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@@ -39,6 +39,8 @@
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极限运算分为函数极限和数列极限，数列极限和函数极限可以相互转化，这里主要以函数极限作为示例。
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\section{基本计算方式}
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课本上极限计算可以使用的主要计算方式：
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@@ -267,7 +269,7 @@ $=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{2}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2}
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$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x\sin^2x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\cos x\sin x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{2}x^2}{x^2}=\dfrac{1}{2}$。
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\subsection{乘积形式}
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\subsubsection{乘积形式}
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此时带有根号的式子只有单个没有加上或减去另一个式子，所以就需要将其转换为和差形式，如三角函数中$x\pm n\pi$结果不变。
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@@ -726,4 +728,8 @@ $x_{n+1}-x_n=\sqrt{2+x_n}-x_n=\dfrac{2+x_n-x_n^2}{\sqrt{2+x_n}+x_n}=\dfrac{-(x_n
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解得$A=\sqrt{2}$，即$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}$。
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\subsection{数列和}
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使用定积分的精确定义$\displaystyle\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^nf\left(a+\dfrac{b-a}{n}\cdot i\right)\dfrac{b-a}{n}$。
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\end{document}
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@@ -180,9 +180,9 @@ $\therefore a=1,b=e$。
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\paragraph{介值定理} \leavevmode \medskip
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\textbf{例题：}设$f(x)$在$[0,3]$上连续，$(0,3)$上可导，且$f(0)+f(1)+f(2)=3$，$f(3)=1$，证明存在$\varepsilon\in(0,3)$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
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\textbf{例题：}设$f(x)$在$[0,3]$上连续，$(0,3)$上可导，且$f(0)+f(1)+f(2)=3$，$f(3)=1$，证明存在$\xi\in(0,3)$，使得$f'(\xi)=0$。
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解：对于一个导数$f'(\varepsilon)=0$，只会想到罗尔定理和拉格朗日中值定理两种方式。由于这里没有差式，所以很可能是罗尔定理。所以必须找到$f(a)=f(b)$。
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解：对于一个导数$f'(\xi)=0$，只会想到罗尔定理和拉格朗日中值定理两种方式。由于这里没有差式，所以很可能是罗尔定理。所以必须找到$f(a)=f(b)$。
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由于题目只给出特定条件而没有给出$f(x)$的表达形式，所以无法使用求原函数的方式证明。$f(3)=1$是唯一已知固定常数值的，所以想在$(0,3)$上找到一点$c$，使得$f(c)=f(3)=1$。
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@@ -252,11 +252,11 @@ $f(a)\geqslant f(a+b)-f(b)$，所以$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$。
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这种题目就是证明某个式子成立，式子一边是常数一边是导数式子，要证明，就要将导数式子转换为原函数，方法跟罗尔定理使用的转换原函数的技巧一样。
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\textbf{例题：}设$f(x)$在$[0,1]$上连续且可导，证明存在一点$\varepsilon\in(0,1)$，使得$f(1)=3\varepsilon^2f(\varepsilon)+\varepsilon^3f'(\epsilon)$。
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\textbf{例题：}设$f(x)$在$[0,1]$上连续且可导，证明存在一点$\xi\in(0,1)$，使得$f(1)=3\xi^2f(\xi)+\xi^3f'(\epsilon)$。
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证明：由$3\varepsilon^2f(\varepsilon)+\varepsilon^3f'(\epsilon)$，可推出原函数为$x^3f(x)$，令$F(x)=x^3f(x)$，则其在$(0,1)$也可导。
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证明：由$3\xi^2f(\xi)+\xi^3f'(\epsilon)$，可推出原函数为$x^3f(x)$，令$F(x)=x^3f(x)$，则其在$(0,1)$也可导。
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即使用拉格朗日中值定理，$F(1)-F(0)=F'(\varepsilon)$，$\varepsilon\in(0,1)$。即$f(1)=3\varepsilon^2f(\varepsilon)+\varepsilon^3f'(\epsilon)$。
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即使用拉格朗日中值定理，$F(1)-F(0)=F'(\xi)$，$\xi\in(0,1)$。即$f(1)=3\xi^2f(\xi)+\xi^3f'(\epsilon)$。
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\subsubsection{对数函数特性}
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@@ -278,13 +278,13 @@ $f(a)\geqslant f(a+b)-f(b)$，所以$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$。
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证明存在两个不同的点在同一个区间满足一个不等式。如果两个点彼此存在一定关系，如上面式子转换的例子$a+b$，$a$，$b$，那么我们可以使用转换，如果两个完全独立的变量，则这种方式没用，我们可以考虑划分区间，假定这两个点在不同的区间，中间以一个区间变量分隔，由于拉格朗日中值定理中两个变量只会出现一次，而间隔变量会出现多次，所以对其分别拉格朗日中值定理，就可以把两个变量换成以间隔变量表示的形式，将两个无关变量的式子变成一个变量的式子。
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\textbf{例题：}设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，证明存在不同的$\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$，使得$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_1)}+\dfrac{1}{f'(\varepsilon_2)}=2$。
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\textbf{例题：}设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，证明存在不同的$\xi_1$、$\xi_2$，使得$\dfrac{1}{f'(\xi_1)}+\dfrac{1}{f'(\xi_2)}=2$。
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证明：使用$\varepsilon$将$[0,1]$划分为$[0,\varepsilon]$和$[\varepsilon,1]$两个区间，假定$\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$分别在这两个区间上。
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证明：使用$\xi$将$[0,1]$划分为$[0,\xi]$和$[\xi,1]$两个区间，假定$\xi_1$、$\xi_2$分别在这两个区间上。
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分别对其进行拉格朗日：$f(\varepsilon)-f(0)=f'(\varepsilon_1)(\varepsilon-0)$，即$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_1)}=\dfrac{\varepsilon}{f(\varepsilon)}$，$f(1)-f(\varepsilon)=f'(\varepsilon_2)(1-\varepsilon)$，即$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_2)}=\dfrac{1-\varepsilon}{1-f(\varepsilon)}$。
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分别对其进行拉格朗日：$f(\xi)-f(0)=f'(\xi_1)(\xi-0)$，即$\dfrac{1}{f'(\xi_1)}=\dfrac{\xi}{f(\xi)}$，$f(1)-f(\xi)=f'(\xi_2)(1-\xi)$，即$\dfrac{1}{f'(\xi_2)}=\dfrac{1-\xi}{1-f(\xi)}$。
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即$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_1)}+\dfrac{1}{f'(\varepsilon_2)}=\dfrac{\varepsilon}{f(\varepsilon)}+\dfrac{1-\varepsilon}{1-f(\varepsilon)}$，任取$f(\varepsilon)=\dfrac{1}{2}$，原式等于2，得证。
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即$\dfrac{1}{f'(\xi_1)}+\dfrac{1}{f'(\xi_2)}=\dfrac{\xi}{f(\xi)}+\dfrac{1-\xi}{1-f(\xi)}$，任取$f(\xi)=\dfrac{1}{2}$，原式等于2，得证。
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\subsubsection{查找特定值}
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@@ -431,6 +431,8 @@ $F(t)$递增，所以$F(t)>F(0)=0$。
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如果不等式中都是常数，可以将其中的一个或几个常数变量化再利用导数去证明。
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此外注意对式子进行化简，不要直接就计算不等式与计算导数。遇到$e^xf(x)$乘积形式就取对数让乘积变为加减法，遇到两边为平方项就两边开根号并加上绝对值。
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\textbf{例题：}设$0<a<b$，证明$\ln\dfrac{b}{a}>2\dfrac{b-a}{a+b}$。
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因为左边含有$\dfrac{b}{a}$不好处理，所以右边分子分母同时除以$a$全部变成统一变量：$\ln\dfrac{b}{a}>2\dfrac{\dfrac{b}{a}-1}{1+\dfrac{b}{a}}$。然后令$x=\dfrac{b}{a}$，所以即需要证明$\ln x>2\dfrac{x-1}{1+x}$，$x>1$。
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@@ -63,9 +63,9 @@
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\subsubsection{第一类换元}
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\paragraph{聚集因式} \leavevmode \medskip
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\paragraph{凑微分法} \leavevmode \medskip
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将复杂的式子转换为简单的一个因式放到$\textrm{d}$后面看作一个整体，然后利用基本积分公式计算。
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将复杂的式子转换为简单的一个因式放到$\textrm{d}$后面看作一个整体，然后利用基本积分公式计算。适用于式子近于基本公式的情况。
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\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{x\ln x\ln\ln x}}$。 \medskip
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@@ -166,13 +166,15 @@ $\therefore=t^2\sin t-2t\cos t-\sin t+C=(\arcsin x)^2x+2\arcsin x\sqrt{1-x^2}-2x
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当积分式子存在指数函数$e^x$或对数函数$\ln x$时，可以考虑令其为$t$，从而$x$分别为$\ln t$和$e^t$。
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但是如果$\ln x$、$\arctan x$、$\arcsin x$与$x$多项式或$e^x$做乘法时要考虑分布积分法。
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\paragraph{倒数换元} \leavevmode \medskip
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当被积函数的分母的幂次要比分子高两次以及以上时，令$x=\dfrac{1}{u}$。
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\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-1}}}$。\medskip
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解：因为所有的变量都在分母，所以先进行倒代换：
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解：因为所有的变量都在分母，所以先进行倒代换：\medskip
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$=-\displaystyle{\int\dfrac{u\,\textrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}}=\sqrt{1-u^2}+C=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C$。
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@@ -256,7 +258,7 @@ $\therefore=2x\sqrt{1+e^x}-4\sqrt{1+e^x}-2\ln\dfrac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}
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\paragraph{万能公式} \leavevmode \medskip
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同样属于有理积分的内容，但是本质还是属于三角函数的部分。
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同样属于有理积分的内容，但是本质还是属于三角函数的部分。如果出现一个三角函数跟着常数的式子就使用万能公式。
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令$u=\tan\dfrac{x}{2}$，$\sin x=\dfrac{2u}{1+u^2}$，$\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$，$\textrm{d}x=\dfrac{2}{1+u^2}\textrm{d}u$。
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@@ -466,6 +468,8 @@ $\therefore\int uv'''\,\textrm{d}x=uv''-u'v'+u''v-\int u'''v\,\textrm{d}x$。
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以$u$为起点左上右下错位相乘，各项符号正负交错，直到$uv$的导阶数相同，最后一项是$(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v\,\textrm{d}x$，只要这最后一项可以解出来就可以停止了，即上下是同一类的函数或幂函数求导成0。
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$u$定为求导能被消去的函数，$v$定微分形式不变的函数。
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\textbf{例题：}求$\int(x^3+2x+6)e^{2x}\,\textrm{d}x$。
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解：如果要一般求，则需要拆分：
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@@ -481,7 +485,7 @@ $\int(x^3+2x+6)e^{2x}\,\textrm{d}x=\int x^3e^{2x}\,\textrm{d}x+2\int xe^{2x}\,\t
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\hline
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\end{tabular}\medskip
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$\therefore=(x^3+2x+6)\left(\dfrac{1}{2}e^{2x}\right)-(3x^2+2)\left(\dfrac{1}{4}e^{2x}\right)+6x\left(\dfrac{1}{8}e^{2x}\right)-6\left(\dfrac{1}{16}e^{2x}\right)+\displaystyle{\int0\cdot(\dfrac{1}{16}e^{2x})\,\textrm{d}x}=\left(\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x+\dfrac{17}{8}\right)e^{2x}+C$。
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$\therefore=(x^3+2x+6)\left(\dfrac{1}{2}e^{2x}\right)-(3x^2+2)\left(\dfrac{1}{4}e^{2x}\right)+6x\left(\dfrac{1}{8}e^{2x}\right)-6\left(\dfrac{1}{16}e^{2x}\right)+\displaystyle{(-1)^{3+1}\cdot\int0\cdot(\dfrac{1}{16}e^{2x})\,\textrm{d}x}=\left(\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x+\dfrac{17}{8}\right)e^{2x}+C$。
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\textbf{例题：}求$\int x^2\ln x\,\textrm{d}x$。\medskip
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@@ -520,7 +524,7 @@ $=\dfrac{2}{3}e^{\sqrt{3x+9}}(\sqrt{3x+9}-1)+C$。
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\subsection{有理积分}
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针对于多项式分式，需要将分母和分子拆解。
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针对于多项式分式，需要将分母和分子拆解。首先需要对式子进行化简。
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\subsubsection{高阶多项式分配}
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@@ -669,9 +673,9 @@ $=-\dfrac{4x+3}{2(x^2+x+1)}-\dfrac{6}{\sqrt{3}}\arctan\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$
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\section{定积分}
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\subsection{定限积分}
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定积分计算以牛莱公式为基础。
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\subsubsection{极限}
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\subsection{极限}
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若极限中有$n$这种变量，也可以通过定积分的定义来做，$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^nf\left(\dfrac{i}{n}\right)\dfrac{1}{n}=\int_1^0f(x)\,\textrm{d}x$。
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@@ -701,7 +705,7 @@ $=\displaystyle{\int_0^1\dfrac{1+x}{1+x^2}\textrm{d}x}=\displaystyle{\int_0^1\df
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$=\left[\arctan x+\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]_0^1=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\ln2$。
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\subsubsection{区间再现}
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\subsection{区间再现}
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若函数$f(x)$为连续函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^bf(a+b-x)\,\textrm{d}x$。区间再现本质是一种换元法，但是实际上是本显式的根据函数周期移动$x$的范围，求出另一种形式，再结合一起解出。
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@@ -723,7 +727,7 @@ $\therefore\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\textr
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$\therefore=\dfrac{1}{2}\pi\displaystyle{\int_0^\pi\dfrac{\sin t}{1+\cos^2t}\textrm{d}t}=-\dfrac{1}{2}\pi\int_0^\pi\dfrac{\textrm{d}\cos t}{1+\cos^2t}=-\dfrac{1}{2}\pi\arctan\cos t\bigg|_0^\pi=\dfrac{1}{4}\pi^2$。
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\subsubsection{换元积分}
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\subsection{换元积分}
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换元积分法基本上跟不定积分一样。
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@@ -733,7 +737,7 @@ $\therefore=\dfrac{1}{2}\pi\displaystyle{\int_0^\pi\dfrac{\sin t}{1+\cos^2t}\tex
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$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}\cos^2u\,\textrm{d}u+\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}\cos^2u\tan u\,\textrm{d}u=\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}\cos^2u\,\textrm{d}u+\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}\sin u\cos u\,\textrm{d}u=\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}\cos^2u\,\textrm{d}u=2\int_0^\frac{\pi}{4}\cos^2u\,\textrm{d}u=2\int_0^\frac{\pi}{4}(1+\cos2u)\,\textrm{d}u=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}$。
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\subsubsection{分部积分}
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\subsection{分部积分}
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可以使用普通的分部积分方式，也可以使用分部积分推广公式。
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@@ -752,7 +756,7 @@ $\therefore\int_0^\frac{\pi}{2}e^{2x}\cos x\,\textrm{d}x=[e^{2x}\sin x+2e^{2x}\c
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$\int_0^\frac{\pi}{2}e^{2x}\cos x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{5}[e^{2x}(\sin x+2\cos x)]_0^\frac{\pi}{2}=\dfrac{1}{5}(e^\pi-2)$。
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\subsubsection{几何意义}
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\subsection{几何意义}
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定积分与不定积分不同的就是定积分具有几何意义，可以在计算时简化操作。
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@@ -762,7 +766,7 @@ $\int_0^\frac{\pi}{2}e^{2x}\cos x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{5}[e^{2x}(\sin x+2\cos
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对$\sqrt{2x-x^2}$进行变形，$=\sqrt{1-(x-1)^2}$，令$x-1=t$，则$=\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,\textrm{d}t$，根据定积分的几何意义，这是一个单位圆的四分之一，所以结果等于$\dfrac{1}{4}\pi$。
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\subsubsection{定限积分等式}
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\subsection{定限积分等式}
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与不定积分等式一样，存在一些问题给出带有不定积分的等式，需要求里面的包含的函数。其中不同的是定限积分的值都是常数，所以解题时可以令其为一个参数求。
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@@ -780,15 +784,19 @@ $\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{ax^2}{2}+2bx\right]_0^2=\dfrac{8}{3}-2a+4b=a$，$\l
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则$f(x)=x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
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\subsubsection{中值定理}
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\subsection{中值定理}
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中值定理一般是在微分中使用，积分中也可能考到，但是重点是将定限积分化为两个常数的差的形式，所以基本上使用拉格朗日中值定理。
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或者使用积分中值定理：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。
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或者使用积分中值定理：
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若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\xi)(b-a)$。
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若$f(x)$、$g(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$不变号，则存在$\xi\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)g(x)\,\\\textrm{d}x=f(\xi)\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。
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\textbf{例题：}设函数$f(x)$在$[0,3]$上连续，在$(0,3)$内有二阶导数，且$2f(0)=\int_0^2f(x)\,\textrm{d}x=f(2)+f(3)$。
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证明：（1）存在$\eta\in(0,2)$，使得$f(\eta)=f(0)$；（2）存在$\varepsilon\in(0,3)$，使得$f''(\varepsilon)=0$。
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证明：（1）存在$\eta\in(0,2)$，使得$f(\eta)=f(0)$；（2）存在$\xi\in(0,3)$，使得$f''(\xi)=0$。
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证明：
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@@ -800,9 +808,9 @@ $\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{ax^2}{2}+2bx\right]_0^2=\dfrac{8}{3}-2a+4b=a$，$\l
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（2）还剩下等式右边的条件没有使用，且数字为2和3。如何使用？
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由函数导数$f''(\varepsilon)$为0很显然知道要使用罗尔定理，但是这是二阶导数，就要求得到$f'(0)=f'(3)$两端相等的条件。
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由函数导数$f''(\xi)$为0很显然知道要使用罗尔定理，但是这是二阶导数，就要求得到$f'(0)=f'(3)$两端相等的条件。
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请注意这里是存在$\varepsilon\in(0,3)$使得条件成立，则相等的两端不一定就等于0和3，在区间范围$(0,3)$内都成立。
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请注意这里是存在$\xi\in(0,3)$使得条件成立，则相等的两端不一定就等于0和3，在区间范围$(0,3)$内都成立。
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往往第二问的条件基于第一问的结论，看到第一问，出现了两端相等且区域$\eta$为$(0,3)$子区间，两端相等所以得到这里有一个值的$f'(?)=0$。
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@@ -818,11 +826,11 @@ $\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{ax^2}{2}+2bx\right]_0^2=\dfrac{8}{3}-2a+4b=a$，$\l
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由（1）$f(0)=f(\eta)=f(\tau)$，其中$0<\eta<2\leqslant\tau\leqslant3$。
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根据罗尔定理，必然存在$\varepsilon_1\in(0,\eta)$，$\varepsilon_2\in(\eta,\tau)$，使得$f'(\varepsilon_1)=f'(\varepsilon_2)=0$，再根据罗尔定理存在$\varepsilon\in(\epsilon_1,\epsilon_2)\subset(0,3)$使得$f''(\varepsilon)=0$。
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根据罗尔定理，必然存在$\xi_1\in(0,\eta)$，$\xi_2\in(\eta,\tau)$，使得$f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0$，再根据罗尔定理存在$\xi\in(\epsilon_1,\epsilon_2)\subset(0,3)$使得$f''(\xi)=0$。
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\subsection{变限积分}
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\section{变限积分}
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\subsubsection{极限}
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\subsection{极限}
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变限积分也常与极限共同出现。
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@@ -840,24 +848,6 @@ $\therefore F'(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t+xf(x)-xf(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}
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$\therefore F''(x)=f(x)$。
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\subsubsection{连续}
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\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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x^2, & x\in[0,1) \\
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x, & x\in[1,2]
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\end{array}\right.$，求$\varPhi(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$在$[0,2]$上的表达式，并讨论$\varPhi(x)$在$(0,2)$内的连续性。
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解：当$x\in[0,1)$时，$\varPhi(x)=\int_0^xt^2\,\textrm{d}t=\dfrac{x^3}{3}$，注意的是$x\in[1,2]$时，$\varPhi(x)=\int_0^1f(t)\,\textrm{d}t+\int_1^xf(t)\,\textrm{d}t=\int_0^1t^2\,\textrm{d}t+\int_1^xt\,\textrm{d}t=\left[\dfrac{t^3}{3}\right]_0^1+\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_1^x=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{6}$。
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$\therefore\varPhi(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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\dfrac{x^3}{3}, & x\in[0,1) \medskip \\
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\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{6}, & x\in[1,2]
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\end{array}\right.$。
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由于$x\to1^-$时，$\lim\limits_{x\to1^-}\varPhi(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x^3}{3}=\dfrac{1}{3}$。$x=1$时，$\varPhi(1)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}$，所以$\varPhi(x)$在$x=1$处连续，而在其他定义域都是函数，所以也连续，从而$\varPhi(x)$在$(0,2)$上连续。
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\subsubsection{极值}
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\textbf{例题：}设$f(x)$是定义于$x\geqslant1$的正值连续函数，则求其相关函数$F(x)=\displaystyle{\int_1^x\left[\left(\dfrac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\dfrac{2}{t}+\ln t\right)\right]f(t)\,\textrm{d}t}$（$x\geqslant1$）的极小值点。\medskip
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解：按照一般函数一样求极值就是求导，注意的是$t$和$x$含义不同，若对$t$求导，则$x$作为积分上限是看作常数的，所以可以提出去：
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@@ -874,11 +864,27 @@ $\because f(x)$为连续正值函数，$\therefore=\dfrac{x-2}{x^2}\int_1^xf(t)\
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所以极小值为$2$。
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\subsection{反常积分}
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\subsection{连续}
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\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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x^2, & x\in[0,1) \\
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x, & x\in[1,2]
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\end{array}\right.$，求$\varPhi(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$在$[0,2]$上的表达式，并讨论$\varPhi(x)$在$(0,2)$内的连续性。
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解：当$x\in[0,1)$时，$\varPhi(x)=\int_0^xt^2\,\textrm{d}t=\dfrac{x^3}{3}$，注意的是$x\in[1,2]$时，$\varPhi(x)=\int_0^1f(t)\,\textrm{d}t+\int_1^xf(t)\,\textrm{d}t=\int_0^1t^2\,\textrm{d}t+\int_1^xt\,\textrm{d}t=\left[\dfrac{t^3}{3}\right]_0^1+\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_1^x=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{6}$。
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$\therefore\varPhi(x)=\left\{\begin{array}{ll}
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\dfrac{x^3}{3}, & x\in[0,1) \medskip \\
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\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{6}, & x\in[1,2]
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\end{array}\right.$。
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由于$x\to1^-$时，$\lim\limits_{x\to1^-}\varPhi(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x^3}{3}=\dfrac{1}{3}$。$x=1$时，$\varPhi(1)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}$，所以$\varPhi(x)$在$x=1$处连续，而在其他定义域都是函数，所以也连续，从而$\varPhi(x)$在$(0,2)$上连续。
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\section{反常积分}
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反常积分就是取极限，基本计算方法一样。
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\subsubsection{基本反常积分}
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\subsection{求值}
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\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int_0^{+\infty}\dfrac{\textrm{d}x}{(1+x)(1+x^2)}}$。\medskip
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@@ -896,7 +902,7 @@ $\therefore=\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{1+\tan u}\textrm{d}u=\in
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$=\displaystyle{\int_0^{+\infty}x\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{-x}}\right)}=\left[\dfrac{x}{1+e^{-x}}\right]_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}\dfrac{\textrm{d}x}{1+e^{-x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{1+e^{-x}}-\int_0^{+\infty}\dfrac{\textrm{d}e^x}{1+e^x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\dfrac{x}{1+e^{-x}}-\ln(1+e^x)\right]+\ln2=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+e^{-x}}[x-\ln(1+e^x)(1+e^{-x})]+\ln2=\lim\limits_{x\to+\infty}[x-\ln(1+e^x)(1+e^{-x})]+\ln2=\lim\limits_{x\to+\infty}[\ln e^x-\ln(1+e^x)(1+e^{-x})]+\ln2=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\ln e^x-(1+e^x)\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}\right]+\ln2=\lim\limits_{x\to+\infty}\\\left[\ln\dfrac{e^x}{1+e^x}-\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}\right]+\ln2=\ln1-0+\ln2=\ln2$。
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\subsubsection{求参数}
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\subsection{求参数}
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题目会给出一个含参的式子，并给出对应的极限值，要求对应的参数值。首先必须知道对应的式子什么时候才会收敛。
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@@ -914,7 +920,7 @@ $=\displaystyle{\int_0^{+\infty}x\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{-x}}\right)}=\le
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$=\displaystyle{\int_1^{+\infty}\dfrac{b-a}{2x+a}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{2x+a}\textrm{d}x=\int_1^{+\infty}\dfrac{b-a-2}{2x+a}+\dfrac{1}{x}\textrm{d}x}$。此时前后两个式子都是发散的，所以不能求出收敛的参数。
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\subsubsection{递推公式}
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\subsection{递推公式}
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\textbf{例题：}利用递推公式计算反常积分$I_n=\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,\textrm{d}x$（$n\in N$）。
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@@ -1108,11 +1114,13 @@ $\rho gA(y)\,\textrm{d}y=\rho g\pi(16-y^2)\,\textrm{d}y$
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\subsubsection{水压力}
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\section{积分等式}
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\section{积分关系式}
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\subsection{积分等式}
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包括证明带有积分的等式、方程根、积分中值定理等。
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\subsection{中值定理}
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\subsubsection{中值定理}
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\textbf{例题：}设$f(x)$、$g(x)$在$[a,b]$上连续且$g(x)$不变号，证明至少存在一点$\xi\in[a,b]$使得$\int_a^bf(x)g(x)\,\textrm{d}x=f(\xi)\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$。（推广中值定理）
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@@ -1128,15 +1136,15 @@ $\therefore\int_a^bf(x)g(x)\,\textrm{d}x=f(\xi)\int_a^bg(x)\,\textrm{d}x$，$\xi
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同理$g(x)<0$也如此。
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\subsection{夹逼准则}
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\subsubsection{夹逼准则}
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夹逼准则一般用于求数列极限，若极限号后面有积分号可以考虑使用夹逼准则。
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\section{积分不等式}
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\subsection{积分不等式}
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带积分号的不等问题。
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\subsection{函数单调性}
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\subsubsection{函数单调性}
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将某一限一般是上限变量化，然后移项构造辅助函数，由辅助函数的单调性来证明不等式，多用于所给条件为“$f(x)$在$[a,b]$上连续”的情况，因为函数连续必然可积分与求导。
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@@ -1168,7 +1176,7 @@ $\therefore=\dfrac{f(x)x-f(\xi)x}{x^2}=\dfrac{f(x)-f(\xi)}{x}$，因为$f(x)$在
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所以$F'(x)<0$，所以$F(x)$单调递减，从而$F(\lambda)\geqslant F(1)$，所以得证。
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\subsection{拉格朗日中值定理}
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\subsubsection{拉格朗日中值定理}
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多用于所给条件为“$f(x)$一阶可导”且某一端点值较简单甚至为0的题目。
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@@ -1198,7 +1206,7 @@ $=M\left(\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}(1-x)^2\right)=M\left(\left(x-\dfrac{1}{2}\
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$\therefore\vert\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x\vert\leqslant\dfrac{1}{4}M=\dfrac{1}{4}\max\limits_{x\in[0,1]}\{\vert f'(x)\vert\}$
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\subsection{泰勒公式}
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\subsubsection{泰勒公式}
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多用于所给条件为“$f(x)$二阶可导”且某一端点值较简单甚至为0的题目。
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Binary file not shown.
@@ -318,7 +318,7 @@ $f(x+T)=f(x)$，其中$T$为周期。 \medskip
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极限就是一个无限逼近某个值的过程。如$\dfrac{n}{n+1}$这个分式在$n$无限增大的时候会无限逼近1，这个1叫做极限值，所以写成$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$。
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||||
所以从另一个方面更精确的指出一个数$N>0$，使得数列下标大于$N$的项与极限值之间的距离始终保持在$(0,\varepsilon)$之间，即$\dfrac{1}{n+1}<\varepsilon$，即$n>\dfrac{1}{\varepsilon}-1$，所以任意正数都能得到从$N>\dfrac{1}{\varepsilon}-1$项开始之后都有$\left\vert\dfrac{n}{n+1}-1\right\vert<\varepsilon$。
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||||
所以从另一个方面更精确的指出一个数$N>0$，使得数列下标大于$N$的项与极限值之间的距离始终保持在$(0,\xi)$之间，即$\dfrac{1}{n+1}<\xi$，即$n>\dfrac{1}{\xi}-1$，所以任意正数都能得到从$N>\dfrac{1}{\xi}-1$项开始之后都有$\left\vert\dfrac{n}{n+1}-1\right\vert<\xi$。
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\subsection{定义}
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@@ -326,45 +326,45 @@ $f(x+T)=f(x)$，其中$T$为周期。 \medskip
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\subsubsection{数列极限定义}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\varepsilon>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。
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||||
\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\xi>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\xi$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。
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||||
常用语言（$\varepsilon-N$语言）：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\varepsilon$。
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||||
常用语言（$\xi-N$语言）：$\lim\limits_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\xi$。
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||||
如果不存在该数$a$，则称数列$x_n$发散。
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即无论给出多么小的$\varepsilon$，总可以找到一项从该项之后函数值与极限值之间的差小于$\varepsilon$，即更接近这个极限值而不是其他任何值，所以该数列趋向于极限值。
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||||
即无论给出多么小的$\xi$，总可以找到一项从该项之后函数值与极限值之间的差小于$\xi$，即更接近这个极限值而不是其他任何值，所以该数列趋向于极限值。
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\subsubsection{极限证明}
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||||
令$x_n$为通项，$a$为极限值，$\varepsilon$为任意正数。
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令$x_n$为通项，$a$为极限值，$\xi$为任意正数。
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\begin{enumerate}
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\item 写出$\vert x_n-a|<\varepsilon$。
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\item 反解出项数$n<g(\varepsilon)$。
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\item 取$N=[g(\varepsilon)]+1$，所以令$n>N$就可以证明。
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\item 写出$\vert x_n-a|<\xi$。
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\item 反解出项数$n<g(\xi)$。
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||||
\item 取$N=[g(\xi)]+1$，所以令$n>N$就可以证明。
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\end{enumerate}
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\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=1$
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证明：\ding{172}计算距离：$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\varepsilon$。
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证明：\ding{172}计算距离：$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\xi$。
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||||
\ding{173}解得到：$\dfrac{1}{n}<\varepsilon$，反解为$n>\dfrac{1}{\varepsilon}$。
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\ding{173}解得到：$\dfrac{1}{n}<\xi$，反解为$n>\dfrac{1}{\xi}$。
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||||
\ding{174}取整：$N=\left[\dfrac{1}{\varepsilon}\right]+1$。
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\ding{174}取整：$N=\left[\dfrac{1}{\xi}\right]+1$。
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||||
$\therefore\forall\varepsilon>0$，当$n>N$时，就有$n>\dfrac{1}{\varepsilon}$，使得$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\varepsilon$。
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$\therefore\forall\xi>0$，当$n>N$时，就有$n>\dfrac{1}{\xi}$，使得$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\xi$。
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||||
$\therefore$证明完毕。
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\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$（$q$为常数且$\vert q\vert<1$）。
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证明：\ding{172}$\vert q^n-0\vert<\varepsilon$。
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证明：\ding{172}$\vert q^n-0\vert<\xi$。
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\ding{173}$\vert q^n\vert<\varepsilon$，取对数进行反解$n\ln\vert q\vert<\ln\varepsilon$，又因为$\vert q\vert<1$，所以$\ln\vert q\vert<0$，所以得到$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$。（若$\varepsilon>1$则$n$就是负数，这样条件必然成立）
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\ding{173}$\vert q^n\vert<\xi$，取对数进行反解$n\ln\vert q\vert<\ln\xi$，又因为$\vert q\vert<1$，所以$\ln\vert q\vert<0$，所以得到$n>\dfrac{\ln\xi}{\ln\vert q\vert}$。（若$\xi>1$则$n$就是负数，这样条件必然成立）
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||||
\ding{174}取$N=\left[\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}\right]+1$。
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\ding{174}取$N=\left[\dfrac{\ln\xi}{\ln\vert q\vert}\right]+1$。
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$\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$，有$\vert q^n-0\vert<\varepsilon$。
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$\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\xi}{\ln\vert q\vert}$，有$\vert q^n-0\vert<\xi$。
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故$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$。
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@@ -372,9 +372,9 @@ $\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$，
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\lim\limits_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。
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证明：$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\varepsilon$。
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||||
证明：$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\xi$。
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又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\varepsilon$。
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又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\xi$。
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所以恒成立，证明完毕。
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@@ -405,7 +405,7 @@ $\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$，
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证明：设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$且$A\neq B$。
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不如设$A>B$。任意取$\varepsilon=\dfrac{A-B}{2}>0$。
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不如设$A>B$。任意取$\xi=\dfrac{A-B}{2}>0$。
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$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
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@@ -429,7 +429,7 @@ $\therefore\exists N_2>0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。
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即$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，则存在$M>0$，使得$\vert a_n\vert\leqslant M$。
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证明：由极限定义，取$\varepsilon=1$。
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证明：由极限定义，取$\xi=1$。
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$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
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@@ -457,7 +457,7 @@ $\forall n$，有$\vert a_n\vert\leqslant M$
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推论，戴帽法：若数列$\{a_n\}$从某项开始$a_n\geqslant b$，且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$，则$a\geqslant b$。这里一定要带等号。
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证明：设$A>0$，取$\varepsilon=\dfrac{A}{2}>0$。
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证明：设$A>0$，取$\xi=\dfrac{A}{2}>0$。
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$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
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@@ -497,11 +497,11 @@ $\therefore e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}=e^{\lim\lim
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\subsubsection{极限定义}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\varepsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\xi>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\xi$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。
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写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。
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写成$\xi-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert<\xi$。
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而对于趋向无穷时，写成$\varepsilon-X$语言：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。
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而对于趋向无穷时，写成$\xi-X$语言：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\xi>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\xi$。
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\textcolor{orange}{注意：}这里的趋向分为六种：$x\to x_0$、$x\to x_0^+$、$x\to x_0^-$、$x\to\infty$、$x\to\infty^+$、$x\to\infty^-$。
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@@ -526,7 +526,7 @@ $\therefore e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}=e^{\lim\lim
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过程 & $n\to\infty$ & $x\to\infty$ & $x\to+\infty$ & $x\to-\infty$ \\ \hline
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时刻 & \multicolumn{4}{c|}{$N$} \\ \hline
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从此时刻以后 & $n>N$ & $\vert x\vert>N$ & $x>N$ & $x<-N$ \\ \hline
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$f(x)$ & \multicolumn{4}{c|}{$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$} \\
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$f(x)$ & \multicolumn{4}{c|}{$\vert f(x)-A\vert<\xi$} \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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@@ -537,7 +537,7 @@ $\therefore e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}=e^{\lim\lim
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过程 & $x\to x_0$ & $x\to x_0^+$ & $x\to x_0^-$ \\ \hline
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时刻 & \multicolumn{3}{c|}{$\delta$} \\ \hline
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从此时刻以后 & $0<\vert x-x_0\vert<\delta$ & $0<x-x_0<\delta$ & $-\delta<x-x_0<0$\\ \hline
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$f(x)$ & \multicolumn{3}{c|}{$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$} \\
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$f(x)$ & \multicolumn{3}{c|}{$\vert f(x)-A\vert<\xi$} \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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@@ -620,17 +620,17 @@ $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=-\dfrac{\sin
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简单来说，函数值在$x\to x_0$时函数值与极限值同号。
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证明：首先根据极限存在定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，恒有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。
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证明：首先根据极限存在定义：$\forall\xi>0,\exists\delta>0,0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，恒有$\vert f(x)-A\vert<\xi$。
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$\Rightarrow -\varepsilon<f(x)-A<\varepsilon$。
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$\Rightarrow -\xi<f(x)-A<\xi$。
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$\Rightarrow A-\varepsilon<f(x)<A+\varepsilon$。
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$\Rightarrow A-\xi<f(x)<A+\xi$。
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任意取$\varepsilon=\dfrac{A}{2}>0\Rightarrow f(x)>A-\dfrac{A}{2}=\dfrac{A}{2}>0$。
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任意取$\xi=\dfrac{A}{2}>0\Rightarrow f(x)>A-\dfrac{A}{2}=\dfrac{A}{2}>0$。
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证明完毕。
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关于$\varepsilon$的取值问题，为什么不能取到令结果为负的值，因为请注意这个取值得到的区间并不是$f(x)$的范围，而是对$f(x)$所在区间的陈述，其是无尽逼近$A$的，所以取多大的区间都无所谓。
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关于$\xi$的取值问题，为什么不能取到令结果为负的值，因为请注意这个取值得到的区间并不是$f(x)$的范围，而是对$f(x)$所在区间的陈述，其是无尽逼近$A$的，所以取多大的区间都无所谓。
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推论：若函数值在$x\to x_0$时都非负或非正，极限值为$A$，那么$A$与此时函数值同号。不能去除等号。
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@@ -733,13 +733,13 @@ $\Rightarrow A-\varepsilon<f(x)<A+\varepsilon$。
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证明：由于$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$。
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则$\forall\varepsilon>0$，$\exists N$，当$n>N$时，$\vert y_n<\varepsilon$，$\vert z_n<\varepsilon$。
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则$\forall\xi>0$，$\exists N$，当$n>N$时，$\vert y_n<\xi$，$\vert z_n<\xi$。
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$\therefore a-\varepsilon<y_n<a+\varepsilon$，$a-\varepsilon<z_n<a+\varepsilon$。
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$\therefore a-\xi<y_n<a+\xi$，$a-\xi<z_n<a+\xi$。
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$\therefore a-\varepsilon<y_n\leqslant x_n\leqslant z_n<a+\varepsilon$。
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$\therefore a-\xi<y_n\leqslant x_n\leqslant z_n<a+\xi$。
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$\therefore\vert x_n-a\vert<\varepsilon$。
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$\therefore\vert x_n-a\vert<\xi$。
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\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n}\right)$。
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@@ -849,9 +849,9 @@ $
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由函数的单调有界准则可以看出这个准则只能规范左邻域部分，而很多时候收敛的数列都不一定为单调的可以是波动逼近的。所以单调有界准则是充分条件而非必要条件，而柯西极限存在准则则（柯西审敛原理）是数列收敛性的充要准则。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}数列$\{x_n\}$收敛的充要条件是：对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$m>N$，$n>N$时有$\vert x_n-x_m\vert<\varepsilon$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}数列$\{x_n\}$收敛的充要条件是：对于任意给定的正数$\xi$，都存在正整数$N$，使得当$m>N$，$n>N$时有$\vert x_n-x_m\vert<\xi$。
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其几何意义是数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数$\varepsilon$在数轴上都可以找到一个点后的任意两个项的值小于$\varepsilon$。
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其几何意义是数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数$\xi$在数轴上都可以找到一个点后的任意两个项的值小于$\xi$。
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\subsubsection{函数单调有界准则}
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@@ -1201,17 +1201,17 @@ $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\ln\vert x\vert\cdot\sin x=\lim\li
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\subsection{*一致连续性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意两点$x_1x_2$，当$\vert x_1-x_2\vert<\delta$时，有$\vert f(x_1)-f(x_2)\vert<\varepsilon$，则函数$f(x)$在区间$I$上一致连续。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意给定的正数$\xi$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意两点$x_1x_2$，当$\vert x_1-x_2\vert<\delta$时，有$\vert f(x_1)-f(x_2)\vert<\xi$，则函数$f(x)$在区间$I$上一致连续。
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对于连续性的定义：设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意一点$x$，当$\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-f(x_0)\vert<\varepsilon$，则称函数$f(x)$在区间$I$上连续。
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对于连续性的定义：设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意给定的正数$\xi$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意一点$x$，当$\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-f(x_0)\vert<\xi$，则称函数$f(x)$在区间$I$上连续。
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对比连续性与一致连续性，可以知道定义上就只有一个差别，连续性只有一个动点$x$($x_0$会相对于$x$而变化)，而一致连续性有两个动点$x_1x_2$。但是就是这种小变化会带来很大不同的定义结果。
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可以利用几何图形来分析，对于图像上的任意一点，连续性与一致连续性都是在一个过程中固定一个$\varepsilon$，来求对应的$\delta$。所导致的就是函数差值是固定的。
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可以利用几何图形来分析，对于图像上的任意一点，连续性与一致连续性都是在一个过程中固定一个$\xi$，来求对应的$\delta$。所导致的就是函数差值是固定的。
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根据连续定义，函数上任意取一个$x$，再在$x$的左边或右边取一个$x_0$，使得$\vert f(x)-f(x_0)\vert<\varepsilon$，现在需要求一个$\delta$，使得$\delta$，使得$\vert x-x_0\vert<\delta$，所以我们可以根据这个条件，作一个竖直距离为$\varepsilon$，水平距离为$\delta$的长方形，长方形内部的所有点的$x$坐标代表的$\delta$都满足条件，其中一个正对角点坐标为$(x,f(x))$，另一个则为$(x_0,f(x_0))$。$\varepsilon$是固定的，要根据不同的$x$找到不同的$\delta$，即不同的$x+\delta=x_0$。
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根据连续定义，函数上任意取一个$x$，再在$x$的左边或右边取一个$x_0$，使得$\vert f(x)-f(x_0)\vert<\xi$，现在需要求一个$\delta$，使得$\delta$，使得$\vert x-x_0\vert<\delta$，所以我们可以根据这个条件，作一个竖直距离为$\xi$，水平距离为$\delta$的长方形，长方形内部的所有点的$x$坐标代表的$\delta$都满足条件，其中一个正对角点坐标为$(x,f(x))$，另一个则为$(x_0,f(x_0))$。$\xi$是固定的，要根据不同的$x$找到不同的$\delta$，即不同的$x+\delta=x_0$。
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假定函数为$y=\dfrac{1}{x}$，$\varepsilon=1$，任意取一点$x$，求出对应的$\delta$，将会得到下面第一张图。其中虚线里的所有点都是满足要求的点。而随着$x$上移，长方形水平长度会无限接近于0，而向下，长方形水平长度会无限接近于$+\infty$。
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假定函数为$y=\dfrac{1}{x}$，$\xi=1$，任意取一点$x$，求出对应的$\delta$，将会得到下面第一张图。其中虚线里的所有点都是满足要求的点。而随着$x$上移，长方形水平长度会无限接近于0，而向下，长方形水平长度会无限接近于$+\infty$。
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[-latex](-0.5,0) -- (5,0) node[below]{$x$};
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@@ -1234,10 +1234,10 @@ $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\ln\vert x\vert\cdot\sin x=\lim\li
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\draw[black, thick, smooth, domain=0.25:5] plot (\x,{pow(\x,-1)+1});
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\draw[black, thick, smooth, domain=0.175:1] plot (\x,{pow(\x,-1)-1});
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\filldraw[white, draw=black, line width=1pt] (1,0) circle (2pt) ;
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\filldraw[black] (1.25,0.5) node{$\dfrac{1}{\varepsilon}$};
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\filldraw[black] (1.25,0.5) node{$\dfrac{1}{\xi}$};
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\end{tikzpicture}
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所以长方形的两对角点变动轨迹如图二所示，当$x$无限接近$+\infty$时，$x_0$无限接近$\dfrac{1}{\varepsilon}$，因为$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\varepsilon}=\dfrac{1}{\varepsilon}$。
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所以长方形的两对角点变动轨迹如图二所示，当$x$无限接近$+\infty$时，$x_0$无限接近$\dfrac{1}{\xi}$，因为$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\xi}=\dfrac{1}{\xi}$。
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所以连续性下总能找到一个$\delta$使得虚线长方形存在，从而函数$\dfrac{1}{x}$是具有连续性的。
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Binary file not shown.
@@ -58,11 +58,11 @@
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\subsection{介值定理}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$m\leqslant\mu\leqslant M$，存在$\varepsilon\in[a,b]$，使得$f(\varepsilon)=\mu$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$m\leqslant\mu\leqslant M$，存在$\xi\in[a,b]$，使得$f(\xi)=\mu$。
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\subsection{平均值定理}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$时，在$[x_1,x_n]$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f(\varepsilon)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$时，在$[x_1,x_n]$内至少存在一点$\xi$，使得$f(\xi)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$。
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证明：已知$f(x)$在$[x_1,x_n]$上连续，根据有界与最值定理，$m\leqslant f(x)\leqslant M$。
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@@ -72,11 +72,11 @@
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所以$m\leqslant\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\leqslant m$。
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由介值定理，可知存在$\varepsilon\in[a,b]$使得$f(\varepsilon)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$。
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由介值定理，可知存在$\xi\in[a,b]$使得$f(\xi)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$。
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\subsection{零点定理}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$f(a)\cdot f(b)<0$时，存在$\varepsilon\in(a,b)$，使得$f(\varepsilon)=0$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$f(a)\cdot f(b)<0$时，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=0$。
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\section{微分中值定理}
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@@ -124,10 +124,10 @@ $\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化
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\subsubsection{推广}
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\begin{itemize}
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\item 设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=A$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
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||||
\item 设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=\pm\infty$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
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||||
\item 设$f(x)$在$(a,+\infty)$内可导，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A$，则在$(a,+\infty)$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
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||||
\item 设$f(x)$在$(\infty,+\infty)$内可导，$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A$，则在$(-\infty,+\infty)$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
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||||
\item 设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=A$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
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||||
\item 设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=\pm\infty$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
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||||
\item 设$f(x)$在$(a,+\infty)$内可导，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A$，则在$(a,+\infty)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
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\item 设$f(x)$在$(\infty,+\infty)$内可导，$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A$，则在$(-\infty,+\infty)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
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\end{itemize}
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\subsection{拉格朗日中值定理}
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@@ -170,13 +170,13 @@ $\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化
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\subsection{定理}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\xi)(b-a)$。
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\subsection{证明}
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已知$f(x)$在$[a,b]$上连续，根据有界与最值定理，$m\leqslant f(x)\leqslant M$，$m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M(b-a)$，所以$m\leqslant\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}\leqslant M$。
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由介值定理可知$\varepsilon\in[a,b]$，使得$f(\varepsilon)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。
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||||
由介值定理可知$\xi\in[a,b]$，使得$f(\xi)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。
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\section{洛必达法则}
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Binary file not shown.
@@ -45,10 +45,35 @@
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设$f(x)$定义在区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对于任意$x\in I$都成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个\textbf{原函数}。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}连续函数必有原函数。而反之有原函数不一定是连续函数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}任意的两个原函数只相差一个常数。
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在区间$I$上，函数$f(x)$带有任意常数项的原函数$F(x)+C$称为$f(x)/f(x)\,\textrm{d}x$在该区间上的不定积分，记为$\int f(x)\,\textrm{d}x$，其中$\int$为\textbf{积分号}，$f(x)$为\textbf{被积函数}，$f(x)\,\textrm{d}x$为\textbf{被积表达式}，$x$为\textbf{积分变量}。
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||||
积分就是导数的逆运算。$\int f(x)\,\textrm{d}x=F(x)+C$，$F'(x)=f(x)$。
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\subsection{性质}
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\subsubsection{计算性质}
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积分运算就可以将原来求导的方式进行逆运算。其中隐函数求导法与参数方程求导法都可以看作复合函数求导法则的变式。
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||||
积分运算具有两个性质：
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\begin{enumerate}
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\item $\int[f(x)+g(x)]\textrm{d}x=\int f(x)\textrm{d}x+\int g(x)\textrm{d}x$，就是分项积分法。
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||||
\item $\int kf(x)\textrm{d}x=k\int f(x)\textrm{d}x$（$k\neq 0$）。
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\end{enumerate}
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||||
复合函数的求导法则的逆运算，就是换元积分法。
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函数乘积的求导法则的逆运算，就是分部积分法。
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\subsubsection{存在性性质}
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即一元函数的常义（区间有限，函数有界）可积性。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}连续函数必有原函数。而反之有原函数不一定是连续函数，可能有第二类间断点。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}含有第一类间断点、无穷间断点的函数$f(x)$在包含其间断点的区间内必没有原函数$F(x)$。（可以用导数介值定理反证，一个函数的导数不可能导出不可导的点）
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若原函数含有震荡间断点则可能导出导函数。
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@@ -63,25 +88,6 @@
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这个函数$F(x)$是连续函数，而$f(x)$在靠近0时的极限为$\lim\limits_{x\to 0}(2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x})=-\lim\limits_{x\to 0}\cos\dfrac{1}{x}$是一个振荡间断点。
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||||
在区间$I$上，函数$f(x)$带有任意常数项的原函数$F(x)+C$称为$f(x)/f(x)\,\textrm{d}x$在该区间上的不定积分，记为$\int f(x)\,\textrm{d}x$，其中$\int$为\textbf{积分号}，$f(x)$为\textbf{被积函数}，$f(x)\,\textrm{d}x$为\textbf{被积表达式}，$x$为\textbf{积分变量}。
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积分就是导数的逆运算。$\int f(x)\,\textrm{d}x=F(x)+C$，$F'(x)=f(x)$。
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\subsection{性质与积分运算}
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||||
积分运算就可以将原来求导的方式进行逆运算。其中隐函数求导法与参数方程求导法都可以看作复合函数求导法则的变式。
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||||
积分运算具有两个性质：
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\int[f(x)+g(x)]\textrm{d}x=\int f(x)\textrm{d}x+\int g(x)\textrm{d}x$，就是分项积分法。
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||||
\item $\int kf(x)\textrm{d}x=k\int f(x)\textrm{d}x$（$k\neq 0$）。
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\end{enumerate}
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复合函数的求导法则的逆运算，就是换元积分法。
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函数乘积的求导法则的逆运算，就是分部积分法。
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\subsection{换元积分法}
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\subsubsection{第一类换元法（凑微分法）}
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@@ -311,7 +317,9 @@ $\dfrac{P}{x^n}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B_0x+B_1}{x^2}+\cdots+\dfrac{N_0x^{n-1}+\cdo
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设$\lambda=\max{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n}$，从而$\lambda$为最大的区间长度，若$\lambda\to 0$时积分和极限$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$存在，则这个极限就是函数在区间$[a,b]$的定积分，记为$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$，并称函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积。
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其中$a$为积分下限，$b$为积分上限，区间$[a,b]$为积分区间，函数$f(x)$为被积函数，$x$是积分变量，$f(x)\,\textrm{d}x$为被积表达式，$\int$为积分号。
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其中$a$为积分下限，$b$为积分上限，区间$[a,b]$为积分区间，函数$f(x)$为被积函数，$x$是积分变量，$f(x)\,\textrm{d}x$为被积表达式，$\int$为积分号。\medskip
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通过数列极限可以计算积分：$\displaystyle{\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^nf\left(a+\dfrac{b-a}{n}\cdot i\right)\dfrac{b-a}{n}}$。
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\subsection{性质}
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@@ -350,9 +358,9 @@ $\dfrac{P}{x^n}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B_0x+B_1}{x^2}+\cdots+\dfrac{N_0x^{n-1}+\cdo
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同时除以$b-a$得到：$m\leqslant\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M$。
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由连续函数的介值定理，必然存在一个$\varepsilon$，使得$f(\varepsilon)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。
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由连续函数的介值定理，必然存在一个$\xi$，使得$f(\xi)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。
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从而得到$\exists\,\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。
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从而得到$\exists\,\xi\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\xi)(b-a)$。
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也可以使用下面的变限积分来证明：
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@@ -366,12 +374,16 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)$（$a<\xi<b$）。
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\subsubsection{存在性性质}
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充分条件：
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\begin{enumerate}
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\item 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上可积。
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\item 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调，则$f(x)$在该区间上可积。
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\item 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在该区间上可积。
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\end{enumerate}
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必要条件：可积函数必然有界。
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\subsubsection{定积分与函数性质}
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\begin{enumerate}
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@@ -437,90 +449,6 @@ $=\int_0^\pi(\pi-x)\sin^9(\pi-x)\,\textrm{d}x=\int_0^\pi\pi\sin^9x\,\textrm{d}x-
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$\therefore\int_0^\pi x\sin^9x\,\textrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}\int_0^\pi\sin^9x\,\textrm{d}x=\pi\dfrac{8}{9}\dfrac{6}{7}\dfrac{4}{5}\dfrac{2}{3}=\dfrac{128}{315}\pi$。
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\subsection{变限积分}
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设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\Phi(x)=\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t(x\in[a,b])$，这个函数就是积分上限函数或叫积分变限函数（如果$\int_x^af(t)\,\textrm{d}t$就是变下限积分或积分下限函数）。
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对变限积分$\int_{a}^xf(t)\,\textrm{d}t$求导得到$f(t)$，再求导就得到$f'(t)$。
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定限积分是一个数值，而变限积分是一个函数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$在$[a,b]$上$(\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t)'=f(x)$。
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证明：设$x\in(a,b)$。
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则$\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=\dfrac{\int_a^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t-\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}=\dfrac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}$。
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由积分中值定理存在$\xi$使得原式$=\dfrac{\Delta x\,f(\xi)}{\Delta x}=f(\xi)$。
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从而$\Phi'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=f(x)$。
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同理当$x=a,\Delta x>0$与$x=b,\Delta x<0$时也同样成立。
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固定的上限或下限都不会影响到最后的变限积分结果，因为他们之间只差了一个常数。所以一般会将$a$取为0，这样更方便计算。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\int_a^{\varphi(x)}f(t)\,\textrm{d}t=\int_a^xf(\varphi(x))\,\textrm{d}(\varphi(x))=\int_a^xf(\varphi(x))\varphi'(x)\,\textrm{d}x$，
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所以$(\int_a^{\varphi(x)}f(t)\,\textrm{d}t)'=f(\varphi(x))\varphi'(x)$。
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\textbf{例题：}求$F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\textrm{d}t$的导数。
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解：由定理，可以将式子看作复合函数求导（注意定理中积分上限为$x$，而这里不是$x$，但是对$x$求导，所以必须看作为一个复合函数求导）。
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$F(x)=\int_0^ue^{-t^2}\,\textrm{d}t$，$u=x^2$。
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$\therefore F'_x(x)=F'_u(x)\cdot u'_x=e^{-u^2}\cdot 2x=2xe^{-x^4}$。
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同理，如果是变下限的变限积分，则可以看作负的变上限积分进行运算，本质是一样的。
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也同理，如果上限下限都在变化，则可以利用积分区间的可加性，将这个积分的区间插入一个常数（一般为0），将一个积分式子变为两个积分式子，再分别进行运算。
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所以变限为函数的积分求导\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\phi(x)$与$\psi(x)$都可导，$f(x)$连续，则$\dfrac{\textrm{d}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)\,\textrm{d}t}{\textrm{d}x}=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x)$。
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\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\int_0^{\sin^2x}\ln(1+t)\,\textrm{d}t}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}$。
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解：原式$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+\sin^2x)2\sin x\cos x}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot 2x\cdot 1}{\dfrac{4}{3}x^3}=\dfrac{3}{2}$。\smallskip
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是连续的偶函数，则其积分只有一个$\int^x_0f(t)\,\textrm{d}t$是奇函数。
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证明：令$F(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$，需要证明$F(-x)=-F(x)$。
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$F(-x)=\int_0^{-x}f(t)\,\textrm{d}t$，令$t=-u$，所以得到$\int_0^xf(-u)\,\textrm{d}(-u)$。
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又$f(x)$偶函数，所以$f(-x)=f(x)$，从而$=\int_0^xf(-u)\,\textrm{d}(-u)=-\int_0^xf(u)\,\textrm{d}u$
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$=-\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=-F(x)$。这就是个奇函数。若加上一个常数就不是个奇函数了。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是连续的奇函数，则其所有积分$\int^x_af(t)\,\textrm{d}t$都是偶函数。
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证明：令$F(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$，需要证明$F(-x)=F(x)$。
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$F(-x)=\int_0^{-x}f(t)\,\textrm{d}t$，令$t=-u$，所以得到$\int_0^xf(-u)\,\textrm{d}(-u)$。
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又$f(x)$奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。
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从而$=\int_0^x-f(u)(-\textrm{d}u)=\int_0^xf(u)\,\textrm{d}u=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=F(x)$。
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而$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t=\int_a^0f(t)\,\textrm{d}t+\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$也为偶函数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是周期函数且周期为$T$，虽然其导数也为周期函数且周期，但是其变限积分不一定为周期函数。若$\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x=0$即一个周期上的定积分值为0，则这个函数为周期函数，且周期为$T$。
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证明：若需要证明其为周期函数，所以要证明$F(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=F(x+T)$。
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$F(x+T)=\int_0^{x+T}f(t)\,\textrm{d}t=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t+\int_x^{x+T}f(t)\,\textrm{d}t$
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又根据定积分的周期性质$\int_x^{x+T}f(t)\,\textrm{d}t=\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$：
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$=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t+\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=F(x)$。（下限值为$a$也可以）
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\textbf{例题：}若$f(x)$是一个有周期的奇函数，则其积分$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$是否为周期函数。
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解：考察积分是否为周期函数，已知其原式周期函数，只需要考察$\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$是否为0。
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$\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,\textrm{d}x=0$，所以是周期函数。
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\subsection{牛顿-莱布尼茨公式}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}（微积分基本定理/牛顿-莱布尼茨公式）若函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)$。
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@@ -533,7 +461,23 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
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牛-莱公式连接了微分学和积分学之间的关系。
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\subsection{换元积分法与分部积分法}
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\subsection{不定积分与定积分的区别与联系}
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区别：
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不定积分最后结果是一类函数的集合；定积分的结果是一个数，或是关于积分上下限的二元函数或运算。
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不定积分概念建立于原函数上，定积分的概念建立于求曲边图形面积上。
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一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间$[a,b]$上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
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联系：
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定积分的计算建立于不定积分。且方法都是类似的。
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可以通过牛-莱公式转换定积分与不定积分。
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\subsection{积分法}
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定积分的换元积分法与分部积分法就是在定积分的换元积分法与分部积分法上代入了牛-莱公式。定积分的积分法和不定积分的积分法的使用基本上类似。
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@@ -581,7 +525,97 @@ $\int_0^\pi xf(\sin x)\,\textrm{d}x=-\int_\pi^0(\pi-t)f(\sin(\pi-t))\,\textrm{d}
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其他计算方法与不定积分的方法一样。
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\subsection{反常积分}
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\section{变限积分}
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\subsection{定义}
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设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\Phi(x)=\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t(x\in[a,b])$，这个函数就是积分上限函数或叫积分变限函数（如果$\int_x^af(t)\,\textrm{d}t$就是变下限积分或积分下限函数）。
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对变限积分$\int_{a}^xf(t)\,\textrm{d}t$求导得到$f(x)$，再求导就得到$f'(x)$。
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定限积分是一个数值，而变限积分是一个函数。
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\subsection{性质}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$在$[a,b]$上的一个原函数连续（连续则连续）
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$在$[a,b]$上的一个原函数可导（连续则可导）$(\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t)'=f(x)$。
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证明：设$x\in(a,b)$。
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则$\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=\dfrac{\int_a^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t-\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}=\dfrac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\textrm{d}t}{\Delta x}$。
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由积分中值定理存在$\xi$使得原式$=\dfrac{\Delta x\,f(\xi)}{\Delta x}=f(\xi)$。
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从而$\Phi'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}=f(x)$。
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同理当$x=a,\Delta x>0$与$x=b,\Delta x<0$时也同样成立。
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固定的上限或下限都不会影响到最后的变限积分结果，因为他们之间只差了一个常数。所以一般会将$a$取为0，这样更方便计算。
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变限积分运算\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\int_a^{\varphi(x)}f(t)\,\textrm{d}t=\int_a^xf(\varphi(x))\,\textrm{d}(\varphi(x))=\int_a^xf(\varphi(x))\varphi'(x)\,\textrm{d}x$，
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所以$(\int_a^{\varphi(x)}f(t)\,\textrm{d}t)'=f(\varphi(x))\varphi'(x)$。
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\textbf{例题：}求$F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\textrm{d}t$的导数。
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解：由定理，可以将式子看作复合函数求导（注意定理中积分上限为$x$，而这里不是$x$，但是对$x$求导，所以必须看作为一个复合函数求导）。
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$F(x)=\int_0^ue^{-t^2}\,\textrm{d}t$，$u=x^2$。
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$\therefore F'_x(x)=F'_u(x)\cdot u'_x=e^{-u^2}\cdot 2x=2xe^{-x^4}$。
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同理，如果是变下限的变限积分，则可以看作负的变上限积分进行运算，本质是一样的。
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也同理，如果上限下限都在变化，则可以利用积分区间的可加性，将这个积分的区间插入一个常数（一般为0），将一个积分式子变为两个积分式子，再分别进行运算。
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所以变限为函数的积分求导\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\phi(x)$与$\psi(x)$都可导，$f(x)$连续，则$\dfrac{\textrm{d}\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\textrm{d}t}{\textrm{d}x}=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x)$。
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其中$x$为求导变量，$t$为积分变量。
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\textbf{例题：}求极限$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\int_0^{\sin^2x}\ln(1+t)\,\textrm{d}t}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}$。
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解：原式$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+\sin^2x)2\sin x\cos x}{x(\sqrt{1+x^3}-1)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot 2x\cdot 1}{\dfrac{4}{3}x^3}=\dfrac{3}{2}$。\smallskip
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是连续的偶函数，则其积分只有一个$\int^x_0f(t)\,\textrm{d}t$是奇函数。
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证明：令$F(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$，需要证明$F(-x)=-F(x)$。
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$F(-x)=\int_0^{-x}f(t)\,\textrm{d}t$，令$t=-u$，所以得到$\int_0^xf(-u)\,\textrm{d}(-u)$。
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又$f(x)$偶函数，所以$f(-x)=f(x)$，从而$=\int_0^xf(-u)\,\textrm{d}(-u)=-\int_0^xf(u)\,\textrm{d}u$
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$=-\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=-F(x)$。这就是个奇函数。若加上一个常数就不是个奇函数了。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是连续的奇函数，则其所有积分$\int^x_af(t)\,\textrm{d}t$都是偶函数。
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证明：令$F(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$，需要证明$F(-x)=F(x)$。
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$F(-x)=\int_0^{-x}f(t)\,\textrm{d}t$，令$t=-u$，所以得到$\int_0^xf(-u)\,\textrm{d}(-u)$。
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又$f(x)$奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。
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从而$=\int_0^x-f(u)(-\textrm{d}u)=\int_0^xf(u)\,\textrm{d}u=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=F(x)$。
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而$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t=\int_a^0f(t)\,\textrm{d}t+\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t$也为偶函数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若函数$f(x)$是周期函数且周期为$T$，虽然其导数也为周期函数且周期，但是其变限积分不一定为周期函数。若$\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x=0$即一个周期上的定积分值为0，则这个函数为周期函数，且周期为$T$。
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证明：若需要证明其为周期函数，所以要证明$F(x)=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=F(x+T)$。
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$F(x+T)=\int_0^{x+T}f(t)\,\textrm{d}t=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t+\int_x^{x+T}f(t)\,\textrm{d}t$
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又根据定积分的周期性质$\int_x^{x+T}f(t)\,\textrm{d}t=\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$：
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$=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t+\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x=\int_0^xf(t)\,\textrm{d}t=F(x)$。（下限值为$a$也可以）
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\textbf{例题：}若$f(x)$是一个有周期的奇函数，则其积分$\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t$是否为周期函数。
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解：考察积分是否为周期函数，已知其原式周期函数，只需要考察$\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x$是否为0。
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$\int_0^Tf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^{a+T}f(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,\textrm{d}x=0$，所以是周期函数。
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\section{反常积分}
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无论是定限积分还是变限积分，有一部分的区间是固定不变的。
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@@ -589,7 +623,7 @@ $\int_0^\pi xf(\sin x)\,\textrm{d}x=-\int_\pi^0(\pi-t)f(\sin(\pi-t))\,\textrm{d}
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对于无穷区间的反常积分首先求出原函数，然后代入上下限。
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\subsubsection{无穷区间}
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\subsection{无穷区间}
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设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，任取$t>a$，做定积分$\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$，对这种变上限积分的极限$\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$就是$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty)$上的反常积分，记为$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$。
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@@ -601,7 +635,7 @@ $\int_0^\pi xf(\sin x)\,\textrm{d}x=-\int_\pi^0(\pi-t)f(\sin(\pi-t))\,\textrm{d}
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对于无穷区间的反常积分要求的就是$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$。
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\subsubsection{无界函数}
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\subsection{无界函数}
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若$f(x)$在点$a$的任意一个邻域内都无界，则$a$就是$f(x)$的瑕点（无穷间断点），无界函数的反常积分又称为瑕积分。
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@@ -617,22 +651,6 @@ $\int_0^\pi xf(\sin x)\,\textrm{d}x=-\int_\pi^0(\pi-t)f(\sin(\pi-t))\,\textrm{d}
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% \subsection{* 反常积分的判敛}
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\subsection{不定积分与定积分的区别与联系}
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区别：
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不定积分最后结果是一类函数的集合；定积分的结果是一个数，或是关于积分上下限的二元函数或运算。
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不定积分概念建立于原函数上，定积分的概念建立于求曲边图形面积上。
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一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间$[a,b]$上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
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联系：
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定积分的计算建立于不定积分。且方法都是类似的。
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可以通过牛-莱公式转换定积分与不定积分。
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\section{定积分应用}
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对比不定积分的直接数学计算，定积分的实际应用要广许多，往往可以用来解决几何、物理等问题。
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@@ -677,7 +695,9 @@ $\int_0^\pi xf(\sin x)\,\textrm{d}x=-\int_\pi^0(\pi-t)f(\sin(\pi-t))\,\textrm{d}
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曲线$y=y(x)$在区间$[a,b]$上的曲线弧段绕$x$轴旋转一周所得的旋转曲面的表面积$S=2\pi\int_a^b\vert y(x)\vert\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,\textrm{d}x$。
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曲线$x=x(t)$，$y=y(t)$（$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，$x'(t)\neq0$）在区间$[\alpha,\beta]$上的曲线弧段绕$x$轴旋转一周所得到的旋转曲面的表面积$S=2\pi\int_\alpha^\beta\vert y(t)\vert\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\textrm{d}t$。（所以参数方程这里就没有把$x(t)$代入$\textrm{d}x$求$x'(t)\textrm{d}t$）
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曲线$x=x(t)$，$y=y(t)$（$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，$x'(t)\neq0$）在区间$[\alpha,\beta]$上的曲线弧段绕$x$轴旋转一周所得到的旋转曲面的表面积：
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$S=2\pi\int_\alpha^\beta\vert y(t)\vert\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\textrm{d}t$。（所以参数方程这里就没有把$x(t)$代入$\textrm{d}x$求$x'(t)\textrm{d}t$）
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\subsubsection{体积}
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