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advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.tex

@@ -38,6 +38,8 @@
 
 \subsection{正项级数}
 
+如果题目中没有说明，要首先证明多项式为正数，否则不能使用正项级数的方法。
+
 \subsubsection{放缩法}
 
 即根据收敛准则来进行判断。如果要判断原级数收敛，则辅助级数应该是对其放大，判断原级数发散，则辅助级数应该是对其缩小。
@@ -56,6 +58,8 @@ $p$级数：$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^p}\left\{\begin{array}{l}
     \vert q\vert\geqslant 1, \text{发散}
 \end{array}\right.$。
 
+当不知道用哪个时可以使用洛必达先计算一下极限值。
+
 \subsubsection{比值判别法}
 
 适用于含有$a^n$，$n!$，$n^n$的通项。主要是$n!$。

advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.tex

@@ -90,6 +90,10 @@ $\therefore\ln(u+\sqrt{1+u^2})=-\ln x+\ln C$，$u+\sqrt{1+u^2}=\dfrac{C}{x}$。
 
 形如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$。
 
+\subsubsection{换元法}
+
+如果存在$f(y)$，$y$无法提出，则使用换元法。典型的就是$e^y$。
+
 \textbf{例题：}求微分方程$y'+1=e^{-y}\sin x$的通解。
 
 解：已知对$e^{-y}\sin x$无法处理，所以必然需要对其转换，$e^yy'+e^y=\sin x$。
@@ -114,7 +118,7 @@ $e^y=u=e^{-\int\textrm{d}x}(\int e^{\int\textrm{d}x}\sin x\,\textrm{d}x+C)=e^{-x
 
 $-\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}-\dfrac{1}{y}z=\dfrac{\ln y}{y}$，$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}+\dfrac{1}{y}z=-\dfrac{\ln y}{y}$，利用公式：
 
-$z=e^{-\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\left(\displaystyle{\int e^{\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\cdot\left(\dfrac{\ln y}{y}\right)+C}\right)=\dfrac{1}{y}(-\int\ln y\,\textrm{d}y+C)=\dfrac{1}{y}(-y(\ln y-1)+C)=-\ln y+1+\dfrac{C}{y}$。
+$z=e^{-\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\left(\displaystyle{\int e^{\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\cdot\left(-\dfrac{\ln y}{y}\right)+C}\right)=\dfrac{1}{y}(-\int\ln y\,\textrm{d}y+C)=\dfrac{1}{y}(-y(\ln y-1)+C)=-\ln y+1+\dfrac{C}{y}$。
 
 $\therefore x=\dfrac{y}{-y\ln y+y+C}$。
 

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@@ -198,6 +198,8 @@ $=\dfrac{(A_1\lambda+B_1)v+A_1C_2+B_1C_1}{\lambda v+C_2}$。此时未知数只
 
 根据公式$y=e^{-\ln\vert x\vert}(\int e^{\ln\vert x\vert}Q(x)\,\textrm{d}x+C)=\dfrac{1}{\vert x\vert}(\int\vert x\vert Q(x)\,\textrm{d}x+C)=\dfrac{1}{\pm x}$\\$(\int(\pm x)Q(x)\,\textrm{d}x+C)=\dfrac{1}{x}(\int xQ(x)\,\textrm{d}x\pm C)=\dfrac{1}{x}(\int xQ(x)\,\textrm{d}x+D)$。
 
+同理$\ln y=\ln f(x)$，则$y=Cf(x)$。
+
 \subsection{伯努利方程}
 
 形如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$就是伯努利方程。若$y=1$则是可分离变量方程，若$y=0$则是一阶线性方程。
@@ -254,7 +256,7 @@ $\dfrac{\textrm{d}p}{p}=\dfrac{2x}{1+x^2}\textrm{d}x$，$\ln p=\ln(1+x^2)+C'$，
 
 第一部分是一阶微分方程，分为可分离变量微分方程、齐次微分方程、一阶齐次线性微分方程、一阶非齐次线性微分方程。
 
-第二部分是可降阶的高阶微分方程，分为三种。
+第二部分是可降阶的高阶微分方程，是残缺项的高阶微分方程，分为三种。
 
 第三部分就是本节的高阶线性微分方程，$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$就是$n$阶齐次线性微分方程，$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)$就是$n$阶非齐次线性微分方程
 
@@ -322,7 +324,9 @@ $f(x)-f(x)=0$，所以得证。
 
 \subsection{二阶常系数非齐次线性微分方程的特解}
 
-设$P_n(x)$，$P_m(x)$分别为$x$的$n$次$m$次多项式。
+二阶常系数非齐次线性微分方程的通解就是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解
+
+设$P_n(x)$，$P_m(x)$分别为$x$的$n$次、$m$次多项式。
 
 \begin{enumerate}
     \item 当自由项$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$时，特解设为$y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k$，其中$e^{\alpha x}$照抄，$Q_n(x)$为$x$的$n$次多项式，且$k=\left\{\begin{array}{ll}
@@ -336,6 +340,10 @@ $f(x)-f(x)=0$，所以得证。
     \end{array}\right.$。
 \end{enumerate}
 
+最后求导代回原式得到系数值。
+
+对于第二种需要举例说明一下，如果$f(x)=e^{7x}[(x^2+3x)\cos4x+(x+6)\sin4x]$，其特解设法：首先$e^{7x}$直接写过来；然后判断多项式系数，第一个多项式最高次数为2，第二个多项式最高次数为1，所以$l$为较高那个即2，所以设为$e^{7x}[(A_1x^2+B_1x+C)\cos4x+(A_2x^2+B_2x+C)\sin4x]$（当然一般不会这么高，基本上都是一次的$A\cos\beta x+B\sin\beta x$的形式）；最后判断其特征根，$7\pm4i$是否为特征根，如果$\Delta>0$特征根$\lambda$是实数就肯定不是，不需要算直接$k=0$。
+
 \section{欧拉方程}
 
 \subsection{概念}