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% 数学公式
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% 绘图
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\author{Didnelpsun}
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\title{一元函数微分学}
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\begin{document}
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\maketitle
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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\section{概念}
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\subsection{引例}
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设$f(x)$下$x$在$x_0$的邻域内，$\alpha$为切线所成夹角。
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$\tan\alpha=f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k$
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\subsection{导数}
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设$y=f(x)$定义在区间$I$上，让自变量在$x=x_0$处加一个增量$\Delta x$，其中$x_0\in I$，$x_0+\Delta x\in I$，则可得函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称这个极限为$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x)$，即$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。
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下面三句话等价：
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\begin{enumerate}
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\item $y=f(x)$在$x_0$处可导。
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\item $y=f(x)$在$x_0$处导数存在。
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\item $f'(x)=A$。（$A$为有限数）
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\end{enumerate}
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单侧导数分为左导数和右导数。
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$f'_-(x)=\lim_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
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$f'_+(x)=\lim_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
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所以$f(x)$在$x_0$处可导的充要条件是其左导数和右导数存在且相等。
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若$f(x)$在$x_0$的左右，如$y=\vert x\vert$在$0$的左右出现了单侧的不同的切线，那这个$x_0$就是一个\textbf{角点}，该角点处不可导。
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若$f(x)$在$x_0$处导数为无穷，如$y=x^{\frac{1}{3}}$在$0$处利用导数的极限定义计算得到为正无穷，那么该点的导数为无穷导数，在考研中被认为是不存在的。
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\textbf{例题1：}证明若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。
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该证明是准备部分的定理。
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首先已知$f(-x)=f(x)$，证明$f'(-x)=-f'(x)$。
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$\therefore$
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$
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\begin{aligned}
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f'(-x) &=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x} \\
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& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{\Delta x} \\
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& =-\lim_{-\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+(-\Delta x))}{-\Delta x} \\
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& =-f'(x)
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\end{aligned}
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$
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同理得证$f(-x)=-f(x)\Rightarrow f'(-x)=f'(x)$。
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\textbf{例题2：}证明$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。
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已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。
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$\therefore f'(x+T)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$。
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\textbf{例题3：}设$f(x)$是二阶可导的以2为周期的奇函数，且$f(\dfrac{1}{2})>0$，$f'(\dfrac{1}{2})>0$，比较$f(-\dfrac{1}{2})$、$f'(\dfrac{3}{2})$、$f''(0)$的大小。
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$\because f(x)$为二阶奇函数，$\therefore f(x)\text{奇函数}\Rightarrow f'(x)\text{偶函数}\Rightarrow f''(x)\text{奇函数}\Rightarrow f''(0)=0$。
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$\therefore f(-\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{1}{2})<0$。
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$\because f(x)T=2\Rightarrow f'(x)T=2$，$\therefore f'(\dfrac{3}{2})=f'(\dfrac{3}{2}-2)=f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{1}{2})>0$。
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$\therefore f'(\dfrac{3}{2})>f''(0)>f(-\dfrac{1}{2})$。
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\textbf{例题4：}证明$(uv)'=u'v+uv'$。
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令$f(x)=u(x)v(x)$。
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$
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\begin{aligned}
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& (u\cdot v)' \\
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& =f'(x) \\
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& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\
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& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\
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||
& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\
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||
& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x) +\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}u(x) \\
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& =u'(x)v(x)+v'(x)u(x)
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\end{aligned}
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$
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\textbf{例题5：}证明可导必连续。
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已知连续定义：$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。
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可导定义：$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$
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$
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\begin{aligned}
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& \lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x) \\
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& =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x \\
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& =A\cdot 0 \\
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& =0
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\end{aligned}
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$
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\textbf{例题6：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。
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证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。
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又$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$。
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如$\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$且$f(x)$连续，可以推出$f(1)=0$与$f'(1)=2$。
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高阶导数\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$f^n(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f^{n-1}(x_0+\Delta x)-f^{n-1}(x_0)}{\Delta x}$，其中$n\geqslant 2$且$n\in N^+$，$f^{n-1}(x)$在$x_0$的某领域内有定义，$x_0+\Delta x$也在该邻域内。
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\subsection{微分}
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有一个边长为$x$的正方形，变化了$\Delta x$，其面积$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2$。
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当$\Delta x\to 0$时，将这个变化定义为$2x\cdot\Delta x+o(\Delta x)$，前项为线性主部，后面为误差。这个就是$S$的微分。
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增量$\Delta y=f(x_0+\Delta)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，这个$A\Delta x$定义为$\rm{d}y$，叫做$y$的微分。
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$\therefore \rm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot\rm{d}x$
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由此，可导必可微，可微必可导。
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\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
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\draw[-latex](-0.5,0) -- (4.5,0) node[below]{$x$};
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\draw[-latex](0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$y$};
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\draw[black, thick, domain=1.5:3] plot (\x,{pow(\x-1,2)/2+1}) node[above]{$y(x)$};
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\filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
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\draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (1.5,0) node[below]{$x_0$};
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\draw[black, densely dashed](1.5,1.125) -- (0,1.125) node[left]{$y_0$};
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\draw[black, densely dashed](3,3) -- (3,0) node[below]{$x_0+\Delta x$};
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\draw[black, densely dashed](3,3) -- (0,3) node[left]{$y_0+\Delta x$};
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\draw[black, densely dashed](3,1.875) -- (0,0.375) node[left]{$\rm{d}yx+b$};
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\draw[<->, black](1.5,1.125) -- (3,1.125);
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||
\draw[<->, black](4,1.125) -- (4,3);
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||
\draw[<->, black](3.25,1.125) -- (3.25,1.875);
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\draw[<->, black](3.25,3) -- (3.25,1.875);
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\draw[black](3,3) -- (4.5,3);
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||
\draw[black](3,1.125) -- (4.5,1.125);
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||
\draw[black](3,1.875) -- (3.75,1.875);
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||
\filldraw[black] (2.25,0.75) node{$\Delta x$};
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||
\filldraw[black] (4.3,2) node{$\Delta y$};
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||
\filldraw[black] (3.5,1.5) node{\scriptsize{$\rm{d}y$}};
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||
\filldraw[black] (3.5,2.5) node{\scriptsize{$o(\Delta x)$}};
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\end{tikzpicture}
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所以可微就是用简单线性取代复杂线性，如图用直线取替代曲线。
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\section{导数与微分计算}
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\subsection{四则运算}
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若函数可导：
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\begin{enumerate}
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\item 和差的导数或微分：$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$，$\rm{d}[u(x)\pm v(x)]=\rm{d}u(x)\pm\rm{d}v(x)$。
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\item 积的导数或微分：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$，$\rm{d}[u(x)v(x)]=u(x)\rm{d}v(x)+v(x)\rm{d}u(x)$，$[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)+w'(x)$。
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||
\item 商的导数：$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$，$\rm{d}\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]=\dfrac{v(x)\rm{d}u(x)-u(x)\rm{d}v(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
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\item 复合函数的导数：链式求导法则$\dfrac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=\dfrac{\rm{d}u}{\rm{d}y}\cdot\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}$。
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\end{enumerate}
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\subsection{分段函数的导数}
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设$f(x)=\left\{
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\begin{array}{lcl}
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f_1(x), & & x\geqslant x_0 \\
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f_2(x), & & x<x_0 \\
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\end{array}
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\right.$。
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在分段点用定义：判断$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0}\overset{?}{=}\lim_{x\to x_0^-}\dfrac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。
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非分段点使用导数公式求导：$x>x_0,f'(x)=f_1'(x),x<0，f'(x)=f_2'(x)$。
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\subsection{复合函数的导数与微分形式不变性}
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$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$，$\rm{d}\{f[g(x)]\}=f'[g(x)]g'(x)\rm{d}x$。
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一阶微分形式不变性指：$\rm{d}f(\varsigma)=f'(\varsigma)\rm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么。（类似导数的链式求导法则）
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\textbf{例题7：}设$f(x)=\Pi_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^a}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？
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原式=$\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)$。
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令$\left(\tan\dfrac{\pi x^2}{4}-2\right)\cdots\left(\tan\dfrac{\pi x^100}{4}-100\right)=g(x)$。
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$\therefore f(x)=\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g(x)$。
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$\therefore f'(x)=\sec^2\dfrac{\pi x}{4}\cdot\dfrac{\pi}{4}\cdot g(x)+\left(\tan\dfrac{\pi x}{4}-1\right)\cdot g'(x)$。
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$\therefore$根据导数的四则运算，需要导数的乘积为每一项求导乘以其他不求导项的和，而$\tan\dfrac{\pi x}{4}-1$当$x=1$时为0，只要它不求导，其他的项都必然是0，所以原式的后面的结果都是0。
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$\therefore$
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$
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\begin{aligned}
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f'(1) & =f'(x)\vert_{x=1} \\
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& =\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1)+0\cdot g'(x) \\
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& =\dfrac{\pi}{2}\cdot g(1) \\
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& =\dfrac{\pi}{2}(-1)(-2)\cdots(-99) \\
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& =-\dfrac{\pi}{2}\cdot 99!
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\end{aligned}
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$
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\textbf{例题8：}设$y=e^{\sin(\ln x)}$，求$\rm{d}y$。
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$\because y=e^{\sin(\ln x)} \therefore$
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$
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\begin{aligned}
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\rm{d}y &=\rm{d}e^{\sin(\ln x)} \\
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& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\rm{d}(\sin(\ln x)) \\
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||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\rm{d}\ln x \\
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||
& =e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}\rm{d}x
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\end{aligned}
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$
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\subsection{反函数导数}
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$，则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\dfrac{\rm{d}x}{\rm{d}y}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x}}$，即$\varphi'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$。
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$y=f(x)$可导，且$f'(x)\neq 0$就是指严格单调，而严格单调必有反函数。
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\textbf{例题9：}求$y=\arcsin x,x\in(-1,1)$与$y=\arctan x$的导数。
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首先反三角函数就是三角函数的反函数、
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求$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$。
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$\therefore\dfrac{\rm{d}\arcsin x}{\rm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}\sin y}{\rm{d}y}}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
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求$y=\arctan x$，就$x=\tan y$。
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$\therefore\dfrac{\rm{d}\arctan x}{\rm{d}x}=\dfrac{1}{\dfrac{\rm{d}\tan y}{\rm{d}y}}=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+\tan^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$。
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\subsection{参数方程函数导数}
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\subsection{隐函数求导法}
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\subsection{对数求导法}
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\subsection{幂指函数求导法}
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\subsection{高阶导数}
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\subsubsection{归纳法}
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\subsubsection{莱布尼茨公式}
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\subsubsection{泰勒公式}
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\subsection{变限积分求导公式}
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必然会考。
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已知更改区间限制的积分$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)\rm{d}x$，$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$。
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\subsection{基本求导公式}
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\end{document}
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