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linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex

@@ -44,8 +44,6 @@
 
 使用行列式不等于$0$的方法最方便，但是有时候行列不同就不能这么做了。
 
-基本是证明题，若证明$\alpha$、$\beta$线性无关，则令$k_1\alpha+k_2\beta=0$，判断$k_i$的值，如果只有零解则代表$k$矩阵为满秩，从而线性无关。
-
 \subsection{初等运算}
 
 多用于选择题，给出$n$维线性无关向量，判断向量组是否线性无关。如果向量组初等运算为0就代表线性相关。
@@ -54,7 +52,11 @@
 
 解：$\alpha_1+\alpha_2$与$\alpha_2-\alpha_3$，共同出现了$\alpha_2$，首先要消掉$\alpha_2$，所以相减得到$\alpha_1+\alpha_3$，然后发现跟后面的$\alpha_3+\alpha_1$一样，所以直接一减得到0，表示线性相关。
 
-\subsection{代入重组}
+\subsection{定义法}
+
+基本是证明题，若证明$\alpha$、$\beta$线性无关，则令$k_1\alpha+k_2\beta=0$，判断$k_i$的值，如果只有零解则代表$k$矩阵为满秩，从而线性无关。
+
+\subsubsection{代入重组}
 
 若要求线性相关的式子由其他向量构成，则将式子代入表示目标式子。
 
@@ -70,7 +72,7 @@ $\therefore k_1+k_2+3k_3=0$，且$k_1-2k_2+2k_3=0$即可。
 
 而未知数的个数大于方程个数，所以有无穷多解，从而必然有非零解，从而$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$线性相关。
 
-\subsection{同乘}
+\subsubsection{同乘}
 
 若要求线性相关的式子存在一定的乘积关系，则可以用同乘一步步消去系数。
 

linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex

@@ -339,6 +339,14 @@ $\therefore AP=PB$，$P^{-1}AP=B$，$A\sim B$。
 
 \subsubsection{正交相似}
 
+一般会给出特征值（全部）和对应的特征向量（部分）。
+
+$Q^{-1}AQ=P$。其中$Q$为特征向量矩阵，一般都是正交的，而$P$为对应的特征值矩阵。
+
+首先要利用不同特征值的特征向量正交的性质，把所有的特征向量都求出来。
+
+然后矩阵$Q$就是所有特征向量的拼合。如果要求原矩阵$A$，则利用$A\xi=\lambda\xi$，推出$AQ=PQ$，从而$A=PQQ^{-1}$。
+
 \textbf{例题：}已知$A$是三阶实对称矩阵，若正交矩阵$Q$使得$Q^{-1}AQ=\left[\begin{array}{ccc}
     3 & 0 & 0 \\
     0 & 3 & 0 \\

linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.tex

@@ -262,7 +262,9 @@ $\therefore\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}
 
 \subsection{合同判断}
 
-合同只有两种判断方式：
+合同基于二次型，所以只有对称矩阵才能讨论是否合同。
+
+二次型的合同只有两种判断方式：
 
 \begin{enumerate}
     \item 秩相同，正（负）惯性系数相同。
@@ -293,7 +295,7 @@ $A.\left[\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & -1
 \end{array}\right]$ \medskip
 
-解：从四个选项，由于是常量矩阵，所以由对角线元素的正负号可以得出这四个的惯性系数分别为$(3,0)$、$(2,1)$、$(1,2)$、$0,3$（前面为正惯性系数，后面为负惯性系数）。
+解：从四个选项，由于是常量矩阵，所以由对角线元素的正负号可以得出这四个的惯性系数分别为$(3,0)$、$(2,1)$、$(1,2)$、$(0,3)$（前面为正惯性系数，后面为负惯性系数）。
 
 且每个选项的秩都是3。
 

linear-algebra/knowledge/5-similar/similar.tex

@@ -196,6 +196,7 @@ $\therefore\lambda_1=-2$，$\lambda_2=1$，$\lambda=4$。
 
 \begin{itemize}
     \item 若$A\sim B$，$r(A)=r(B)$，$\vert A\vert=\vert B\vert$，$\vert\lambda E-A\vert=\vert\lambda E-B\vert$，$tr(A)=tr(B)$，$AB$具有相同的特征值。但是反之不能推出。
+    \item 若$A\sim B$，$AB\sim BA$，$A^2=B^2$。
     \item 若$A\sim B$，$A^m\sim B^m$，$f(A)\sim f(B)$。
     \item 若$A\sim B$，且$A$可逆，则$A^{-1}\sim B^{-1}$，$f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$。
     \item 若$A\sim B$，$A^T\sim B^T$，$A^*\sim B^*$。