更新微分

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 \section{基本概念}
 
+\subsection{二元函数}
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+函数以$f(u,v)$的形式来出现，需要分别对其求偏导。
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+\textbf{例题：}设$z=e^{xy}+f(x+y,xy)$，$f(u,v)$有二阶连续偏导数，求$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$。
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+解：令$x+y$为$u$，$xy$为$v$，$f(u,v)$对$u$求导就是$f_1'$，对$v$求导就是$f_2'$，求$uv$依次求导就是$f_{12}''$，以此类推。
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+首先求一次偏导：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=ye^{xy}+\dfrac{\partial f(u,v)}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f(u,v)}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=ye^{xy}+f_1'+f_2'y$。
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+接着对$y$求偏导：$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'y}{\partial y}$。
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+$=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'}{\partial y}y+f_2'\dfrac{\partial y}{\partial y}=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}y+\dfrac{\partial f_2'}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}y+f_2'=e^{xy}+xye^{xy}+f_{11}''+f_{12}''x+f_{21}''y+f_{22}''xy+f_2'$。\medskip
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+又$f(u,v)$具有两阶连续偏导数，所以$f_{12}''=f_{21}''$。
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+即$=e^{xy}+xye^{xy}+f_{11}''+(x+y)f_{12}''+xyf_{22}''+f_2'$。
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 \subsection{复合函数}
 
 函数以复合函数形式$f(g(x,y))$出现，函数的变量是一个整体。
@@ -80,25 +98,27 @@ $\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\par
 
 $\therefore\dfrac{\partial z}{\partial x}=e^x+3(x+y)^2-e^{x+y}$。
 
-\section{二元函数}
+\subsection{积分与微分}
 
-函数以$f(u,v)$的形式来出现，需要分别对其求偏导。
+\subsubsection{积分到微分}
 
-\subsection{链式法则}
+可能一个函数是积分的形式，又包含多个变量，要求其多元微分值。
 
-\textbf{例题：}设$z=e^{xy}+f(x+y,xy)$，$f(u,v)$有二阶连续偏导数，求$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$。
+$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,\textrm{d}t=b'(x)f[b(x)]-a'(x)f[a(x)]$。
 
-解：令$x+y$为$u$，$xy$为$v$，$f(u,v)$对$u$求导就是$f_1'$，对$v$求导就是$f_2'$，求$uv$依次求导就是$f_{12}''$，以此类推。
+\textbf{例题：}设$z=\int_0^1\vert xy-t\vert f(t)\,\textrm{d}t$，$0\leqslant x\leqslant1$，$0\leqslant y\leqslant1$，其中$f(x)$为连续函数，求$z_{xx}''+z_{yy}''$。
 
-首先求一次偏导：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=ye^{xy}+\dfrac{\partial f(u,v)}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f(u,v)}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=ye^{xy}+f_1'+f_2'y$。
+解：首先因为$z$是一个绝对值的形式，所以根据积分的性质可以拆开积分区间去掉绝对值：$z=\int_0^{xy}(xy-t)f(t)\,\textrm{d}t+\int_{xy}^1(t-xy)f(t)\,\textrm{d}t=xy\int_0^{xy}f(t)\,\textrm{d}t-\int_0^{xy}tf(t)\,\textrm{d}t+\int_{xy}^1tf(t)\,\textrm{d}t-xy\int_{xy}^1f(t)\,\textrm{d}t$。
 
-接着对$y$求偏导：$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'y}{\partial y}$。
+$z_x'=y\int_0^{xy}f(t)\,\textrm{d}t+xy^2f(xy)-xy^2f(xy)-xy^2f(xy)-y\int_{xy}^1f(t)\,\textrm{d}t+xy^2f(xy)=y\int_0^{xy}f(t)\,\textrm{d}t-y\int_{xy}^1f(t)\,\textrm{d}t$。
 
-$=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'}{\partial y}y+f_2'\dfrac{\partial y}{\partial y}=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}y+\dfrac{\partial f_2'}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}y+f_2'=e^{xy}+xye^{xy}+f_{11}''+f_{12}''x+f_{21}''y+f_{22}''xy+f_2'$。\medskip
+$z_{xx}''=y^2f(xy)+y^2f(xy)=2y^2f(xy)$，同理根据变量对称性$z_{yy}''=2x^2f(xy)$，$z_{xx}''+z_{yy}''=2(x^2+y^2)f(xy)$。
 
-又$f(u,v)$具有两阶连续偏导数，所以$f_{12}''=f_{21}''$。
+\subsubsection{微分到积分}
 
-即$=e^{xy}+xye^{xy}+f_{11}''+(x+y)f_{12}''+xyf_{22}''+f_2'$。
+注意多元函数进行积分的适合多出来的常数$C$不再是常数，而是与积分变量相关的$C(x)$，$C(y)$，因为对其中一个变量积分时，另一个变量是看作常数的。
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+\textbf{例题：}设$z=f(x,y)$满足$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=x+y$，且$f(x,0)=x$，$f(0,y)=y^2$，求$f(x,y)$。
 
 \section{多元函数微分应用}