定积分的存在性：
+定积分的存在性性质：
 
-\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上可积。
+\begin{enumerate}
+    \item 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上可积。
+    \item 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调，则$f(x)$在该区间上可积。
+    \item 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在该区间上可积。
+\end{enumerate}
 
-\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调，则$f(x)$在该区间上可积。
+定积分与函数性质：
 
-\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在该区间上可积。
+\begin{enumerate}
+    \item 若函数$f(x)$是周期函数且周期为$T$，$\int_a^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x=\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$对于$\forall a$成立。
+    \item 若函数$f(x)$是连续的偶函数，则$\int_{-a}^af(x)\,\textrm{d}x=2\int_0^af(x)\,\textrm{d}x$。
+    \item 若函数$f(x)$是连续的奇函数，则$\int_{-a}^af(x)\,\textrm{d}x=0$。
+    \item 区间再现公式：若函数$f(x)$为连续函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^bf(a+b-a)\,\textrm{d}x$。
+    \item 华里士公式（根据区间再现公式可知$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\,\textrm{d}x$）：
+    $$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\,\textrm{d}x=\left\{\begin{array}{ll}
+        \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{2}{3}\cdot1, & n\text{为非}1\text{奇数} \\ \medskip
+        \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n\text{为正偶数}
+    \end{array}\right.$$
+    \item $\int_0^\pi\sin^nx\,\textrm{d}x=2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x$。
+    \item $\int_0^\pi\cos^nx\,\textrm{d}x=\left\{\begin{array}{lcl}
+        0, & & n\text{为正奇数} \\
+        2\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\,\textrm{d}x, & & n\text{为正偶数}
+    \end{array}\right.$。
+    \item $\int_0^{2\pi}\sin^nx\,\textrm{d}x=\int_0^{2\pi}\cos^nx\,\textrm{d}x=\left\{\begin{array}{lcl}
+        0, & & n\text{为正奇数} \\
+        4\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x, & & n\text{为正偶数}
+    \end{array}\right.$。
+\end{enumerate}
 
-\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是周期函数且周期为$T$，$\int_a^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x=\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$对于$\forall a$成立。
-
-证明：根据积分区间可拆性：
+证明定理第一条：根据积分区间可拆性：
 
 $\int_a^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x=\int_0^af(x)\,\textrm{d}x+\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x+\int_T^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x$
 
@@ -365,6 +386,50 @@ $\int_a^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x=\int_0^af(x)\,\textrm{d}x+\int_0^Tf(x)\,\textrm{d
 
 $\therefore\int_a^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x=\int_0^af(x)\,\textrm{d}x+\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x+\int_0^af(x)\,\textrm{d}x=\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$。
 
+证明区间再现公式：令$x=a+b-t$。
+
+这种方法也称为定积分的\textcolor{orange}{区间再现换元法}。
+
+$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_b^af(a+b-t)(-\textrm{d}t)=\int_a^bf(a+b-t)\,\textrm{d}t=\int_a^bf(a+b-x)\,\textrm{d}x$。
+
+如何使用区间再现换元法来进行计算呢？可能$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$和$\int_a^bf(a+b-x)\,\textrm{d}x$解不出来，但是可能$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x+\int_a^bf(a+b-x)\,\textrm{d}x$能解出，所以就能解出原来的结果。
+
+\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\textrm{d}x}$。
+
+可以使用万能公式来计算，但是这里我们使用区间再现换元法来计算。
+
+$=\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)}{\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)+\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)}\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\textrm{d}x}$
+
+又$\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\textrm{d}x+\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\textrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}$。
+
+$\therefore\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\textrm{d}x=\dfrac{\pi}{4}$。
+
+\textbf{例题：}(1)已知$f(x)$为一个周期为$T$的偶函数，证明$\int_0^{nT}xf(x)\,\textrm{d}x=\dfrac{n^2T}{2}\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$。
+
+(2)计算$I=\int_0^{n\pi}x\vert\sin x\vert\,\textrm{d}x$。
+
+(1)：因为$f(x)$是一个不定的函数，所以基本的四种积分方法都无法使用，可以尝试首先对于第一问使用区间再现换元，令$x=nT-t$：
+
+$\int_0^{nT}xf(x)\,\textrm{d}x=\int_{nT}^0(nT-t)f(nT-t)(-\textrm{d}t)=\int_0^{nT}(nT-t)f(nT-t)\,\textrm{d}t$。
+
+又因为$f(x)$是一个周期为$T$的函数，所以$f(nT-t)=f(-t)$，又是偶函数，所以$f(-t)=f(t)$。
+
+$=\int_0^{nT}nTf(t)\,\textrm{d}t-\int_0^{nT}tf(t)\,\textrm{d}t$，又$\int_0^{nT}tf(t)\,\textrm{d}t=\int_0^{nT}xf(x)\,\textrm{d}x$。
+
+$\therefore\int_0^{nT}xf(x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int_0^{nT}nTf(t)\,\textrm{d}t=\dfrac{nT}{2}\int_0^{nT}f(x)\,\textrm{d}x=\dfrac{n^2T}{2}\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$。
+
+(2)：因为$\sin x$以$\dfrac{\pi}{2}$为周期，所以$\vert\sin x\vert$以$\pi$为周期。
+
+根据第一问的公式：$\int_0^{n\pi}x\vert\sin x\vert\,\textrm{d}x=\dfrac{n^2\pi}{2}\int_0^\pi\vert\sin x\vert\,\textrm{d}x=\dfrac{n^2\pi}{2}[-\cos x]_0^\pi=n^2\pi$。
+
+\textbf{例题：}求$\int_0^\pi x\sin^9x\,\textrm{d}x$。
+
+需要先把$x$消掉才能使用华里士公式，使用区间再现公式，令$x=\pi-t$：
+
+$=\int_0^\pi(\pi-x)\sin^9(\pi-x)\,\textrm{d}x=\int_0^\pi\pi\sin^9x\,\textrm{d}x-\int_0^\pi x\sin^9x\,\textrm{d}x$，积分再现。
+
+$\therefore\int_0^\pi x\sin^9x\,\textrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}\int_0^\pi\sin^9x\,\textrm{d}x=\pi\dfrac{8}{9}\dfrac{6}{7}\dfrac{4}{5}\dfrac{2}{3}=\dfrac{128}{315}\pi$。
+
 \subsection{变限积分}
 
 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\Phi(x)=\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t(x\in[a,b])$，这个函数就是积分上限函数或叫积分变限函数（如果$\int_x^af(t)\,\textrm{d}t$就是变下限积分或积分下限函数）。
@@ -429,7 +494,11 @@ $=-\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=-F(x)$。这就是个奇函数。若加上一个常
 
 $F(-x)=\int_0^{-x}f(t)\,\textrm{d}t$，令$t=-u$，所以得到$\int_0^xf(-u)\,\textrm{d}(-u)$。
 
-又$f(x)$奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$，从而$=\int_0^x-f(u)(-\textrm{d}u)=\int_0^xf(u)\,\textrm{d}u=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=F(x)$。而$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t=\int_a^0f(t)\,\textrm{d}t+\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$也为偶函数。
+又$f(x)$奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。
+
+从而$=\int_0^x-f(u)(-\textrm{d}u)=\int_0^xf(u)\,\textrm{d}u=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=F(x)$。
+
+而$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t=\int_a^0f(t)\,\textrm{d}t+\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$也为偶函数。
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是周期函数且周期为$T$，虽然其导数也为周期函数且周期，但是其变限积分不一定为周期函数。若$\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x=0$即一个周期上的定积分值为0，则这个函数为周期函数，且周期为$T$。
 
@@ -525,7 +594,7 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
 
 对比不定积分的直接数学计算，定积分的实际应用要广许多，往往可以用来解决几何、物理等问题。
 
-对于定积分概念的引入就是对求面积采用元素法，即将曲边多边形无限次的分割得到每一片的平均值再求和得到近似解。
+对于定积分概念的引入就是对求面积采用\textbf{元素法}，即将曲边多边形无限次的分割得到每一片的平均值再求和得到近似解。
 
 元素法也叫微元法，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用元素法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
 
@@ -535,6 +604,8 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
 
 \subsubsection{直角坐标系}
 
+即求两条曲线$y=y_1(x)$、$y=y_2(x)$与积分上下限$x=a$与$x=b$所围成的平面图像面积$S=\int_a^b\vert y_1(x)-y_2(x)\vert\,\textrm{d}x$。
+
 \textbf{例题：}求曲线$y^2=x$与$y=x^2$所围成面积。
 
 首先确定$x$的范围，是$x\in[0,1]$。
@@ -585,11 +656,9 @@ $=16a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=3a^2\pi$（点火
 
 \subsubsection{极坐标}
 
-已知极径函数$\rho=\rho(\theta)$，极角$\theta\in[\alpha,\beta]$，极坐标所围成面积就是初始角所在射线与结束角所在射线以及函数所围成的图形。所以微元计算时所围成的图形可以近似看作扇形。
+已知极径函数$\rho=\rho(\theta)$，极角$\theta\in[\alpha,\beta]$，极坐标所围成面积就是初始角所在射线与结束角所在射线以及函数所围成的图形。所以微元计算时所围成的图形可以近似看作扇形。从而根据扇形公式得到微元：$\textrm{d}S=\dfrac{1}{2}\rho^2(\theta)\,\textrm{d}\theta$。最后$S=\dfrac{1}{2}\int_\alpha^\beta\rho^2(\theta)\,\textrm{d}\theta$。
 
-从而根据扇形公式得到微元：$\textrm{d}S=\dfrac{1}{2}\rho^2(\theta)\,\textrm{d}\theta$。
-
-最后$S=\dfrac{1}{2}\int_\alpha^\beta\rho^2(\theta)\,\textrm{d}\theta$。
+即曲线$r=r_1(\theta)$、$r=r_2(\theta)$与上下限射线$\theta=\alpha$、$\theta=\beta$（$0<\beta-\alpha\leqslant2\pi$）所围成的曲边扇形的面积$S=\dfrac{1}{2}\int_\aleph^\beta\vert r_1^2(\theta)-r_2^2(\theta)\vert\,\textrm{d}\theta$。
 
 \textbf{例题：}求心形线$\rho=a(1+\cos\theta)(a>0)$所围成面积。