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linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex

@@ -125,10 +125,6 @@ $\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_2=0$，消去$\lambda_2$：$\
 
 当谈到多个向量是否线性相关时可以将向量组组成矩阵，判断其秩。满秩就是线性无关，降秩就是线性相关。
 
-\section{线性表出}
-
-\subsection{矩阵秩}
-
 当谈到一个向量是否能被其他向量线性表出时，要将这些向量全部组成一起，判断能否被其他向量表出的向量放在最右边，然后判断增广矩阵的秩。
 
 \begin{enumerate}
@@ -153,6 +149,8 @@ $=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|\beta]=\left[\begin{array}{cccc}
 
 $\therefore a=3$。
 
+\section{线性表出}
+
 \subsection{极大线性无关组}
 
 极大线性无关组一般与向量组秩在一起使用。一般解出极大线性无关组与秩，还要用极大线性无关组表示出其余的向量，基本步骤：
@@ -179,6 +177,28 @@ $\therefore a=3$。
 
 对其行变换，解得$a=5$。
 
+\subsection{向量线性表示}
+
+即要求$\beta$关于$\alpha_i$的线性表出表达式。
+
+基本方法是设$\beta=a\alpha_1+b\alpha_2+\cdots$，然后每行代入求出，不过也可以使用矩阵变换法。
+
+可以同时求多个$\beta$的表示方式，设$\alpha_i$为长度为$h$的列向量，一共有$n$个，组成$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$，设$\beta_i$为长度为$h$的列向量，一共有$n$个，组成$B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)$。
+
+$[A|B]$通过线性变换得到$[E|C]$，则$B=CA$。
+
+\textbf{例题：}用$\alpha_1=(1,1,1)^T$、$\alpha_2=(1,2,4)^T$、$\alpha_3=(1,3,9)^T$表示$\beta=(1,1,3)^T$。
+
+解：组成矩阵$\left[\begin{array}{cccc}
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    1 & 2 & 3 & 1 \\
+    1 & 4 & 9 & 3
+\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
+    1 & 0 & 0 & 2 \\
+    0 & 1 & 0 & -2 \\
+    0 & 0 & 1 & 1
+\end{array}\right]$，所以$\beta=2\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3$。
+
 \section{等价向量组}
 
 $r(A)=r(B)=r(A|B)$，所以需要计算三个向量组构成的矩阵的秩就可以了。

linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex

@@ -560,7 +560,7 @@ $l_1\eta_1+l_2\eta_2=l_1(0,1,1,0)^T+l_2(-1,-1,0,1)^T=(-l_2,l_1-l_2,l_1,l_2)^T$
 
 若$A_{m\times n}x=0$和$B_{s\times n}x=0$有完全相同的解，就是同解方程组。
 
-$\therefore r(A)=r(B)=r([A,B]^T)$。
+$\therefore r(A)=r(B)=r([A,B]^T)$。即行向量组等价。
 
 $A$与$A^TA$同解。
 

model/remember.tex

@@ -51,4 +51,7 @@ $AB=O$，$R(A)+R(B)<=n$
 $R(A^*)=n/1/0$
 
 $A^k=O$，即$E-A^k=E$，$E^k-A^k=E$，$(E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1})=E$，$(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$。
+\subsection{向量}
+
+线性无关：$k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=0$，$k_1=\cdots=k_n=0$。
 \end{document}