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@@ -174,7 +174,7 @@ $y'=C(1+x^2)$，$\therefore y=C_2\left(x+\dfrac{x^3}{3}+x\right)+C$。
 
 % \subsection{常系数非齐次线性微分方程}
 
-\subsection{基本解法}
+\subsection{二阶微分方程通解}
 
 先将常系数非齐次线性微分方程变为常系数齐次线性微分方程求解，然后加上非齐次方程的一个特解，就是非齐次方程的一个通解。
 
@@ -212,6 +212,64 @@ $y'=C(1+x^2)$，$\therefore y=C_2\left(x+\dfrac{x^3}{3}+x\right)+C$。
 
 最后$y_1^*=e^x(A\cos x+B\sin x)$。通解为$y=C_1e^x+C_2e^{3x}+e^x(A\cos x+B\sin x)+e^{3x}(ax+b)x$。
 
+\subsection{反推微分方程}
+
+\subsubsection{齐次微分方程}
+
+没有给出具体的解出方法，此时往往是给出特解，然后反推微分方程的形式，这时就需要根据特解求出特征方程。
+
+\textbf{例题：}计算具有特解$y_1=e^{-x}$、$y_2=2xe^{-x}$、$y_3=3e^x$的三阶常系数齐次线性微分方程。
+
+解：由于是三阶，且不是一般的微分方程求特解而是逆问题，就使用特征方程解。
+
+因为有三个特解，根据解的形式，$r=-1,-1,1$，所以特征方程的形式为$(r+1)^2(r-1)=0$，即解出$r^3+r^2-r-1=0$，所以微分方程为$y'''+y''-y'-y=0$。
+
+\subsubsection{非齐次微分方程}
+
+\paragraph{已知结构} \leavevmode \medskip
+
+如果给出一个微分方程的具体形式，而携带参数，可以直接求导然后代入微分方程。
+
+\textbf{例题：}$y=\dfrac{1}{2}e^{2x}+(x-\dfrac{1}{3})e^3$为二阶常系数非齐次线性微分方程$y''+ay'+by=ce^x$的一个特解，求对应参数。
+
+解：直接代入法：直接求导$y'=e^{2x}+e^x(x+\dfrac{2}{3})$，$y''=2e^{2x}+e^x(x+\dfrac{5}{3})$。
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+直接代入，解得$a=-3$，$b=2$，$c=-1$。
+
+\textbf{例题：}$y=e^{2x}+(x+1)e^x$为二阶常系数非齐次线性微分方程$y''+ay'+by=ce^x$的一个特解，求对应参数和通解。
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+解：解结构法：由于是二阶非齐次方程，所以必然是两个通解加一个特解。
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+展开解$y=e^{2x}+xe^x+e^x$。
+
+由于已知解，所以$r=1$、$r=2$，且非齐次为$ce^x$，所以$e^2x$为齐次方程的一个通解，非齐次方程的特解必然是在$xe^x$和$e^x$之中。
+
+由于$r=1$，$xe^x$和$e^x$的幂次都是$1$，而其中一个$r=1$，根据解的结构$Ae^{rx}x^k$，为单值根，所以$k=1$，所以特解必然存在$x^k$，所以$xe^x$为特解，$e^x$为通解。
+
+所以特征方程为$(r-1)(r-2)=0$，对应$y''-3y'+2y=0$。然后直接代入求出$c$。
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+\paragraph{未知结构} \leavevmode \medskip
+
+\textbf{例题：}已知二阶非齐次线性方程具有三个特解$y_1=x-(x^2+1)$、$y_2=3e^x-(x^2+1)$、$y_3=2x-e^x-(x^2+1)$，求$y(0)=y'(0)=0$的特解。
+
+解：非齐次，即$y''+py'+qy=f(x)$。由于是二阶所以有两个无关的特解。
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+所以$y_1-y_2$，$y_1-y_3$为其齐次方程的两个通解（线性无关）。
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+通解为齐次方程通解加上非齐次一个特解：$y=C_1(y_1-y_2)+C_(y_1-y_3)+y_1$。
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+然后代入，解出$y=e^x-x^2-x-1$。
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+\subsection{高阶微分方程通解}
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+如果是三阶以及以上阶的微分方程，使用特征方程来解决。
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+由于三阶以以上的微分方程没有给出特解的形式，所以如果是高阶线性方程必然是齐次方程，直接根据特征方程得出特征值。
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+\textbf{例题：}求三阶常系数线性齐次微分方程$y'''-2y''+y'-2y=0$的通解。
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+解：得出特征方程$r^3-2r^2+r-2=0$，即$r^3-2r^2+r-2=0$，$(r-2)(r^2+1)=0$，解得$r=2$、$\pm i$，即得通解为$C_1e^{2x}+C_2\cos x+C_3\sin x$。
+
 \section{微分方程概念}
 
 对于有些方程并不需要求解后才能解决问题。