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积分部分的更新与微分字符的格式整理
将\rm{d}改为\textrm{d}从而让字体能被完全控制。
This commit is contained in:
Didnelpsun
@@ -643,7 +643,7 @@ $\therefore\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。
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\subsection{变限积分极限}
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已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\rm{d}\textit{x}$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。
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已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\,\textrm{d}x$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。
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\end{document}
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@@ -255,13 +255,13 @@ $\quad\quad\quad+x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots 2(x+n)$
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已知一阶导数的时候，反函数的导数为原函数导数的倒数（$g'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$）。
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因为原函数的一阶导数是$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}$，而反函数就是对原函数的$xy$对调，所以其反函数的一阶导数为$\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\rm{d}\textit{y}}$。
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因为原函数的一阶导数是$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，而反函数就是对原函数的$xy$对调，所以其反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。
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\textbf{例题：}已知$y=x+e^x$，求其反函数的二阶导数。
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$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\rm{d}\textit{y}}=\dfrac{1}{1+e^x}$。
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$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{1+e^x}$。
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所以二阶导数为$\dfrac{\rm{d}^2\textit{x}}{\rm{d}\textit{y}^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{1}{1+\textit{e}^{\textit{x}}}\right)}{\rm{d}\textit{y}}=\dfrac{\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{1}{1+\textit{e}^{\textit{x}}}\right)}{\rm{d}\textit{x}}}{\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}}=-\dfrac{e^x}{(1+e^x)^3}$。
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所以二阶导数为$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=-\dfrac{e^x}{(1+e^x)^3}$。
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\section{微分}
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@@ -269,7 +269,7 @@ $y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\rm{d}\textit{y
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隐函数与参数方程求导基本上只用记住：\medskip
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$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{t}}}{\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\rm{d}\textit{t}}}$。
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$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}$。
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\textbf{例题：}已知$y=y(x)$由参数方程$\left\{\begin{array}{lcl}
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x=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2) \\
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@@ -277,9 +277,9 @@ $\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{
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\end{array}
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\right.$确定，求其一阶导数与二阶导数。
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$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{t}}}{\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\rm{d}\textit{t}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{1}{1+t^2}}=\dfrac{1}{t}$。
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$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{1}{1+t^2}}=\dfrac{1}{t}$。
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$\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}\textit{x}^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}\right)}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}\right)}{\rm{d}\textit{t}}}{\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\rm{d}\textit{t}}}=\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}}=-\dfrac{1+t^2}{t^3}$。
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$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}}=-\dfrac{1+t^2}{t^3}$。
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\section{导数应用}
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@@ -291,7 +291,7 @@ $\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}\textit{x}^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}\textit{y
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\subsection{曲率}
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曲率公式：$k=\left\lvert\dfrac{\rm{d}\alpha}{\rm{d}\textit{s}}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。
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曲率公式：$k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。
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\subsubsection{一般计算}
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@@ -345,7 +345,7 @@ $$
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\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
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\draw[-latex](-3,0) -- (3,0) node[below]{$x$};
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\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$};
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\draw[black, thick, domain=-3:3] plot (\x,{pi/2-rad(atan(\x))}) node[right]{$\rm{arccot}(\textit{x})$};
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\draw[black, thick, domain=-3:3] plot (\x,{pi/2-rad(atan(\x))}) node[right]{$\textrm{arccot}(x)$};
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\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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\draw[black, densely dashed](-3,pi) -- (3,pi);
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\filldraw[black] (-0.5,pi/2-0.5) node{$\dfrac{\pi}{2}$};
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@@ -354,12 +354,12 @@ $$
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反切函数有如下特征：
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\begin{enumerate}
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\item 特殊函数值：$\arctan 0=0$，$\arctan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=$，$\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$，$\arctan\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}$，$\rm{arccot}\,0=\dfrac{\pi}{2}$，$\rm{arccot}\,\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{6}$，$\rm{arccot}\,1=\dfrac{\pi}{4}$，$\rm{arccot}\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{3}$。
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\item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$\arctan x:[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}]$，$\rm{arccot}\,\textit{x}:[0,\pi]$。
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\item 单调性：$y=\arctan x$单调增，$y=\rm{arccot}\,\textit{x}$单调减。
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\item 特殊函数值：$\arctan 0=0$，$\arctan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=$，$\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$，$\arctan\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}$，$\textrm{arccot}\,0=\dfrac{\pi}{2}$，$\textrm{arccot}\,\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{6}$，$\textrm{arccot}\,1=\dfrac{\pi}{4}$，$\textrm{arccot}\,\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{3}$。
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\item 定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$\arctan x:\left[-\dfrac{\pi}{2},+\dfrac{\pi}{2}\right]$，$\textrm{arccot}\,x:[0,\pi]$。
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\item 单调性：$y=\arctan x$单调增，$y=\textrm{arccot}\,x$单调减。
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\item 奇偶性：$y=\arctan x$为奇函数。
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\item 有界性：$\vert\arctan x\vert\leqslant\dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant\rm{arccot}\,\textit{x}\leqslant\pi$。
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\item 性质：$\arctan x+\rm{arccot}\,\textit{x}=\dfrac{\pi}{2}(-\infty<x<+\infty)$
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\item 有界性：$\vert\arctan x\vert\leqslant\dfrac{\pi}{2}$，$0\leqslant\textrm{arccot}\,x\leqslant\pi$。
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\item 性质：$\arctan x+\textrm{arccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}(-\infty<x<+\infty)$
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\end{enumerate}
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\subparagraph{初等函数} \leavevmode \medskip
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@@ -409,7 +409,7 @@ $
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\subparagraph{符号函数} \leavevmode \medskip
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$
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y=\rm{sgn}\,\textit{x}=\left\{
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y=\textrm{sgn}\,x=\left\{
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\begin{array}{lcl}
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1, & & x>0 \\
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0, & & x=0 \\
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@@ -423,7 +423,7 @@ $
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\draw[-latex](0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$};
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\draw[black, thick, domain=0:2] plot (\x,1);
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\draw[black, thick, domain=-2:0] plot (\x,-1);
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\filldraw[black] (-1.5,1) node{$\rm{sgn}\,\textit{x}$};
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\filldraw[black] (-1.5,1) node{$\textrm{sgn}\,x$};
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\filldraw[black] circle (2pt) (0,0) node[below]{$O$};
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\filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (0,1) circle (2pt);
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\filldraw[black] (0,1) node[left]{$1$};
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@@ -993,7 +993,7 @@ $a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\dfrac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\bet
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以后的华里士公式（点火公式）会使用到，如下面的题目：
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\textbf{例题5：}计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\rm{d}\textit{x}$与$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^9x\rm{d}\textit{x}$。\medskip
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\textbf{例题5：}计算$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\textrm{d}x$与$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^9x\textrm{d}x$。\medskip
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原式1为偶数次幂，所以$=\dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{9!!}{10!!}$。\medskip
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@@ -1010,7 +1010,7 @@ $a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\dfrac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\bet
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\begin{enumerate}
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\item $\vert a\pm b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert$。
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\item 推广公式一到离散区间：$\vert a_1\pm a_2\pm a_3\pm\cdots\pm a_n\vert\leqslant\vert a_1\vert+\vert a_2\vert+\cdots+\vert a_n\vert$。
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\item 推广公式一到连续区间且$f(x)$在$[a,b](a<b)$上可积：$\vert\int_a^bf(x)\rm{d}\textit{x}\vert\leqslant\int_a^b\vert f(x)\vert\rm{d}\textit{x}$。因为符号不一定相同的面积代数和一定小于同为正的面积代数和。
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\item 推广公式一到连续区间且$f(x)$在$[a,b](a<b)$上可积：$\vert\int_a^bf(x)\textrm{d}x\vert\leqslant\int_a^b\vert f(x)\vert\textrm{d}x$。因为符号不一定相同的面积代数和一定小于同为正的面积代数和。
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\item $\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$。后式子为两点之差，前式子可以看作$a$、$b$两点与0之间的距离的差，若异号则两者必然抵消一部分，若同号则就等于后式。
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\end{enumerate}
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@@ -195,7 +195,7 @@ $=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)$
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$，
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则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\rm{d}\textit{y}}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}}$，即$\varphi'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$。\medskip
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则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}$，即$\varphi'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$。\medskip
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$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$就是指严格单调，而严格单调必有反函数。
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@@ -205,11 +205,11 @@ $y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$就是指严格单调，而严格单调必有
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求$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$。\medskip
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$\therefore\dfrac{\rm{d}\arcsin\textit{x}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}\sin\textit{y}}{\rm{d}\textit{y}}}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。\medskip
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$\therefore\dfrac{\textrm{d}\arcsin x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\sin y}{\textrm{d}y}}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。\medskip
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求$y=\arctan x$，就$x=\tan y$。\medskip
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$\therefore\dfrac{\rm{d}\arctan\textit{x}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}\tan\textit{y}}{\rm{d}\textit{y}}}=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$。\medskip
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$\therefore\dfrac{\textrm{d}\arctan x}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\textrm{d}\tan y}{\textrm{d}y}}=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$。\medskip
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二阶反函数导数\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}：
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@@ -217,21 +217,21 @@ $f''(x)$
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$=y''_{xx}$\medskip
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$=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}\right)}{\rm{d}\textit{x}}$\medskip
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$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}$\medskip
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$=\dfrac{\rm{d}^2\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}^2}$\medskip
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$=\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}$\medskip
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$=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(\textit{y})}\right)}{\rm{d}\textit{x}}$\medskip
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$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}x}$\medskip
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$=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(\textit{y})}\right)}{\rm{d}\textit{y}}\cdot\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}$\medskip
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$=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{\varphi'(y)}\right)}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$\medskip
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$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^2}\cdot\dfrac{1}{x_y'}$\medskip
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$=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^3}$\medskip
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其中$\rm{d}\textit{x}\cdot\rm{d}\textit{x}=(\rm{d}\textit{x})^2=\rm{d}\textit{x}^2$称为微分的幂，而$\rm{d}(x^2)$叫幂的微分。
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其中$\textrm{d}x\cdot\textrm{d}x=(\textrm{d}x)^2=\textrm{d}x^2$称为微分的幂，而$\textrm{d}(x^2)$叫幂的微分。
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\textbf{例题：}设$y=f(x)$的反函数是$x=\varphi(y)$，且$f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\rm{d}\textit{t}+1$，求$\varphi''(1)$。
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\textbf{例题：}设$y=f(x)$的反函数是$x=\varphi(y)$，且$f(x)=\int_1^{2x}e^{t^2}\textrm{d}t+1$，求$\varphi''(1)$。
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$\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y_{xx}''}{(y_x')^3}=-\dfrac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$。\medskip
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@@ -306,7 +306,7 @@ $\therefore y'=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{5}{4-3x}\
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对于$u(x)^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\neq 1)$，除了对数求导法外还可以使用指数函数$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$。
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然后求导得到$[u(x)^{v(x)}]'$$=[e^{v(x)\ln u(x)}]'$
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然后求导得到$[u(x)^{v(x)}]'=[e^{v(x)\ln u(x)}]'$
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$=u(x)^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+v(x)\cdot\dfrac{u'(x)}{u(x)}\right]$。
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@@ -494,9 +494,9 @@ $
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\medskip
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一阶导数：$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{\rm{d}\textit{y}/\rm{d}\textit{t}}{\rm{d}\textit{x}/\rm{d}\textit{t}}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=u(t)$。
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一阶导数：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}y/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=u(t)$。
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二阶导数：$\dfrac{\rm{d}^2y}{\rm{d}\textit{x}^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}\right)}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}\right)/\rm{d}\textit{t}}{\rm{d}\textit{x}/\rm{d}\textit{t}}=\dfrac{\rm{d}u/\rm{d}\textit{t}}{\rm{d}\textit{x}/\rm{d}\textit{t}}=\dfrac{u'_t}{x'_t}$
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二阶导数：$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{\textrm{d}u/\textrm{d}t}{\textrm{d}x/\textrm{d}t}=\dfrac{u'_t}{x'_t}$
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\textbf{例题：}设$y=y(x)$由方程$\left\{
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\begin{array}{l}
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@@ -504,13 +504,13 @@ $
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y=t\sin t+\cos t
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\end{array}
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\right.
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$（$t$为参数）确定，求$\dfrac{\rm{d}^2\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}^2}\vert_{t=\frac{\pi}{4}}$。
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$（$t$为参数）确定，求$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}\vert_{t=\frac{\pi}{4}}$。
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求参数方程的二阶导数首先就要求出其一阶导数：\medskip
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$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{y_t'}{x_t'}=\dfrac{t\cos t}{\cos t}=t$。\medskip
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$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{y_t'}{x_t'}=\dfrac{t\cos t}{\cos t}=t$。\medskip
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$\therefore\dfrac{\rm{d}^2\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}^2}=\dfrac{\rm{d}\left(\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}\right)}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{t_t'}{(\sin t)_t'}=\dfrac{1}{\cos t}$\medskip
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$\therefore\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{t_t'}{(\sin t)_t'}=\dfrac{1}{\cos t}$\medskip
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$\therefore \sqrt{2}$。
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@@ -528,9 +528,9 @@ $\therefore \sqrt{2}$。
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当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot\Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。
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增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\rm{d}\textit{y}$，叫做$y$的微分。
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增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\textrm{d}y$，叫做$y$的微分。
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$\therefore \rm{d}\textit{y}\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\rm{d}\textit{x}$
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$\therefore \textrm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\textrm{d}x$
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由此，可导必可微，可微必可导。
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@@ -543,7 +543,7 @@ $\therefore \rm{d}\textit{y}\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)
|
||||
\draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (0,1.125) node[left]{$y_0$};
|
||||
\draw[black, densely dashed](3,3) -- (3,0) node[below]{$x_0+\Delta x$};
|
||||
\draw[black, densely dashed](3,3) -- (0,3) node[left]{$y_0+\Delta x$};
|
||||
\draw[black, densely dashed](3,1.875) -- (0,0.375) node[left]{$\rm{d}\textit{y}\cdot\textit{x}+\textit{b}$};
|
||||
\draw[black, densely dashed](3,1.875) -- (0,0.375) node[left]{$\textrm{d}y\cdot x+b$};
|
||||
\draw[<->, black](1.5,1.125) -- (3,1.125);
|
||||
\draw[<->, black](4,1.125) -- (4,3);
|
||||
\draw[<->, black](3.25,1.125) -- (3.25,1.875);
|
||||
@@ -553,7 +553,7 @@ $\therefore \rm{d}\textit{y}\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)
|
||||
\draw[black](3,1.875) -- (3.75,1.875);
|
||||
\filldraw[black] (2.25,0.75) node{$\Delta x$};
|
||||
\filldraw[black] (4.3,2) node{$\Delta y$};
|
||||
\filldraw[black] (3.5,1.5) node{\scriptsize{$\rm{d}\textit{y}$}};
|
||||
\filldraw[black] (3.5,1.5) node{\scriptsize{$\textrm{d}y$}};
|
||||
\filldraw[black] (3.5,2.5) node{\scriptsize{$o(\Delta x)$}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
@@ -566,28 +566,28 @@ $\therefore \rm{d}\textit{y}\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)
|
||||
若函数可导：
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item 和差的微分：$\rm{d}[\textit{u}(\textit{x})\pm\textit{v}(\textit{x})]=\rm{d}\textit{u}(\textit{x})\pm\rm{d}\textit{v}(\textit{x})$。
|
||||
\item 积的微分：$\rm{d}[\textit{u}(\textit{x})\textit{v}(\textit{x})]$$=\textit{u}(\textit{x})\rm{d}\textit{v}(\textit{x})+\textit{v}(\textit{x})\rm{d}\textit{u}(\textit{x})$。
|
||||
\item 商的微分：$\rm{d}\left[\dfrac{\textit{u}(\textit{x})}{\textit{v}(\textit{x})}\right]=\dfrac{\textit{v}(\textit{x})\rm{d}\textit{u}(\textit{x})-\textit{u}(\textit{x})\rm{d}\textit{v}(\textit{x})}{[\textit{v}(\textit{x})]^2}$，$\textit{v}(\textit{x})\neq 0$。
|
||||
\item 复合函数的微分：链式求导法则$\dfrac{\rm{d}\textit{u}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{\rm{d}\textit{u}}{\rm{d}\textit{y}}\cdot\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}$。
|
||||
\item 和差的微分：$\textrm{d}[u(x)\pm v(x)]=\textrm{d}u(x)\pm\textrm{d}v(x)$。
|
||||
\item 积的微分：$\textrm{d}[u(x)v(x)]=u(x)\textrm{d}v(x)+v(x)\textrm{d}u(x)$。
|
||||
\item 商的微分：$\textrm{d}\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]=\dfrac{v(x)\textrm{d}u(x)-u(x)\textrm{d}v(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
|
||||
\item 复合函数的微分：链式求导法则$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsubsection{微分形式不变性}
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||||
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||||
设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\rm{d}\textit{y}=\textit{y}'_{\textit{x}}\rm{d}\textit{x}=\textit{y}'_{\textit{u}}\rm{d}\textit{u}$。即对哪个变量求导都是一样的，即$\rm{d}\{\textit{f}\,[\textit{g}(\textit{x})]\}=\textit{f}\,'[\textit{g}(\textit{x})]\textit{g}'(\textit{x})\rm{d}\textit{x}$。
|
||||
设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\textrm{d}y=y'_{x}\textrm{d}x=y'_{u}\textrm{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的，即$\textrm{d}\{f\,[g(x)]\}=f\,'[g(x)]g'(x)\textrm{d}x$。
|
||||
|
||||
一阶微分形式不变性指：$\rm{d}\textit{f}\,(\varsigma)=\textit{f}\,'(\varsigma)\rm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么（类似导数的链式求导法则）。
|
||||
一阶微分形式不变性指：$\textrm{d}f\,(\varsigma)=f\,'(\varsigma)\textrm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么（类似导数的链式求导法则）。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\rm{d}\textit{y}$。
|
||||
\textbf{例题：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\textrm{d}y$。
|
||||
|
||||
$\because y=e^{\sin(\ln x)} \therefore$
|
||||
|
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$
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\begin{aligned}
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||||
\rm{d}\textit{y} &=\rm{d}e^{\sin(\ln\textit{x})} \\
|
||||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\rm{d}(\sin(\ln\textit{x})) \\
|
||||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\rm{d}\ln\textit{x} \\
|
||||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}\rm{d}\textit{x}
|
||||
\textrm{d}y &=\textrm{d}e^{\sin(\ln x)} \\
|
||||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\textrm{d}(\sin(\ln x)) \\
|
||||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\textrm{d}\ln x \\
|
||||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}\textrm{d}x
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$
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||||
|
||||
@@ -617,8 +617,8 @@ $
|
||||
$\tan x$ & $\dfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$ & $\cot x$ & $\dfrac{1}{\sin^2x}=\csc^2x$ \\ \hline
|
||||
$\sec x$ & $\sec x\tan x$ & $\csc x$ & $-\csc x\cot x$ \\ \hline
|
||||
$\arcsin x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ & $\arccos x$ & $-\dfrac{1}{1-x^2}$ \\ \hline
|
||||
$\arctan x$ & $\dfrac{1}{1+x^2}$ & $\rm{arccot}\,\textit{x}$ & $-\dfrac{1}{1+x^2}$ \\ \hline
|
||||
$\rm{arcsec}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ & $\rm{arccsc}\,\textit{x}$ & $-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ \\ \hline
|
||||
$\arctan x$ & $\dfrac{1}{1+x^2}$ & $\textrm{arccot}\,x$ & $-\dfrac{1}{1+x^2}$ \\ \hline
|
||||
$\textrm{arcsec}\,x$ & $\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arccsc}\,x$ & $-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ \\ \hline
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
@@ -626,24 +626,24 @@ $
|
||||
\subsection{双曲与反双曲函数}
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||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 双曲正弦：$\rm{sinh}\,\textit{x}=\rm{sh}\,\textit{x}=\dfrac{\textit{e}^{\textit{x}}-\textit{e}^{\textit{-x}}}{2}$。
|
||||
\item 双曲余弦：$\rm{cosh}\,\textit{x}=\rm{ch}\,\textit{x}=\dfrac{\textit{e}^{\textit{x}}+\textit{e}^{\textit{-x}}}{2}$。
|
||||
\item 双曲正切：$\rm{tanh}\,\textit{x}=\rm{th}\,\textit{x}=\dfrac{\rm{sinh}\,\textit{x}}{\rm{cosh}\,\textit{x}}=\dfrac{\textit{e}^{\textit{x}}-\textit{e}^{\textit{-x}}}{\textit{e}^{\textit{x}}+\textit{e}^{\textit{-x}}}$。
|
||||
\item 双曲余切：$\rm{coth}\,\textit{x}=\dfrac{\rm{cosh}\,\textit{x}}{\rm{sinh}\,\textit{x}}=\dfrac{\textit{e}^{\textit{x}}+\textit{e}^{\textit{-x}}}{\textit{e}^{\textit{x}}-\textit{e}^{\textit{-x}}}$。
|
||||
\item 双曲正割：$\rm{sech}\,\textit{x}=\dfrac{1}{\rm{cosh}\,\textit{x}}=\dfrac{2}{\textit{e}^{\textit{x}}+\textit{e}^{\textit{-x}}}$。
|
||||
\item 双曲余割：$\rm{csch}\,\textit{x}=\dfrac{1}{\rm{sinh}\,\textit{x}}=\dfrac{2}{\textit{e}^{\textit{x}}-\textit{e}^{\textit{-x}}}$。
|
||||
\item 反双曲正弦：$\rm{arcsinh}\,\textit{x}=\ln\left(\textit{x}+\sqrt{\textit{x}^2+1}\right)$。
|
||||
\item 反双曲余弦：$\rm{arccosh}\,\textit{x}=\ln\left(\textit{x}+\sqrt{\textit{x}^2-1}\right)$。
|
||||
\item 反双曲正切：$\rm{arctanh}\,\textit{x}=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+\textit{x}}{1-\textit{x}}\right)$。
|
||||
\item 双曲正弦：$\textrm{sinh}\,x=\textrm{sh}\,x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$。
|
||||
\item 双曲余弦：$\textrm{cosh}\,x=\textrm{ch}\,x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$。
|
||||
\item 双曲正切：$\textrm{tanh}\,x=\textrm{th}\,x=\dfrac{\textrm{sinh}\,x}{\textrm{cosh}\,x}=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$。
|
||||
\item 双曲余切：$\textrm{coth}\,x=\dfrac{\textrm{cosh}\,x}{\textrm{sinh}\,x}=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$。
|
||||
\item 双曲正割：$\textrm{sech}\,x=\dfrac{1}{\textrm{cosh}\,x}=\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}$。
|
||||
\item 双曲余割：$\textrm{csch}\,x=\dfrac{1}{\textrm{sinh}\,x}=\dfrac{2}{e^{x}-e^{-x}}$。
|
||||
\item 反双曲正弦：$\textrm{arcsinh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$。
|
||||
\item 反双曲余弦：$\textrm{arccosh}\,x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$。
|
||||
\item 反双曲正切：$\textrm{arctanh}\,x=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
原函数 & 导函数 & 原函数 & 导函数\\ \hline
|
||||
$\rm{sinh}\,\textit{x}$ & $\rm{cosh}\,\textit{x}$ & $\rm{cosh}\,\textit{x}$ & $\rm{sinh}\,\textit{x}$ \\ \hline
|
||||
$\rm{tanh}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{\rm{cosh}\,\textit{x}^2}$ & $\rm{arcsinh}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ \\ \hline
|
||||
$\rm{arccosh}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ & $\rm{arctan}\,\textit{x}$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ \\
|
||||
$\textrm{sinh}\,x$ & $\textrm{cosh}\,x$ & $\textrm{cosh}\,x$ & $\textrm{sinh}\,x$ \\ \hline
|
||||
$\textrm{tanh}\,x$ & $\dfrac{1}{\textrm{cosh}\,x^2}$ & $\textrm{arcsinh}\,x$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ \\ \hline
|
||||
$\textrm{arccosh}\,x$ & $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arctan}\,x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
@@ -496,28 +496,28 @@ $\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$取
|
||||
\draw[black, thick,domain=0.4:1.1] plot (\x, \x);
|
||||
\filldraw[black] (0.5,1) node {$y=f(x)$};
|
||||
\draw[densely dashed](0.5,0.5) -- (0.5, 0) node[below]{$x$};
|
||||
\draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$x+\rm{d}\textit{x}$};
|
||||
\draw[densely dashed](1,1) -- (1, 0) node[below]{$x+\textrm{d}x$};
|
||||
\draw[densely dashed](0.5,0.5) -- (1,0.5);
|
||||
\filldraw[black](0.5,0.6) node{$y$};
|
||||
\filldraw[black](0.95,1.1) node{$y_0$};
|
||||
\filldraw[black](0.75,0.35) node{$\rm{d}\textit{x}$};
|
||||
\filldraw[black](1.1,0.6) node{$\rm{d}\textit{y}$};
|
||||
\filldraw[black](0.75,0.35) node{$\textrm{d}x$};
|
||||
\filldraw[black](1.1,0.6) node{$\textrm{d}y$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||
$\rm{d}\textit{y}=\textit{f}\,(\textit{x}+\rm{d}\textit{x})-\textit{f}\,(\textit{x})$
|
||||
$\textrm{d}y=f\,(x+\textrm{d}x)-f\,(x)$
|
||||
|
||||
$(\rm{d}\textit{s})^2=(\rm{d}\textit{x})^2+(\rm{d}\textit{y})^2$
|
||||
$(\textrm{d}s)^2=(\textrm{d}x)^2+(\textrm{d}y)^2$
|
||||
|
||||
$\rm{d}\textit{s}=\sqrt{(\rm{d}\textit{x})^2+(\rm{d}\textit{y})^2}$（弧微分）
|
||||
$\textrm{d}s=\sqrt{(\textrm{d}x)^2+(\textrm{d}y)^2}$（弧微分）
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
对于弧微分：
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 若直角坐标系下$y=f(x)$，$\rm{d}\textit{s}=\sqrt{1+\left(\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}\right)^2}\rm{d}\textit{x}$$=\sqrt{1+f'^2(x)}\rm{d}\textit{x}$，即$\rm{d}\textit{s}=$$\sqrt{1+f'^2(x)}\rm{d}\textit{x}$。
|
||||
\item 若参数方程下：$x=\phi(t),y=\psi(t)$，$\rm{d}\textit{s}=\sqrt{\left(\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\rm{d}\textit{t}}\right)^2+\left(\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{t}}\right)^2}\rm{d}\textit{t}$\medskip\\$=\sqrt{\psi'^2(t)+\phi'^2(t)}\rm{d}\textit{t}$，即$\rm{d}\textit{s}=\sqrt{\psi'^2(t)+\phi'^2(t)}\rm{d}\textit{t}$。
|
||||
\item 若直角坐标系下$y=f(x)$，$\textrm{d}s=\sqrt{1+\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)^2}\textrm{d}x=\sqrt{1+f'^2(x)}\textrm{d}x$，即$\textrm{d}s=\sqrt{1+f'^2(x)}\textrm{d}x$。
|
||||
\item 若参数方程下：$x=\phi(t),y=\psi(t)$，$\textrm{d}s=\sqrt{\left(\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}\right)^2+\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\right)^2}\textrm{d}t$\medskip\\$=\sqrt{\psi'^2(t)+\phi'^2(t)}\textrm{d}t$，即$\textrm{d}s=\sqrt{\psi'^2(t)+\phi'^2(t)}\textrm{d}t$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{曲率}
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||||
@@ -575,20 +575,20 @@ $\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$取
|
||||
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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||||
$y-y_0$平均曲率：$\hat{k}=\dfrac{\vert\Delta\alpha\vert}{\vert\Delta s\vert}$。\medskip
|
||||
|
||||
$y$曲率：$k=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left\lvert\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right\rvert=\left\lvert\dfrac{\rm{d}\alpha}{\rm{d}\textit{s}}\right\rvert$（$\alpha$为$y$处切线与$x$轴所成角）。
|
||||
$y$曲率：$k=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left\lvert\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right\rvert=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert$（$\alpha$为$y$处切线与$x$轴所成角）。
|
||||
\end{minipage}\medskip
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||||
|
||||
需要对曲率公式进行化简，得到$s$与$\alpha$关于$x$的表示。根据弧微分的定义：$\rm{d}\textit{s}=$$\sqrt{1+f'^2(x)}\rm{d}\textit{x}$。
|
||||
需要对曲率公式进行化简，得到$s$与$\alpha$关于$x$的表示。根据弧微分的定义：$\textrm{d}s=\sqrt{1+f'^2(x)}\textrm{d}x$。
|
||||
|
||||
而对于$\alpha$：$\tan\alpha=y'=f'(x)$。
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||||
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||||
两边对$x$求导：$\sec^2\alpha\cdot\dfrac{\rm{d}\alpha}{\rm{d}\textit{x}}=y''=f''(x)$。
|
||||
两边对$x$求导：$\sec^2\alpha\cdot\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}x}=y''=f''(x)$。
|
||||
|
||||
又$\because\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha=1+y'^2$。
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||||
$\therefore\dfrac{\rm{d}\alpha}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{y''}{1+y'^2}\Rightarrow\rm{d}\alpha=\dfrac{\textit{y}''}{1+\textit{y}\,'^2}\rm{d}\textit{x}$。
|
||||
$\therefore\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}x}=\dfrac{y''}{1+y'^2}\Rightarrow\textrm{d}\alpha=\dfrac{y''}{1+y\,'^2}\textrm{d}x$。
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||||
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||||
$\therefore k=\left\lvert\dfrac{\rm{d}\alpha}{\rm{d}\textit{s}}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。
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||||
$\therefore k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。
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\subsection{曲率半径}
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@@ -39,11 +39,26 @@
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\setcounter{page}{1}
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\section{不定积分}
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积分就是导数的逆运算。$\int f(x)\,\rm{d}$$x=F(x)+C$，$F'(x)=f(x)$。
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\subsection{定义}
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||||
所以积分运算就可以将原来求导的方式进行逆运算。其中隐函数求导法与参数方程求导法都可以看作复合函数求导法则的变式。
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||||
设$f(x)$定义在区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对于任意$x\in I$都成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。对于全体的原函数集合，就称为不定积分。
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||||
函数和差的求导法则的逆运算，就是分项积分法。
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||||
连续函数必有原函数。
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||||
在区间$I$上，函数$f(x)$带有任意常数项的原函数称为$f(x)/f(x)\,\textrm{d}x$在该区间上的不定积分，记为$\int f(x)\,\textrm{d}x$，其中$\int$为积分号，$f(x)$为被积函数，$f(x)\,\textrm{d}x$为被积表达式，$x$为积分变量。
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||||
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||||
积分就是导数的逆运算。$\int f(x)\,\textrm{d}x=F(x)+C$，$F'(x)=f(x)$。
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\subsection{性质与积分运算}
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||||
积分运算就可以将原来求导的方式进行逆运算。其中隐函数求导法与参数方程求导法都可以看作复合函数求导法则的变式。
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||||
积分运算具有两个性质：
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\int[f(x)+g(x)]\textrm{d}x=\int f(x)\textrm{d}x+\int g(x)\textrm{d}x$，就是分项积分法。
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||||
\item $\int kf(x)\textrm{d}x=k\int f(x)\textrm{d}x$。
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||||
\end{enumerate}
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复合函数的求导法则的逆运算，就是换元积分法。
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@@ -53,39 +68,41 @@
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\subsubsection{第一类换元法（凑微分法）}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\int f(u)\,\rm{d}$$u=F(u)+C$，则$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,\rm{d}$$x=\int f[\varphi(x)]\,\rm{d}$$\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C$。
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\int f(u)\,\textrm{d}u=F(u)+C$，则$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,\textrm{d}x=\int f[\varphi(x)]\,\textrm{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C$。
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{a^2+x^2}=\dfrac{1}{a}\int\dfrac{\rm{d}\dfrac{\textit{x}}{\textit{a}}}{1+\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$，$\int\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\dfrac{\rm{d}\dfrac{\textit{x}}{\textit{a}}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$。
|
||||
$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{a^2+x^2}}=\displaystyle{\dfrac{1}{a}\int\dfrac{\textrm{d}\dfrac{x}{a}}{1+\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$。\medskip
|
||||
|
||||
如$\int\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\rm{d}\textit{x}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{\rm{d}(1+\textit{x}^2)}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{1+x^2}+C$。\medskip
|
||||
$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}\dfrac{x}{a}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}}=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$。\medskip
|
||||
|
||||
如$\displaystyle{\int\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{\textrm{d}(1+x^2)}{\sqrt{1+x^2}}}=\sqrt{1+x^2}+C$。\medskip
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||||
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||||
凑微分法适用于式子比较简单的情况，所凑微分的形式必须符合一个简单积分公式的式子，且有一定的式子可以提出来到微分号后面。
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\textbf{例题：}
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$\int(1+3x)^{100}\,\rm{d}$$x=\dfrac{1}{3}\int(1+3x)^{100}\,\rm{d}$$(1+3x)=\dfrac{1}{303}(1+3x)^{101}+C$。
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$\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{3}\int(1+3x)^{100}\,\textrm{d}(1+3x)=\dfrac{1}{303}(1+3x)^{101}+C$。
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$\int\cos^2x\,\rm{d}$$x=\dfrac{1}{2}\int(1+\cos 2\textit{x})\,\rm{d}$$x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)+C$。
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$\int\cos^2x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int(1+\cos 2x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)+C$。
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$\int\cos^3x\,\rm{d}$$x=\int\cos^2\,\rm{d}$$\sin x=\int(1-\sin^2x)\,\rm{d}$$\sin x=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C$。
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$\int\cos^3x\,\textrm{d}x=\int\cos^2\,\textrm{d}\sin x=\int(1-\sin^2x)\,\textrm{d}\sin x=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C$。
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$\int\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{x\sqrt{1+\ln x}}=\int\dfrac{\rm{d}(1+\ln\textit{x})}{\sqrt{1+\ln x}}=2\sqrt{1+\ln x}+C$。
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$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{x\sqrt{1+\ln x}}=\int\dfrac{\textrm{d}(1+\ln x)}{\sqrt{1+\ln x}}}=2\sqrt{1+\ln x}+C$。
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$\int\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\sqrt{x}(1+x)}=2\int\dfrac{\rm{d}\sqrt{\textit{x}}}{1+(\sqrt{x})^2}=2\arctan\sqrt{x}+C$。
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$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}=2\int\dfrac{\textrm{d}\sqrt{x}}{1+(\sqrt{x})^2}}=2\arctan\sqrt{x}+C$。
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$\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\,\rm{d}$$x=\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{1-x}\cdot\dfrac{\rm{d}\textit{x}}{\sqrt{x}}$$=2\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{1-(\sqrt{x})^2}\,\rm{d}$$\sqrt{x}$
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$\displaystyle{\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\,\textrm{d}x=\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{1-x}\cdot\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x}}=2\int\dfrac{\arcsin\sqrt{x}}{1-(\sqrt{x})^2}\,\textrm{d}\sqrt{x}}$
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$=2\int\arcsin\sqrt{x}\,\rm{d}$$\arcsin\sqrt{x}=(\arcsin\sqrt{x})^2+C$。
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$=2\int\arcsin\sqrt{x}\,\textrm{d}\arcsin\sqrt{x}=(\arcsin\sqrt{x})^2+C$。
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\subsubsection{第二类换元法}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$x=\varphi(t)$为单调可导函数，且$\varphi'(t)\neq 0$，$\int f[\varphi(t)\varphi'(t)]\,\rm{d}$$t=F(t)+C$，则$\int f(x)\rm{d}$$x=\int f[\varphi(t)\varphi'(t)]\,\rm{d}$$t=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$x=\varphi(t)$为单调可导函数，且$\varphi'(t)\neq 0$，$\int f[\varphi(t)\varphi'(t)]\,\textrm{d}t=F(t)+C$，则$\int f(x)\textrm{d}x=\int f[\varphi(t)\varphi'(t)]\,\textrm{d}t=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C$。
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第二类换元法适用于无法适用第一类换元法的情况，但是最重要的还是对于中间变量的取值，这个中间变量必须要让原式子更简单，且还要注意到变量取值范围。
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\textcolor{orange}{注意：}$\varphi'(t)\neq 0$是为了保证中间变量函数具有反函数，而单调函数必然有反函数，所以只要能证明这个中间变量函数必然单调，那么其实$\varphi'(t)$也可以等于0。
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\textbf{例题：}求$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\rm{d}$$x(a>0)$。
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\textbf{例题：}求$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\textrm{d}x(a>0)$。
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首先看题目，如果使用凑微分法，那必须从式子中提取出一个式子放到微分后面，且提取后的式子满足一个简单的积分公式。
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@@ -107,10 +124,198 @@ $=2\int\arcsin\sqrt{x}\,\rm{d}$$\arcsin\sqrt{x}=(\arcsin\sqrt{x})^2+C$。
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但是在$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$上$\varphi'(t)=a\sin t$是严格单调递增的，单调函数必然存在反函数，所以$\varphi'(t)$可以等于0，从而$t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$。
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$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\rm{d}$$x=a\int\cos t\,\rm{d}$$a\sin t=a^2\int\cos^2t\rm{d}$$t=\dfrac{a^2}{2}\int(1+\cos 2t)\rm{d}$$t=\dfrac{a^2}{2}\left(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\right)+C=\dfrac{a^2}{2}\left(\arcsin\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{a}\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\right)+C$。
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$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\textrm{d}x=a\int\cos t\,\textrm{d}a\sin t=a^2\int\cos^2t\textrm{d}t=\dfrac{a^2}{2}\int(1+\cos 2t)\textrm{d}t=\dfrac{a^2}{2}\left(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\right)+C=\dfrac{a^2}{2}\left(\arcsin\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{a}\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\right)+C$。
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\textbf{例题：}
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已知$\tan^2x+1=\sec^2x$。
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$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{a^2+x^2}}}(a>0)$。
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令$x=a\tan t$。
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原式$=\displaystyle{\int\dfrac{a\sec^2t}{a\sec t}\,\textrm{d}t=\int\sec t\,\textrm{d}t}=\ln\vert\sec t+\tan t\vert+C=\ln\bigg\vert\sqrt{1+\dfrac{x^2}{a^2}}+\dfrac{x}{a}\bigg\vert+C$。
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$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}}(a>0)$。
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令$x=a\sec t$。
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原式$=\displaystyle{\int\dfrac{a\sec t\tan t}{a\tan t}\,\textrm{d}t}=\ln\bigg\vert\sec t+\tan t\bigg\vert+C=\ln\bigg\vert\dfrac{x}{a}+\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}-1}\vert+C$。\medskip
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所以常用的换元积分替换方式：
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\begin{enumerate}
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\item $\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin t(a\cos t)$。
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\item $\sqrt{a^2+x^2}$：$x=a\tan t$。
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\item $\sqrt{x^2-a^2}$：$x=a\sec t$。
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\end{enumerate}
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换元法本质是将式子转换为我们已知的积分公式，所以换元积分法只适合于能转换为积分公式的简单式子上，如果式子比较复杂或形式与大部分积分公式不一致，那么也无法换元了。
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\subsection{分部积分法}
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已知$(uv)'=uv'+u'v$，所以$uv'=(uv)'-u'v$，从而$\int uv'\,\textrm{d}x=\int(uv)'\,\textrm{d}x-\int vu'\,\textrm{d}x$，即$\int u\,\textrm{d}v=uv-\int v\,\textrm{d}u$。
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所以分部积分法的公式就是：$\int u\,\textrm{d}v=uv-\int v\,\textrm{d}u$。
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所以分部积分法的适用方式就是所求积分的式子是一个可拆分为两项不同函数的式子，式子的分式中一个式子不好积分，另一个式子好积分，就可以用好积分的式子来积分计算。
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\subsubsection{基本分部积分}
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\textbf{例题：}
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$\int xe^x\,\textrm{d}x=\int x\,\textrm{d}e^x=xe^x-\int e^x\textrm{d}x=xe^x-e^x+C$。
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$\int x\sin x\,\textrm{d}x=-\int x\,\textrm{d}\cos x=-[x\cos x-\int\cos x\,\textrm{d}x]=-[x\cos x-\sin x]+C=\sin x-x\cos x+C$。
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$\int x\ln x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\ln x\textrm{d}x^2=\dfrac{1}{2}[x^2\ln x-\ln x^2\textrm{d}\ln x]=\dfrac{1}{2}[x^2\ln x-\ln x\textrm{d}x]=\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C$。
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$\int x\arctan x\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int\arctan x\textrm{d}x^2=\dfrac{1}{2}\left[x^2\arctan x-\displaystyle{\int\dfrac{x^2}{1+x^2}\textrm{d}x}\right]=\\ \dfrac{1}{2}[x^2\arctan x-x+\arctan x]+C$。
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\subsubsection{多次分部积分还原}
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当式子中含有$\sin x$，$\cos x$，$e^x$这种积分后变化不大的因式时，可以适用多步分部积分，然后在右边计算的式子中得到左边目标式子一样的因式，然后移到一边就能得到目标式子的表达式。
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\textbf{例题：}\medskip
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$
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\begin{aligned}
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\int e^x\sin x\,\textrm{d}x & =\int\sin x\,\textrm{d}e^x \\
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& =e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\textrm{d}x \\
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& =e^x\sin x-\int\cos x\,\textrm{d}e^x \\
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& =e^x\sin x-\left[e^x\cos x+\int e^x\sin\,\textrm{d}x\right] \\
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2\int e^x\sin x\,\textrm{d}x & =e^x\sin x-e^x\cos x
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\end{aligned}
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$
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$\therefore\int e^x\sin x\,\textrm{d}x=\dfrac{e^x\sin x-e^x\cos}{2}+C$。
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$
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\begin{aligned}
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\int\sec^3x\,\textrm{d}x =&\int\sec x\,\textrm{d}\tan x \\
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& =\sec x\tan x-\int\tan^2x\sec x\,\textrm{d}x \\
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& =\sec x\tan x-\int\sec^3x\textrm{d}x+\int\sec x\textrm{d}x \\
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2\int\sec^3x\,\textrm{d}x =&[\sec x\tan x+\ln\vert\sec x+\tan x\vert]
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\end{aligned}
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$
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$\therefore\int\sec^3x\,\textrm{d}x =\dfrac{\sec x\tan x+\ln\vert\sec x+\tan x\vert}{2}+C$。
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如上所说分部积分的方法就是找到目标式子中两个因式好求的一部分进行积分，其中好求是指$\textrm{d}v$微分后这个结果会简化整个式子。
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其中$e^x$，$\sin x$，$\cos x$这三个因式求微分后无法简化，所以无法对其微分，除非需要多次分部积分还原间接求出；$x^n$微分后会降幂，所以一般可以积分；而$\ln x$，$\arctan x$，$\arcsin x$微分会转换为幂函数相关的式子降低幂次，如果不对其微分则无法消去这三个函数，所以如果出现这三个因式必然优先微分。
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所以常用的分部积分方式：
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\begin{enumerate}
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\item $\int x^ne^x\,\textrm{d}x$、$\int x^n\sin x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\cos x\,\textrm{d}x$：对非幂函数的部分，即对$e^x$或三角函数进行分部。
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\item $\int x^n\ln x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\arctan x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\arcsin x\,\textrm{d}x$：对幂函数的部分，即对$x^n$进行分部。
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\item $\int e^x\sin x\,\textrm{d}x$，$\int e^x\cos x\,\textrm{d}x$：对哪个部分进行分部都可以，而$e^x$进行分部积分时没有正负号的改变，所以对$e^x$进行分部积分，需要多次分部积分还原。
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\end{enumerate}
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\subsection{有理函数的积分}
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两个多项式的商$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$被称为有理函数，或有理分式。
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假设该多项式之间没有公因式，当$P(x)$的次数小于$Q(x)$的次数时村各位真分式，否则称为假分式。
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假分式可以分解为多项式与真分式之和。
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真分式$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$若可以分解为两个多项式的乘积：$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\dfrac{P_2(x)}{Q_2(x)}$，则称为将真分式化为部分分式之和。
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通过这种化简方式，可以在求以商的形式的有利函数的式子的积分时拆分因式，从而简化积分运算。
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\section{定积分}
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定积分是积分的一种，是函数在一个区间上积分和的极限。已知$f(x)$为速度函数，则$f'(x)$为速度变化率函数，$\textrm{d}f(x)$为瞬时位移，则$\int_{a}^bf(x)\,\textrm{d}x$为位移函数。
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\subsection{定义}
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设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间分割为$n$个子区间：$[x_0,x_1],(x_1,x_2],$\\$(x_2,x_3],\cdots,(x_{n-1},x_n]$，其中$x_0=a$，$x_n=b$。并可知各区间长度为$\Delta x_1=x_1-x_0\cdots$，在每个子区间$(x_{i-1},x_i]$上任意取一点$\xi_i(i=1,2,\cdots,n)$，做累计和$\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$，这个式子被称为积分和。
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设$\lambda=\max{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n}$，从而$\lambda$为最大的区间长度，若$\lambda\to 0$时积分和极限存在，则这个极限就是函数在区间$[a,b]$的定积分，记为$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$，并称函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积。
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其中$a$为积分下限，$b$为积分上限，区间$[a,b]$为积分区间，函数$f(x)$为被积函数，$x$是积分变量，$f(x)\,\textrm{d}x$为被积表达式，$\int$为积分号。
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\subsection{存在性}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上可积。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在该区间上可积。
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\subsection{性质}
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设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则：
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\begin{enumerate}
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\item 当$a=b$时，$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=0$。
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\item 当$a>b$时，$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=-\int_b^af(x)\,\textrm{d}x$。
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\item $\int_a^bkf(x)\,\textrm{d}x=k\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。
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\item $\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\,\textrm{d}x=\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\pm\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。
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||||
\item $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\textrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\textrm{d}x$，若$c$处于函数的可积区间。
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||||
\item 若$[a,b]$上$f(x)\geqslant 0$，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\geqslant 0$。
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\item 若$[a,b]$上$f(x)\leqslant g(x)$，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。
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||||
\item 积分中值定理：$\exists\,\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。
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\end{enumerate}
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证明积分中值定理：
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设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，因为闭区间上连续函数必然有最大最小值，所以设最大值为$M$，最小值为$m$，$M\geqslant m$。
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对$m\leqslant f(x)\leqslant M$两边积分得到：$m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M(b-a)$。
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同时除以$b-a$得到：$m\leqslant\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M$。
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由连续函数的介值定理，必然存在一个$\varepsilon$，使得$f(\varepsilon)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。
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从而得到$\exists\,\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。
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\subsection{变限积分}
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设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\Phi(x)=\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t(x\in[a,b])$，这个函数就是积分上限函数或叫积分变限函数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$在$[a,b]$上$(\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t)'=f(x)$。
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证明：设$x\in(a,b)$。
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则$\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=\dfrac{\int_a^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t-\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}=\dfrac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}$。
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由积分中值定理存在$\xi$使得原式$=\dfrac{\Delta x\,f(\xi)}{\Delta x}=f(\xi)$。
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从而$\Phi'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=f(x)$。
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同理当$x=a,\Delta x>0$与$x=b,\Delta x<0$时也同样成立。
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\textbf{例题：}求$F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\textrm{d}t$的导数。
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由定理，可以将式子看作复合函数求导（注意定理中积分上限为$x$，而这里不是$x$，但是对$x$求导，所以必须看作为一个复合函数求导）。
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$F(x)=\int_0^ue^{-t^2}\,\textrm{d}t$，$u=x^2$。
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$\therefore F'_x(x)=F'_u(x)\cdot u'_x=e^{-u^2}\cdot 2x=2xe^{-x^4}$。
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同理，如果是变下限的变限积分，则可以看作负的变上限积分进行运算，本质是一样的。
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也同理，如果上限下限都在变化，则可以利用积分区间的可加性，将这个积分的区间插入一个常数（一般为0），将一个积分式子变为两个积分式子，再分别进行运算。
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所以变限积分\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\phi(x)$与$\psi(x)$都可导，$f(x)$连续，则$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x)$。
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\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\int_0^{\sin^2x}\ln(1+t)\,\textrm{d}t}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}$。
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原式$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+\sin^2x)2\sin x\cos x}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot 2x\cdot 1}{\dfrac{4}{3}x^3}=\dfrac{3}{2}$。\smallskip
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数。
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\subsection{牛顿-莱布尼茨公式}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}（微积分基本定理/牛顿-莱布尼茨公式）若函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)$。
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利用牛莱公式证明积分中值定理：
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已知$F'(x)=f(x)$。
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$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
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牛-莱公式连接了微分学和积分学之间的关系。
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\end{document}
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