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linear-algebra/exercise/1-determinant/determinant.tex

@@ -697,6 +697,8 @@ $=\left|\begin{array}{cccccccc}
 
 $D_{2n}=D_2D_{2(n-1)}=(ad-bc)D_{2(n-1)}$，所以不断递推可以得到结果为$(ad-bc)^n$。
 
+\subsection{矩阵乘积}
+
 \section{代数余子式}
 
 已知某一行或列展开就是每一行或列的元素乘对应的代数余子式，就可以得到整个矩阵的值。若是求某一行或某一列的代数余子式的值，将其系数代入矩阵求就可以了。

linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex

@@ -256,9 +256,9 @@ $\therefore (A+B)^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$。
 
 \subsection{初等变换}
 
-$\left[A\vdots B\right]\overset{r}{\sim}\left[E\vdots A^{-1}\right]$，$\left[\begin{array}{c}
+$\left[A\vdots E\right]\overset{r}{\sim}\left[E\vdots A^{-1}\right]$，$\left[\begin{array}{c}
     A \\
-    B
+    E
 \end{array}\right]\overset{c}{\sim}\left[\begin{array}{c}
     E \\
     A^{-1}
@@ -393,17 +393,35 @@ $A=\left(\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 0 & 2
 \end{array}\right]$。
 
+\section{伴随矩阵}
+
+伴随矩阵一般只会计算三阶以及以下。
+
+伴随矩阵和逆矩阵往往共同参与运算，并有许多公式。
+
+\begin{enumerate}
+    \item $(A^*)^{-1}=\dfrac{A}{\vert A\vert}$。
+    \item $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$。
+    \item $(A^*)^*=\vert A\vert^{n-2}A$。
+\end{enumerate}
+
+证明关系式一，由于$A^*=\vert A\vert A^{-1}$，$(A^*)^{-1}=(\vert A\vert A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}(A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A$。
+
+证明关系式二，对$A^*=\vert A\vert A^{-1}$两边取行列式，得到$\vert A^*\vert=\vert\vert A\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^n\vert A^{-1}\vert=\dfrac{\vert A\vert^n}{\vert A\vert}=\vert A\vert^{n-1}=\dfrac{1}{\vert A^{-1}\vert^{n-1}}$。
+
+证明关系式三，对$(A^*)^*=(A^*)^{-1}\vert A^*\vert=(\vert A\vert A^{-1})^{-1}\vert A\vert^{n-1}=\vert A\vert^{-1}A\vert A\vert^{n-1}=\vert A\vert^{n-2}A$。
+
 \section{方阵行列式}
 
 \subsection{两项积商}
 
-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}
     \item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
     \item $\vert A^{-1}\vert=\dfrac{1}{\vert A\vert}$。
     \item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。
     \item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
     \item $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$。
-\end{itemize}
+\end{enumerate}
 
 因为两项积商比较简单，所以基本上会变换$A$和$B$，让其变为转置或逆矩阵。
 

linear-algebra/knowledge/3-vector/vector.tex

@@ -68,7 +68,9 @@ $k\alpha=[ka_1,ka_2,\cdots,ka_3]$。
 
 两个非零向量，不成比例向量的向量必然线性无关。
 
-\subsection{线性相关性}
+\section{线性相关性}
+
+\subsection{线性相关判定}
 
 \begin{enumerate}
     \item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$（$n\geqslant2$）线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其他$n-1$个向量线性表出。若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关的充要条件是向量组的任何一个向量都不能被其他$n-1$个向量线性表出。
@@ -80,9 +82,9 @@ $k\alpha=[ka_1,ka_2,\cdots,ka_3]$。
     \item 设$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关，则把这些向量中每个各任意添加$s$个分量所得到的新向量组（$n+s$维）$\alpha_1^*,\alpha_2^*,\cdots,\alpha_m^*$也是线性无关的；如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关，则每个各去掉相同的若干分量得到的新向量组也线性相关。（原来无关延长无关，原来相关缩短相关）
 \end{enumerate}
 
-\section{极大线性无关组}
+\subsection{极大线性无关组}
 
-\subsection{概念}
+\subsubsection{概念}
 
 极大线性无关组\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}在向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$中，若存在部分$a_i,a_j,\cdots,a_k$满足：\ding{172}$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性无关；\ding{173}向量组中任一向量$a_s$（$i=1,2,\cdots,n$）均可由$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性表出，则称向量组$a_i,a_j,\cdots,a_k$为原向量组的极大线性无关组。
 
@@ -120,12 +122,18 @@ $k\alpha=[ka_1,ka_2,\cdots,ka_3]$。
 
 若$r(A)=r(B)=r(A|B)$，则向量组等价。
 
+$r(A)=r(B)$，$A$可以由$B$表出（只需要一个方向的表出），则向量组等价。
+
+$PAQ=B$（$PQ$为可逆矩阵），通过初等行列变换$A$能转换为$B$。
+
 \subsection{与等价矩阵区别}
 
 对于矩阵而言，若$A\cong B$，则$AB$同型且$r(A)=r(B)$。
 
 对于向量组而言，若$A\cong B$，则$AB$同维（行数相同）且$r(A)=r(B)=r(A|B)$。
 
+记住等价向量组跟等价矩阵不同，等价矩阵必然完全一致，而等价向量组只要其极大线性无关组一致，可以多一些其他线性相关向量。
+
 \section{向量空间}
 
 \subsection{基本概念}