第四讲更新

advanced-math/4-single-variable-function-differential-calculus/single-variable-function-differential-calculus.tex

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+\documentclass[UTF8]{ctexart}
+% UTF8编码，ctexart现实中文
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+% 使用颜色
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+\usepackage{amssymb}
+% 因为所以与其他数学拓展
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+% 数学公式
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+% 1.5倍行距
+\author{Didnelpsun}
+\title{一元函数微分学}
+\begin{document}
+\maketitle
+\thispagestyle{empty}
+\tableofcontents
+\thispagestyle{empty}
+\newpage
+\pagestyle{plain}
+\setcounter{page}{1}
+\section{概念}
+\subsection{引例}
+
+设$f(x)$下$x$在$x_0$的邻域内，$\alpha$为切线所成夹角。
+
+$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$
+
+\subsection{导数}
+
+设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x)$，即$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。
+
+下面三句话等价：
+
+\begin{enumerate}
+    \item $y=f(x)$在$x_0$处可导。
+    \item $y=f(x)$在$x_0$处导数存在。
+    \item $f'(x)=A$。（$A$为有限数）
+\end{enumerate}
+
+单侧导数分为左导数和右导数。
+
+$f'_-(x)=\lim_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
+
+$f'_+(x)=\lim_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
+
+所以$f(x)$在$x_0$处可导的充要条件是其左导数和右导数存在且相等。
+
+若$f(x)$在$x_0$的左右，如$y=\vert x\vert$在$0$的左右出现了单侧的不同的切线，那这个$x_0$就是一个\textbf{角点}，该角点处不可导。
+
+若$f(x)$在$x_0$处导数为无穷，如$y=x^{\frac{1}{3}}$在$0$处利用导数的极限定义计算得到为正无穷，那么该点的导数为无穷导数，在考研中被认为是不存在的。
+
+\textbf{例题1：}证明若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。
+
+该证明是准备部分的定理。
+
+首先已知$f(-x)=f(x)$，证明$f'(-x)=-f'(x)$。
+
+$\therefore$
+
+$
+\begin{aligned}
+    f'(-x) &=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x} \\
+    & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{\Delta x} \\
+    & =-\lim_{-\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{-\Delta x} \\
+    & =-f'(x)
+\end{aligned}
+$
+
+同理得证$f(-x)=-f(x)\Rightarrow f'(-x)=f'(x)$。
+
+\textbf{例题2：}证明$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。
+
+已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。
+
+$\therefore f'(x+T)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。
+
+\textbf{例题3：}设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\dfrac{1}{2})>0$，$f'(\dfrac{1}{2})>0$，比较$f(-\dfrac{1}{2})$、$f'(\dfrac{3}{2})$、$f''(0)$的大小。
+
+$\because f(x)$为二阶奇函数，$\therefore f(x)\text{奇函数}\Rightarrow f'(x)\text{偶函数}\Rightarrow f''(x)\text{奇函数}\Rightarrow f''(0)=0$。
+
+$\therefore f(-\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{1}{2})<0$。
+
+$\because f(x)T=2\Rightarrow f'(x)T=2$，$\therefore f'(\dfrac{3}{2})=f'(\dfrac{3}{2}-2)=f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{1}{2})>0$。
+
+$\therefore f'(\dfrac{3}{2})>f''(0)>f(-\dfrac{1}{2})$。
+
+\textbf{例题4：}证明$(uv)'=u'v+uv'$。
+
+令$f(x)=u(x)v(x)$。
+
+$
+\begin{aligned}
+    & (u\cdot v)' \\
+    & =f'(x) \\
+    & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\
+    & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\
+    & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\
+    & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x) +\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x) \\
+    & =u'(x)v(x)+v'(x)u(x)
+\end{aligned}
+$
+
+\textbf{例题5：}证明可导必连续。
+
+已知连续定义：$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。
+
+可导定义：$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$
+
+$
+\begin{aligned}
+    & \lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x) \\
+    & =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x \\
+    & =A\cdot 0 \\
+    & =0
+\end{aligned}
+$
+
+\textbf{例题6：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。
+
+证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。
+
+又$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。
+
+如$\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。
+
+高阶导数\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$f^n(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f^{n-1}(x_0+\Delta x)-f^{n-1}(x_0)}{\Delta x}$，其中$n\geqslant 2$且$n\in N^+$，$f^{n-1}(x)$在$x_0$的某领域内有定义，$x_0+\Delta x$也在该邻域内。
+
+\subsection{微分}
+
+有一个边长为$x$的正方形，变化了$\Delta x$，其面积$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$。
+
+当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot\Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。
+
+增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\rm{d}y$，叫做$y$的微分。
+
+$\therefore \rm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\rm{d}x$
+
+由此，可导必可微，可微必可导。
+
+\section{导数与微分计算}
+\subsection{四则运算}
+\subsection{分段函数的导数}
+\subsection{复合函数的导数与微分形式不变性}
+\subsection{反函数导数}
+\subsection{参数方程函数导数}
+\subsection{隐函数求导法}
+\subsection{对数求导法}
+\subsection{幂指函数求导法}
+\subsection{高阶导数}
+\subsubsection{归纳法}
+\subsubsection{莱布尼茨公式}
+\subsubsection{泰勒公式}
+\subsection{变限积分求导公式}
+\subsection{基本求导公式}
+\end{document}

model/single-variable-function-differential-calculus.tex

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-\documentclass[UTF8]{ctexart}
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-\title{一元函数微分学}
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-\section{概念}
-\subsection{引例}
-\subsection{导数}
-\subsection{微分}
-\section{导数与微分计算}
-\subsection{四则运算}
-\subsection{分段函数的导数}
-\subsection{复合函数的导数与微分形式不变性}
-\subsection{反函数导数}
-\subsection{参数方程函数导数}
-\subsection{隐函数求导法}
-\subsection{对数求导法}
-\subsection{幂指函数求导法}
-\subsection{高阶导数}
-\subsubsection{归纳法}
-\subsubsection{莱布尼茨公式}
-\subsubsection{泰勒公式}
-\subsection{变限积分求导公式}
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