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advanced-math/exercise/2-function/function.tex

@@ -180,9 +180,9 @@ $\therefore a=1,b=e$。
 
 \paragraph{介值定理} \leavevmode \medskip
 
-\textbf{例题：}设$f(x)$在$[0,3]$上连续，$(0,3)$上可导，且$f(0)+f(1)+f(2)=3$，$f(3)=1$，证明存在$\varepsilon\in(0,3)$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
+\textbf{例题：}设$f(x)$在$[0,3]$上连续，$(0,3)$上可导，且$f(0)+f(1)+f(2)=3$，$f(3)=1$，证明存在$\xi\in(0,3)$，使得$f'(\xi)=0$。
 
-解：对于一个导数$f'(\varepsilon)=0$，只会想到罗尔定理和拉格朗日中值定理两种方式。由于这里没有差式，所以很可能是罗尔定理。所以必须找到$f(a)=f(b)$。
+解：对于一个导数$f'(\xi)=0$，只会想到罗尔定理和拉格朗日中值定理两种方式。由于这里没有差式，所以很可能是罗尔定理。所以必须找到$f(a)=f(b)$。
 
 由于题目只给出特定条件而没有给出$f(x)$的表达形式，所以无法使用求原函数的方式证明。$f(3)=1$是唯一已知固定常数值的，所以想在$(0,3)$上找到一点$c$，使得$f(c)=f(3)=1$。
 
@@ -252,11 +252,11 @@ $f(a)\geqslant f(a+b)-f(b)$，所以$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$。
 
 这种题目就是证明某个式子成立，式子一边是常数一边是导数式子，要证明，就要将导数式子转换为原函数，方法跟罗尔定理使用的转换原函数的技巧一样。
 
-\textbf{例题：}设$f(x)$在$[0,1]$上连续且可导，证明存在一点$\varepsilon\in(0,1)$，使得$f(1)=3\varepsilon^2f(\varepsilon)+\varepsilon^3f'(\epsilon)$。
+\textbf{例题：}设$f(x)$在$[0,1]$上连续且可导，证明存在一点$\xi\in(0,1)$，使得$f(1)=3\xi^2f(\xi)+\xi^3f'(\epsilon)$。
 
-证明：由$3\varepsilon^2f(\varepsilon)+\varepsilon^3f'(\epsilon)$，可推出原函数为$x^3f(x)$，令$F(x)=x^3f(x)$，则其在$(0,1)$也可导。
+证明：由$3\xi^2f(\xi)+\xi^3f'(\epsilon)$，可推出原函数为$x^3f(x)$，令$F(x)=x^3f(x)$，则其在$(0,1)$也可导。
 
-即使用拉格朗日中值定理，$F(1)-F(0)=F'(\varepsilon)$，$\varepsilon\in(0,1)$。即$f(1)=3\varepsilon^2f(\varepsilon)+\varepsilon^3f'(\epsilon)$。
+即使用拉格朗日中值定理，$F(1)-F(0)=F'(\xi)$，$\xi\in(0,1)$。即$f(1)=3\xi^2f(\xi)+\xi^3f'(\epsilon)$。
 
 \subsubsection{对数函数特性}
 
@@ -278,13 +278,13 @@ $f(a)\geqslant f(a+b)-f(b)$，所以$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$。
 
 证明存在两个不同的点在同一个区间满足一个不等式。如果两个点彼此存在一定关系，如上面式子转换的例子$a+b$，$a$，$b$，那么我们可以使用转换，如果两个完全独立的变量，则这种方式没用，我们可以考虑划分区间，假定这两个点在不同的区间，中间以一个区间变量分隔，由于拉格朗日中值定理中两个变量只会出现一次，而间隔变量会出现多次，所以对其分别拉格朗日中值定理，就可以把两个变量换成以间隔变量表示的形式，将两个无关变量的式子变成一个变量的式子。
 
-\textbf{例题：}设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，证明存在不同的$\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$，使得$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_1)}+\dfrac{1}{f'(\varepsilon_2)}=2$。
+\textbf{例题：}设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，证明存在不同的$\xi_1$、$\xi_2$，使得$\dfrac{1}{f'(\xi_1)}+\dfrac{1}{f'(\xi_2)}=2$。
 
-证明：使用$\varepsilon$将$[0,1]$划分为$[0,\varepsilon]$和$[\varepsilon,1]$两个区间，假定$\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$分别在这两个区间上。
+证明：使用$\xi$将$[0,1]$划分为$[0,\xi]$和$[\xi,1]$两个区间，假定$\xi_1$、$\xi_2$分别在这两个区间上。
 
-分别对其进行拉格朗日：$f(\varepsilon)-f(0)=f'(\varepsilon_1)(\varepsilon-0)$，即$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_1)}=\dfrac{\varepsilon}{f(\varepsilon)}$，$f(1)-f(\varepsilon)=f'(\varepsilon_2)(1-\varepsilon)$，即$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_2)}=\dfrac{1-\varepsilon}{1-f(\varepsilon)}$。
+分别对其进行拉格朗日：$f(\xi)-f(0)=f'(\xi_1)(\xi-0)$，即$\dfrac{1}{f'(\xi_1)}=\dfrac{\xi}{f(\xi)}$，$f(1)-f(\xi)=f'(\xi_2)(1-\xi)$，即$\dfrac{1}{f'(\xi_2)}=\dfrac{1-\xi}{1-f(\xi)}$。
 
-即$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_1)}+\dfrac{1}{f'(\varepsilon_2)}=\dfrac{\varepsilon}{f(\varepsilon)}+\dfrac{1-\varepsilon}{1-f(\varepsilon)}$，任取$f(\varepsilon)=\dfrac{1}{2}$，原式等于2，得证。
+即$\dfrac{1}{f'(\xi_1)}+\dfrac{1}{f'(\xi_2)}=\dfrac{\xi}{f(\xi)}+\dfrac{1-\xi}{1-f(\xi)}$，任取$f(\xi)=\dfrac{1}{2}$，原式等于2，得证。
 
 \subsubsection{查找特定值}