更新不定积分习题

advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -0,0 +1,147 @@
+\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
+% UTF8编码，ctexart现实中文
+\usepackage{color}
+% 使用颜色
+\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 
+\usepackage{geometry}
+\setcounter{tocdepth}{4}
+\setcounter{secnumdepth}{4}
+% 设置四级目录与标题
+\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
+% 默认大小为A4
+\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
+% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
+\usepackage{indentfirst}
+\setlength{\parindent}{2.45em}
+% 首行缩进2个中文字符
+\usepackage{setspace}
+\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
+% 1.5倍行距
+\usepackage{amssymb}
+% 因为所以
+\usepackage{amsmath}
+% 数学公式
+\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
+% 超链接
+\author{Didnelpsun}
+\title{不定积分与定积分}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+\pagestyle{empty}
+\thispagestyle{empty}
+\tableofcontents
+\thispagestyle{empty}
+\newpage
+\pagestyle{plain}
+\setcounter{page}{1}
+\section{不定积分}
+\subsection{基本积分}
+
+\textbf{例题：}汽车以20m/s的速度行驶，刹车后匀减速行驶了50m停止，求刹车加速度。
+
+已知题目含有两个变量：距离和时间，设距离为$s$，时间为$t$。
+
+因为汽车首先按20m/s匀速运动，所以$\dfrac{\textrm{d}s}{\textrm{d}t}\bigg\vert_{t=0}=20$，最开始距离为0，所以$s\vert_{t=0}=0$。
+
+又因为是匀减速的，所以速度形如：$v=\dfrac{s}{t}=kt+b$，从而令二阶导数下$\dfrac{\textrm{d}^2s}{\textrm{d}t^2}=k$。
+
+所以$\displaystyle{\dfrac{\textrm{d}s}{\textrm{d}t}=\int\dfrac{\textrm{d}^2s}{\textrm{d}t^2}\,\textrm{d}t=\int k\,\textrm{d}t}=kt+C_1$。
+
+代入$\dfrac{\textrm{d}s}{\textrm{d}t}\bigg\vert_{t=0}=20$，所以$C_1=20$，即$\dfrac{\textrm{d}s}{\textrm{d}t}=kt+20$。
+
+所以$\textrm{d}s=(kt+20)\,\textrm{d}t$，从而$s=\displaystyle{\int(kt+20)\,\textrm{d}t}=\dfrac{1}{2}kt^2+20t+C_2$。
+
+又$s\vert_{t=0}=0$，所以代入得$C_2=0$，所以$s=\dfrac{1}{2}kt^2+20t$。
+
+当$s=50$时停住，所以此时$\dfrac{\textrm{d}s}{\textrm{d}t}=0$，得到$t=-\dfrac{20}{k}$。
+
+代入$s$：$50=\dfrac{1}{2}k\left(-\dfrac{20}{k}\right)^2+20\left(-\dfrac{20}{k}\right)$，解得$k=-4$，即加速度为-4m/$s^2$。
+
+\subsection{换元积分}
+
+\subsubsection{第一类换元}
+
+\paragraph{聚集因式} \leavevmode \medskip
+
+将复杂的式子转换为简单的一个因式放到$\textrm{d}$后面看作一个整体，然后利用基本积分公式计算。
+
+\textbf{例题：}$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{x\ln x\ln\ln x}}$。 \medskip
+
+$=\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}(\ln x)}{\ln x\ln\ln x}}=\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}(\ln\ln x)}{\ln\ln x}}=\ln\vert\ln\ln x\vert+C$。\medskip
+
+\textbf{例题：}$\displaystyle{\int\dfrac{10^{2\arccos x}}{\sqrt{1-x^2}}\,\textrm{d}x}$。
+
+$=-\displaystyle{\int10^{2\arccos x}\,\textrm{d}(\arccos x)}=-\dfrac{1}{2}\displaystyle{\int10^{2\arccos x}\,\textrm{d}(2\arccos x)}=-\dfrac{10^{2\arccos x}}{2\ln10}+C$。
+
+\paragraph{积化和差} \leavevmode \medskip
+
+对于两个三角函数的乘积可以使用积化和差简单计算。
+
+\textbf{例题：}$\displaystyle{\int\sin2x\cos3x\,\textrm{d}x}$。
+
+$=\displaystyle{\int\cos3x\sin2x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int(\sin5x-\sin x)\,\textrm{d}x}$
+
+$=\dfrac{1}{2}\int\sin5x\,\textrm{d}x-\dfrac{1}{2}\int\sin x\,\textrm{d}x=-\dfrac{1}{10}\cos5x+\dfrac{1}{2}\cos x+C$。
+
+\paragraph{三角拆分} \leavevmode \medskip
+
+主要用于$\sec^2-1=\tan^2x$，当出现$\tan^2$、$\tan^3$等与$\sec x$在一起作为乘积时可以考虑拆分。
+
+\textbf{例题：}$\displaystyle{\int\tan^3x\sec x\,\textrm{d}x}$。
+
+$=\displaystyle{\int(\sec^2x-1)}\tan x\sec x\,\textrm{d}x=\displaystyle{\int(\sec^2x-1)}\,\textrm{d}(\sec x)=\dfrac{1}{3}\sec^3x-\sec x+C$。
+
+\subsubsection{第二类换元}
+
+\begin{enumerate}
+    \item $\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin t(a\cos t)$。
+    \item $\sqrt{a^2+x^2}$：$x=a\tan t$。
+    \item $\sqrt{x^2-a^2}$：$x=a\sec t$。
+\end{enumerate}
+
+\subsection{分部积分}
+
+\subsubsection{基本分部}
+
+\subsubsection{多次分部}
+
+\subsection{有理积分}
+
+\subsubsection{高阶多项式分配}
+
+当不定积分式子形如$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x}$，且$f(x)$、$g(x)$都为与$x$相关的多项式，$f(x)$阶数高于或等于$g(x)$，则$f(x)$可以按照$g(x)$的形式分配，约去式子，得到最简单的表达。
+
+\textbf{例题：}$\displaystyle{\int\dfrac{x^3}{x^2+9}\,\textrm{d}x}$。 \medskip
+
+$=\displaystyle{\int\dfrac{x^3+9x-9x}{x^2+9}\,\textrm{d}x=\int\dfrac{x^3+9x}{x^2+9}\,\textrm{d}x-\int\dfrac{9x}{x^2+9}\,\textrm{d}x}$ \medskip
+
+$\displaystyle{=\int x\,\textrm{d}x-\dfrac{9}{2}\int\dfrac{\textrm{d}(x^2+9)}{x^2+9}}=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{9}{2}\ln(9+x^2)+C$。
+
+\subsubsection{低阶多项式分解}
+
+当不定积分式子形如$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x}$，且$f(x)$、$g(x)$都为与$x$相关的多项式，$f(x)$阶数低于$g(x)$，则可以分解式子：$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x=\int\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}\,\textrm{d}x+\int\dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\,\textrm{d}x}$。
+
+
+
+\section{定积分}
+
+\subsection{变限积分}
+
+\subsection{牛莱公式}
+
+\subsection{换元积分}
+
+\subsection{分部积分}
+
+\subsection{反常积分}
+
+\section{积分应用}
+
+\subsection{面积}
+
+\subsection{体积}
+
+\subsection{弧长}
+
+\end{document}

advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -402,11 +402,11 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
 
 元素法也叫微元法，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用元素法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
 
-\subsection{几何应用}
+数一基本上只考几何应用不考物理应用。
 
-\subsubsection{面积}
+\subsection{面积}
 
-\paragraph{直角坐标系}  \leavevmode \medskip
+\subsubsection{直角坐标系}
 
 \textbf{例题：}求曲线$y^2=x$与$y=x^2$所围成面积。
 
@@ -430,7 +430,7 @@ $\textrm{d}S=\left[(y+4)-\dfrac{y^2}{2}\right]\textrm{d}y$。
 
 所以$S=\displaystyle{\int_{-2}^4\left[(y+4)-\dfrac{y^2}{2}\right]\textrm{d}y}$
 
-\paragraph{参数方程}  \leavevmode \medskip
+\subsubsection{参数方程}
 
 \textbf{例题：}求摆线一拱$\left\{\begin{array}{l}
     x=a(t-\sin t) \\
@@ -456,7 +456,7 @@ $=8a^2\int_0^\pi\sin^4u\,\textrm{d}u=16a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4u\,\textrm
 
 $=16a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=3a^2\pi$（点火公式）。
 
-\paragraph{极坐标}  \leavevmode \medskip
+\subsubsection{极坐标}
 
 已知极径函数$\rho=\rho(\theta)$，极角$\theta\in[\alpha,\beta]$，极坐标所围成面积就是初始角所在射线与结束角所在射线以及函数所围成的图形。所以微元计算时所围成的图形可以近似看作扇形。
 
@@ -476,9 +476,9 @@ $=a^2\displaystyle{\int_0^\pi\left(2\cos^2\dfrac{\theta}{2}\right)^2\textrm{d}\t
 
 根据华理士公式：$=8a^2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3}{2}a^2\pi$。
 
-\subsubsection{体积}
+\subsection{体积}
 
-\paragraph{旋转体}  \leavevmode \medskip
+\subsubsection{旋转体}
 
 当绕$x$轴进行旋转，可以看作从$x$轴沿$y$轴水平切割旋转体，就得到了以$x$轴为中心的一个圆柱，底边半径为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_x=\pi f^2(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_x=\pi\int_a^bf^2(x)\,\textrm{d}x$（如果用$y(x)$表达，就是$V_x=\pi\int_c^d\varphi^2(y)\,\textrm{d}y$）。
 
@@ -520,7 +520,7 @@ $=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)a^2(1-\cos t)^2\,\textrm{d}t=2a^3\pi\int_0^{2\pi}(
 
 然后拆开分别进行凑微分法，得到$6a^3\pi^3$。
 
-\paragraph{平行截面已知的立体体积}  \leavevmode \medskip
+\subsubsection{平行截面已知的立体体积}
 
 已知截面面积可以通过对应的高得到立体体积：$V=\int_a^bS(x)\,\textrm{d}x$。
 
@@ -534,7 +534,7 @@ $V=2\int_0^a\pi bc\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)\,\textrm{d}x$。
 
 解得$V=\dfrac{4}{3}\pi abc$。
 
-\subsubsection{弧长}
+\subsection{弧长}
 
 在弧长中插入$n$个点$M_1,M_2,\cdots,M_{i-1},M_i,\cdots,M_n$。