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advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.tex

@@ -38,6 +38,8 @@
 
 \subsection{正项级数}
 
+如果题目中没有说明，要首先证明多项式为正数，否则不能使用正项级数的方法。
+
 \subsubsection{放缩法}
 
 即根据收敛准则来进行判断。如果要判断原级数收敛，则辅助级数应该是对其放大，判断原级数发散，则辅助级数应该是对其缩小。
@@ -56,6 +58,8 @@ $p$级数：$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^p}\left\{\begin{array}{l}
     \vert q\vert\geqslant 1, \text{发散}
 \end{array}\right.$。
 
+当不知道用哪个时可以使用洛必达先计算一下极限值。
+
 \subsubsection{比值判别法}
 
 适用于含有$a^n$，$n!$，$n^n$的通项。主要是$n!$。

advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.tex

@@ -90,6 +90,10 @@ $\therefore\ln(u+\sqrt{1+u^2})=-\ln x+\ln C$，$u+\sqrt{1+u^2}=\dfrac{C}{x}$。
 
 形如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$。
 
+\subsubsection{换元法}
+
+如果存在$f(y)$，$y$无法提出，则使用换元法。典型的就是$e^y$。
+
 \textbf{例题：}求微分方程$y'+1=e^{-y}\sin x$的通解。
 
 解：已知对$e^{-y}\sin x$无法处理，所以必然需要对其转换，$e^yy'+e^y=\sin x$。
@@ -114,7 +118,7 @@ $e^y=u=e^{-\int\textrm{d}x}(\int e^{\int\textrm{d}x}\sin x\,\textrm{d}x+C)=e^{-x
 
 $-\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}-\dfrac{1}{y}z=\dfrac{\ln y}{y}$，$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}+\dfrac{1}{y}z=-\dfrac{\ln y}{y}$，利用公式：
 
-$z=e^{-\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\left(\displaystyle{\int e^{\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\cdot\left(\dfrac{\ln y}{y}\right)+C}\right)=\dfrac{1}{y}(-\int\ln y\,\textrm{d}y+C)=\dfrac{1}{y}(-y(\ln y-1)+C)=-\ln y+1+\dfrac{C}{y}$。
+$z=e^{-\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\left(\displaystyle{\int e^{\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\cdot\left(-\dfrac{\ln y}{y}\right)+C}\right)=\dfrac{1}{y}(-\int\ln y\,\textrm{d}y+C)=\dfrac{1}{y}(-y(\ln y-1)+C)=-\ln y+1+\dfrac{C}{y}$。
 
 $\therefore x=\dfrac{y}{-y\ln y+y+C}$。