更新极限与导数的练习

advanced-math/exercise/1-limit/limit.tex

@@ -84,6 +84,20 @@ $\therefore \lim u^v=e^{\lim v\cdot\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$
 
 \subsection{指数法则}
 
+一般需要与洛必达法则配合使用。
+
+\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0,b>0,c>0)$。\medskip
+
+$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)}{x}}$
+
+$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(a^x+b^x+c^x)-\ln 3}{x}}$
+
+$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x\ln a+b^x\ln b+c^x\ln c}{a^x+b^x+c^x}}$（洛必达法则）
+
+$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{1+1+1}}$
+
+$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(abc)}{3}}=\sqrt[3]{abc}$。
+
 \textbf{例题：}求$\lim\limits_{n\to\infty}n\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}-\sqrt{e}\right]$。
 
 首先对于幂指函数需要取指数，所以$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}}=e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{1}{n})}$。\medskip
@@ -212,6 +226,18 @@ $=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{-100}{\sqrt{1+\dfrac{100}{t^2}}+1}$
 
 $=-50$
 
+\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\sqrt{1+\sin^2x}-x}$。
+
+$=\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x\sqrt{1+\sin^2x}-x}$\medskip
+
+$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sqrt{1+\sin^2x}+x}{x^2(1+\sin^2x)-x^2}$\medskip
+
+$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+\sin^2x}+1}{x\sin^2x}$\medskip
+
+$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{2}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2}{x\sin^2x}$
+
+$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x\sin^2x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\cos x\sin x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{2}x^2}{x^2}=\dfrac{1}{2}$。
+
 \subsection{换元法}
 
 换元法本身没什么技巧性，主要是更方便计算。最重要的是获取到共有的最大因子进行替换。
@@ -346,7 +372,27 @@ $=-6$
 
 只有式子的极限各自存在才能使用四则运算，使用的频率较少。
 
-\subsection{两个重要极限}
+\subsection{重要极限}
+
+重要极限有两个，但是$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$这个很少用，因为往往用等价无穷小替代了，而$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$则用的较多，当出现分数幂的幂指函数时，不要先去取对数，而是使用重要极限看看能不能转换。\medskip
+
+\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$。
+
+$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{3}{6+3}\right)^{\frac{6+x}{-3}\cdot\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}$
+
+$=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}$
+
+$=\lim\limits_{x\to\infty}e^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{x-1}{x+6}}$
+
+$=e^{-\frac{3}{2}}$。
+
+\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}$。\medskip
+
+$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x+3}{2x+1}\right)^x\cdot\dfrac{2x+3}{2x+1}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x+3}{2x+1}\right)^x$\medskip
+
+$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{1+\dfrac{3}{2x}}{1+\dfrac{1}{2x}}\right)^x=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{3}{2x}\right)^x}{\left(1+\dfrac{1}{2x}\right)^x}$
+
+$=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\left[\left(1+\dfrac{3}{2x}\right)^{\frac{2x}{3}}\right]^{\frac{3}{2}}}{\left[\left(1+\dfrac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{e^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}=e$。
 
 \subsection{导数定义}
 
@@ -398,6 +444,14 @@ $\therefore\lim\limits_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}
 
 对于幂次高的式子必然使用洛必达法则。
 
+洛必达法则必须使用在分式都趋向0或$\infty$时，如果不是这样的趋向则不能使用。如：
+
+\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-x+1}{(x-1)^2}$。
+
+如果使用洛必达法则，则会得到结果为1，这是错误的，因为分子在$x\to 1$时结果为常数1。正确的计算方式：
+
+$=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1}{(x-1)^2}=\infty$。
+
 \subsection{泰勒公式}
 
 泰勒公式一般会使用趋向0的麦克劳林公式，且一般只作为极限计算的一个小部分，用来替代一个部分。

advanced-math/exercise/2-continuity-and-discontinuity/continuity-and-discontinuity.tex

@@ -59,11 +59,11 @@
 从而得到了$f(x)$关于$x$的表达式：\medskip
 
 $f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-    x, & & x<0 \\
-    0, & & x=0 \\
-    x^2, & & x>0
-\end{array}
-\right.$\medskip
+        x,   &  & x<0 \\
+        0,   &  & x=0 \\
+        x^2, &  & x>0
+    \end{array}
+    \right.$\medskip
 
 又$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x^2=f(0)=0$。
 
@@ -74,14 +74,14 @@ $f(x)$在$R$上连续。
 一般会给出带有参数的分段函数，要计算参数就必须了解连续区间与函数之间的关系。
 
 \textbf{例题：}$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-    6, & & x\leqslant 0 \\
-    \dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}, & & x>0
-\end{array}
-\right.$，$g(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-    \dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}, & & x<1 \\
-    e^{bx}+1, & & x\geqslant 1
-\end{array}
-\right.$，\smallskip \\ 若$f(x)+g(x)$在$R$上连续，则求$a,b$。
+        6,                               &  & x\leqslant 0 \\
+        \dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}, &  & x>0
+    \end{array}
+    \right.$，$g(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
+        \dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}, &  & x<1          \\
+        e^{bx}+1,                &  & x\geqslant 1
+    \end{array}
+    \right.$，\smallskip \\ 若$f(x)+g(x)$在$R$上连续，则求$a,b$。
 
 解：已知$f(x)+g(x)$在$R$上连续，但是不能判断$f(x)$与$g(x)$的连续性。
 
@@ -115,6 +115,27 @@ $\therefore a=-1,b=\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$R$上连续。而$a\neq -1$时$f(x)+g
 
 \subsection{求间断点}
 
+求间断点需要首先分析函数的表达形式。
+
+\textbf{例题：}设$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+x}{1+x^{2n}}$，求其间断点并分析其类型。
+
+根据函数形式，我们需要首先回顾一下幂函数的性质，幂函数的变化趋势取决于底数。
+
+当$x=1$时，$x^n\equiv 1$，当$x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$时，当$n\to\infty$时，$x^n\to\infty$，而$x\in(-1,1)$时，当$n\to\infty$时，$x^n\to 0$。
+
+$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+x}{1+x^{2n}}=\left\{\begin{array}{lcl}
+        0,   &  & x\in(-\infty,-1]\cup(1,+\infty) \\
+        1,   &  & x=1                                        \\
+        x+1, &  & x\in(-1,1)
+    \end{array}
+    \right.$
+
+所以分段点为$x=\pm 1$。
+
+当$x=-1$时，$f(-1^+)=f(-1^-)=f(-1)=0$，所以在此处连续。
+
+当$x=1$时，$f(1^+)=0\neq f(1^-)=2$，所以在此处简短，为跳跃间断点。
+
 \subsection{已知间断点求参数}
 
 这种题目已知间断点，而未知式子中的参数，只用将间断点代入式子并利用极限计算间断点的类型就可以了。
@@ -131,15 +152,14 @@ $\therefore a=-1,b=\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$R$上连续。而$a\neq -1$时$f(x)+g
 
 $\therefore x=1$为可去间断点。\medskip
 
-当$x\to e$时，$\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{x-e}$$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-e}$\medskip$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{x-1}{x-e}$$=\dfrac{e(e-1)}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{1}{x-e}=\infty$。\medskip
+    当$x\to e$时，$\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{x-e}$$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-e}$\medskip$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{x-1}{x-e}$$=\dfrac{e(e-1)}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{1}{x-e}=\infty$。\medskip
 
 $\therefore x=e$为无穷间断点。\medskip
 
-当$a=e,b=1$时，$f(x)=\dfrac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}$。\medskip
+    当$a=e,b=1$时，$f(x)=\dfrac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}$。\medskip
 
-而作为分子的$e^x-1$必然为一个常数，当式子趋向$1$或$e$的时候分母两个不等式中的一个不等式必然为一个常数，从而另一个不等式则变为了无穷小，所以$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to e}f(x)=\infty$。
+    而作为分子的$e^x-1$必然为一个常数，当式子趋向$1$或$e$的时候分母两个不等式中的一个不等式必然为一个常数，从而另一个不等式则变为了无穷小，所以$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to e}f(x)=\infty$。
 
 $\therefore a=1,b=e$。
 
-
 \end{document}

advanced-math/exercise/3-derivative-and-differentiate/derivative-and-differentiate.tex

@@ -89,7 +89,7 @@ $f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
 
 导数的定义：$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$或$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。
 
-导数的存在性：若$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在，则$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$。\medskip
+导数的存在性：若$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$存在，则$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。\medskip
 
 \textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
     \dfrac{\ln(1+bx)}{x}, & & x\neq 0 \\

advanced-math/knowledge/2-derivatives-and-differential/derivatives-and-differential.tex

@@ -169,7 +169,7 @@ $=0$
 
 \begin{enumerate}
     \item 和差的导数：$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$。
-    \item 积的导数：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$，\\ $[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)+w'(x)$。
+    \item 积的导数：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$，\\ $[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)$。
     \item 商的导数：$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
 \end{enumerate}
 
@@ -618,7 +618,7 @@ $
         $\sec x$ & $\sec x\tan x$ & $\csc x$ & $-\csc x\cot x$ \\ \hline
         $\arcsin x$ & $\dfrac{1}{1-x^2}$ & $\arccos x$ & $-\dfrac{1}{1-x^2}$ \\ \hline
         $\arctan x$ & $\dfrac{1}{1+x^2}$ & $\textrm{arccot}\,x$ & $-\dfrac{1}{1+x^2}$ \\ \hline
-        $\textrm{arcsec}\,x$ & $\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arccsc}\,x$ & $-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ \\ \hline
+        $\textrm{arcsec}\,x$ & $\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ & $\textrm{arccsc}\,x$ & $-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ \\
         \hline
     \end{tabular}
 \end{center}