更新矩阵

linear-algebra/exercise/1-determinant/determinant.tex

@@ -138,9 +138,30 @@ $\left|\begin{array}{cccc}
     a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\
 \end{array}\right|=\prod\limits_{1\leqslant j<i\leqslant n}(a_i-a_j)$
 
+\textbf{例题：}求$\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    1 & 2^2  & 3^2 & 4^2 \\
+    1 & 2^3  & 3^3 & 4^3 \\
+    9 & 8 & 7 & 6
+\end{array}\right|$。
+
+解：这个式子非常像范德蒙德行列式，但是差一行1。所以我们要把最后一行变为同样值。可以观察得到第四行加最后一行为10，所以
+
+$=\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    1 & 2^2  & 3^2 & 4^2 \\
+    1 & 2^3  & 3^3 & 4^3 \\
+    10 & 10 & 10 & 10
+\end{array}\right|=10\times(-1)^3\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    1 & 2^2  & 3^2 & 4^2 \\
+    1 & 2^3  & 3^3 & 4^3
+\end{array}\right|=-10\times2\times3\times2=-120$。
+
 \subsubsection{分块行列式}
 
-也称为拉普拉斯展开式，设$A$为$m$阶矩阵，$B$为$n$阶矩阵：
+也称为拉普拉斯展开式，设$A$为$m$阶矩阵，$B$为$n$阶矩阵：\medskip
 
 $\left|\begin{array}{cc}
     A & O \\

linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex

@@ -36,7 +36,7 @@
 \newpage
 \pagestyle{plain}
 \setcounter{page}{1}
-\section{矩阵的幂}
+\section{矩阵幂}
 
 \subsection{对应成比例}
 
@@ -352,6 +352,27 @@ $A=\left(\begin{array}{ccc}
    A_1^{-1}
 \end{array}\right)$。
 
+\section{方阵行列式}
+
+\subsection{两项积商}
+
+\begin{itemize}
+    \item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
+    \item $\vert A^{-1}\vert=\dfrac{1}{\vert A\vert}$。
+    \item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。
+    \item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
+\end{itemize}
+
+因为两项积商比较简单，所以基本上会变换$A$和$B$，让其变为转置或逆矩阵。
+
+\subsection{两项和差}
+
+两项和差需要将方阵拆分为向量组的形式，然后根据矩阵与行列式的运算法则进行运算。（注意其中的差别）
+
+\textbf{例题：}设四阶方阵$A=[\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]$，$B=[\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]$，其中$\alpha$、$\beta$、$\gamma_i$均为四维向量，且$\vert A\vert=5$，$\vert B\vert=-\dfrac{1}{2}$，求$\vert A+2B\vert$。
+
+解：$=\vert[\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]+2[\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert=\vert[\alpha+2\beta,3\gamma_2,3\gamma_3,3\gamma_4]\vert=27\vert[\alpha+2\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert=27\vert[\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert+54\vert[\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert=27(\vert A\vert+2\vert B\vert)=108$。
+
 \section{矩阵方程}
 
 含有未知矩阵的方程就是矩阵方程，需要将方程进行恒等变形，化为$AX=B$、$XA=B$或$AXB=C$的形式。

linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex

@@ -273,6 +273,7 @@ $f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
 
 \begin{itemize}
     \item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
+    \item $\vert A^{-1}\vert=\dfrac{1}{\vert A\vert}$。
     \item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。
     \item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
 \end{itemize}