更新

advanced-math/knowledge/5-vector-algebra-and-space-analytic-geometry/vector-algebra-and-space-analytic-geometry.tex

@@ -60,7 +60,7 @@
 
 \begin{itemize}
     \item $\vec{a}\cdot\vec{b}=(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$。
-    \item $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta$，则$\cos\theta=\dfrac{a\cdot b}{\vert a\vert\vert b\vert}=\dfrac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$，其中$\theta$为$\vec{a},\vec{b}$夹角。
+    \item $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$，则$\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert a\vert\vert b\vert}=\dfrac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$，其中$\theta$为$\vec{a},\vec{b}$夹角。
     \item $a\bot b\Leftrightarrow\theta=\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow a\cdot b=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta=0\Leftrightarrow a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0$。
     \item $Prj_ba=\dfrac{a\cdot b}{\vert b\vert}=\dfrac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$称$a$在$b$上的\textbf{投影}。
 \end{itemize}

advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.tex

@@ -64,7 +64,7 @@ $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$称为级数的\textbf{部分和}，$\{S_n\}$是级数
 \begin{enumerate}
     \item 线性性质：若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$均收敛，且其和分别为$S$，$T$，则任给常数$a,b$，有$\sum\limits_{n=1}^\infty(au_n+bv_n)$也收敛，且其和为$aS+bT$，即$\sum\limits_{n=1}^\infty(au_n+bv_n)=a\sum\limits_{n=1}^\infty u_n+b\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$。
     \item 若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，则其任意$m$项后余项$\sum\limits_{n=m+1}^\infty u_n$也收敛；若存在$m$项后余项$\sum\limits_{n=m+1}^\infty u_n$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$也收敛。
-    \item 级数收敛必要条件：若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$首先，则$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$。
+    \item 级数收敛必要条件：若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，则$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$。
 \end{enumerate}
 
 证明性质三：$u_n=S_n-S_{n-1}$，所以$\lim\limits_{n\to\infty}=\lim\limits_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1})=\lim\limits_{n\to\infty}S_n-\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}=S-S=0$。极限为0不一定收敛。
@@ -87,7 +87,7 @@ $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$称为级数的\textbf{部分和}，$\{S_n\}$是级数
 
 基本就是使用放缩法判断是否有界。
 
-\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}等比级数（几何级数）：$\sum\limits_{n=21}^\infty\dfrac{1}aq^{n-1}\left\{\begin{array}{l}
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}等比级数（几何级数）：$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}aq^{n-1}\left\{\begin{array}{l}
     \vert q\vert<1, \text{收敛} \\
     \vert q\vert\geqslant 1, \text{发散}
 \end{array}\right.$。

probability-theory-and-mathematical-statistics/knowledge/4-law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem/law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem.tex

@@ -52,13 +52,21 @@
 
 在满足一定的条件下，大数定律均为$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\overset{P}{\rightarrow}E\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)$。
 
-\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设随机变量序列$\{X_n\}$（$n=1,2,3\cdots$）是\textbf{相互独立}的，若方差$DX_i$（$i\geqslant1$）\textbf{存在且一致有上界}，即存在常数$C$，使得$DX_i\leqslant C$对一切$i\geqslant1$均成立，则$\{X_n\}$服从大数定律：$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\overset{P}{\longrightarrow}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i$。即$\overline{X}\overset{P}{\rightarrow}E\overline{X}$。
-
 所以大数定律一般是考定律成立条件与结论正确性。
 
 \subsection{切比雪夫大数定律}
 
-\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设随机变量序列$\{X_n\}$（$n=1,2,3\cdots$）是\textbf{相互独立}的，若方差$DX_i$（$i\geqslant1$）\textbf{存在且一致有上界}，即存在常数$C$，使得$DX_i\leqslant C$对一切$i\geqslant1$均成立，则$\{X_n\}$服从大数定律：$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\overset{P}{\longrightarrow}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i$。即$\overline{X}\overset{P}{\rightarrow}E\overline{X}$。
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设随机变量序列$\{X_n\}$（$n=1,2,3\cdots$）是\textbf{相互独立}的（不一定同分布），若期望$EX$存在，且方差$DX_i$（$i\geqslant1$）\textbf{存在且一致有上界}，即存在常数$C$，使得$DX_i\leqslant C$对一切$i\geqslant1$均成立，则$\forall\epsilon>0$，$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}=1$，$\{X_n\}$服从大数定律：$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\overset{P}{\longrightarrow}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i$。即$\overline{X}\overset{P}{\rightarrow}E\overline{X}$。
+
+即均值收敛于期望的均值。
+
+证明：$E\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i$，又$X_i$不相关，则$Cov(X_i,X_j)=0$。
+
+则$D\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^nDX_i\leqslant\dfrac{nC}{n^2}=\dfrac{C}{n}$。
+
+又根据切比雪夫不等式$1\geqslant\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}\geqslant1-\dfrac{D\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)}{\epsilon^2}\geqslant1-\dfrac{C}{n\epsilon^2}\xrightarrow{n\to+\infty}1$。
+
+根据夹逼定理$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}$=1。
 
 \textbf{例题：}设$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$为相互独立的随机变量序列，$X_n$服从参数为$n$的指数分布（$n\leqslant1$），则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是()。
 
@@ -78,7 +86,7 @@ $\because X_n\sim E(n)$，$\therefore EX_n=\dfrac{1}{n}$，$DX_n=\dfrac{1}{n^2}$
 
 \subsection{伯努利大数定律}
 
-\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设$\mu_n$是$n$重伯努利试验中事件$A$发生的次数，在每次试验中事件$A$发生的概率为$p$（$0<p<1$），则$\dfrac{\mu_n}{n}\overset{P}{\longrightarrow}p$，即对任意的$\epsilon>0$，有$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{\mu_n}{n}-p\right\vert<\epsilon\right\}=1$。
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设$\mu_n$是$n$重伯努利试验中事件$A$发生的次数，在每次试验中事件$A$发生的概率为$p$（$0<p<1$），则$\dfrac{\mu_n}{n}\overset{P}{\longrightarrow}p$，即对任意的$\epsilon>0$，有$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{\mu_n}{n}-p\right\vert<\epsilon\right\}=\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}=\lim\limits_{n\to\infty}P\\\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}=1$。
 
 可以看作通过$n$重伯努利试验，一个事件的试验概率$\dfrac{\mu_n}{n}$会逼近一个固定的事件概率$p$。
 
@@ -92,8 +100,12 @@ $\because X_n\sim E(n)$，$\therefore EX_n=\dfrac{1}{n}$，$DX_n=\dfrac{1}{n^2}$
 
 \subsection{辛钦大数定律}
 
+辛钦大数定律类似切比雪夫大数定律的特殊化，将序列约束为同分布。（但是对方差没有要求，所以不能按切比雪夫定律的证明来做）
+
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设随机变量序列$\{X_n\}$（$n=1,2,3\cdots$）是\textbf{相互独立}的\textbf{同分布}的，如果$EX_i=\mu$（$i=1,2,\cdots$）\textbf{存在}，则$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\overset{P}{\longrightarrow}\mu$，即对任意的$\epsilon>0$有$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\mu\right\vert<\epsilon\right\}=1$。也可以转换为即$\overline{X}\overset{P}{\rightarrow}E\overline{X}$。\medskip
 
+即能用平均数可以来逼近期望。
+
 \textbf{例题：}假设随机变量序列$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$相互独立，根据辛钦大数定律，当$n\to\infty$时，$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i$依概率收敛于数学期望，只要$\{X_n\}$()。
 
 $A.$有相同的数学期望\qquad$B.$服从同一离散型分布

probability-theory-and-mathematical-statistics/knowledge/5-mathematical-statistics/mathematical-statistics.tex

@@ -217,7 +217,7 @@ $\therefore P\{F>F_\alpha(n_2,n_1)\}=\alpha$，$P\{F\leqslant F_\alpha(n_2,n_1)\
 
 \begin{enumerate}
     \item $\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$，即$\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}\sim N(0,1)$。
-    \item $\dfrac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)$。
+    \item $\dfrac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)$。$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$。
     \item $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2\sim\chi^2(n-1)$（$\mu$未知时，在2中用$\overline{X}$代替$\mu$）。
     \item $\overline{X}$与$S^2$相互独立，$\dfrac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$（$\sigma$未知时在1中用$S$代替$\sigma$）。进一步有$\dfrac{n(\overline{X}-\mu)^2}{S^2}\sim F(1,n-1)$。
 \end{enumerate}
@@ -236,6 +236,14 @@ $\therefore P\{F>F_\alpha(n_2,n_1)\}=\alpha$，$P\{F\leqslant F_\alpha(n_2,n_1)\
 
 \subsubsection{矩估计法}
 
+使用替换思想，用样本距来估计总体距。
+
+\begin{enumerate}
+    \item 写出总体$k$阶矩$\mu_k=E(X^k)$，其中$\mu$含有参数$\theta$。
+    \item 写出样本$k$阶矩$A_k=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX^k$，$A_k$只与样本有关。
+    \item 令总体$k$阶矩=样本$k$阶矩，即$E(X^k)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX^k$，就得到了$\theta$的方程。
+\end{enumerate}
+
 \textbf{例题：}来自总体的$X$的简单随机样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$，总体$X$的概率分布为$X\sim\left(\begin{array}{ccc}
     -1 & 0 & 2 \\
     2\theta & \theta & 1-3\theta
@@ -329,7 +337,7 @@ $ED=\sigma^2=kE(\sum\lim\limits_{i=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_i)^2)=kE(\sum\limits_{i=1}
 
 \subsubsection{有效性}
 
-也称为最小方差性。
+也称为最小方差性。只有同样的无偏性才能比较有效性。
 
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\hat{\theta_1}=\hat{\theta_1}(X_1,X_2,\cdots,X_n)$与$\hat{\theta_2}=\hat{\theta_2}(X_1,X_2,\cdots,X_n)$都是$\theta$的无偏估计量，若$D(\hat{\theta_1})<D(\hat{\theta_2})$，则$\hat{\theta_1}$比$\hat{\theta_2}$\textbf{有效}。
 
@@ -347,12 +355,14 @@ $EX_i^2=EX_{i+1}^2=(EX_{i+1})^2+DX_{i+1}=\mu^2+\sigma^2$，$2EX_iE_{i+1}=2(EX_i)
 
 \subsection{区间估计}
 
-区间估计是根据样本估计总体期望$\mu$所在的区间。
+区间估计是根据样本估计总体期望$\mu$所在的区间。有两个参数，一个是区间长度，一个是落入概率。
 
 \subsubsection{概念}
 
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}已知从总体$X$中取出一部分样本$X_n$，则这些样本的平均值$\overline{X}$不一定等于$X$的期望即应该的平均值$\mu$，但是其之间的差距应该不大，即差距较小的概率较大，从而表示为$P(\vert\overline{X}-\mu\vert<\Delta)=1-\alpha$，$\alpha$为\textbf{显著性水平}，其一般是一个较小的正数。而$1-\alpha$称为\textbf{置信度}或\textbf{置信水平}。
 
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$I=I(T,\theta)$，$T$为已知常量，$\theta$为未知参数，其分布$F$已知且与$\theta$无关，则$I$为\textbf{枢轴变量}。给定$1-\alpha$，确定$F$上的上$\dfrac{\alpha}{2}$分位数$Z-{\frac{\alpha}{2}}$，上$1-\dfrac{\alpha}{2}$分位数$Z_{1-\frac{\alpha}{2}}$，则$P\{Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leqslant I(T,\theta)\leqslant Z_{\frac{\alpha}{2}}=1-\alpha$。
+
 \subsubsection{正态总体均值的置信空间}
 
 假设$X\sim N(\mu,\sigma^2)$（若不服从正态分布就用中心极限定理来解决），则$\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$，$P\left(\left\vert\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right\vert<\dfrac{\Delta}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=1-\alpha$。记$\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=Z$，则$Z\sim N(0,1)$。