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% 分栏
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\author{Didnelpsun}
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\title{矩阵}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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矩阵本质是一个表格。
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\section{矩阵定义}
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$m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$列的数表。
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元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵是复矩阵。
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行数列数都为$n$的就是$n$阶矩阵或方阵，记为$A_n$。
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行矩阵或行向量：只有一行的矩阵$A=(a_1a_2\cdots a_n)$。
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列矩阵或列向量：只有一列的矩阵$B=
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\left(\begin{array}{c}
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b_1 \\
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b_2 \\
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\cdots \\
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b_m
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\end{array}\right)$。
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同型矩阵：两个矩阵行数、列数相等。
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相等矩阵：是同型矩阵，且对应元素相等的矩阵。记为$A=B$。
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零矩阵：元素都是零的矩阵，记为$O$，但是不同型的零矩阵不相等。
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\begin{multicols}{2}
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对角矩阵或对角阵：从左上角到右下角的直线（对角线）以外的元素都是0的矩阵，记为$\varLambda=\textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$。
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$\varLambda=\left(
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\begin{array}{cccc}
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\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
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0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
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||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
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||
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
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||
\end{array}
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\right)$
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单位矩阵或单位阵：$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。这种线性变换叫做恒等变换，$AE=A$。
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$E=\left(
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\begin{array}{cccc}
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1 & 0 & \cdots & 0 \\
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0 & 1 & \cdots & 0 \\
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||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
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0 & 0 & \cdots & 1
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||
\end{array}
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\right)$
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\end{multicols}
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\section{矩阵运算}
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\subsection{矩阵加法减法}
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设与两个矩阵都是同型矩阵$m\times n$$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，则其加法就是$A+B$。
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$$A+B=\left(
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\begin{array}{cccc}
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||
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
|
||
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
|
||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
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||
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{m+n}+b_{m+n}
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||
\end{array}
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\right)$$
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\begin{itemize}
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\item $A+B=B+A$。
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\item $(A+B)+C=A+(B+C)$。
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\end{itemize}
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若$-A=(-a_{ij})$，则$-A$是$A$的负矩阵，$A+(-A)=O$。
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从而矩阵的减法为$A-B=A+(-B)$。
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\subsection{数乘矩阵}
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数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记为$\lambda A$或$A\lambda$，规定：
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$$\lambda A=A\lambda=\left(
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\begin{array}{cccc}
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||
\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\
|
||
\lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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||
\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
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||
\end{array}
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\right)$$
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假设$A$、$B$都是$m\times n$的矩阵，$\lambda$、$\mu$为数：
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\begin{itemize}
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\item $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$。
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||
\item $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$。
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\item $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$。
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\end{itemize}
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矩阵加法与数乘矩阵都是矩阵的线性运算。
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\subsection{矩阵相乘}
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设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：
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$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$$
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所以按此定义一个$1\times s$行矩阵与$s\times 1$列矩阵的乘积就是一个1阶方针即一个数：
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$(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(
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\begin{array}{c}
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b_{1j} \\
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b_{2j} \\
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||
\cdots \\
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b_{sj}
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||
\end{array}
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\right)=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=c_{ij}$。
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从而$AB=C$的$c_{ij}$就是$A$的第$i$行与$B$的$j$列的乘积。
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\textcolor{orange}{注意：}只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数才能相乘。
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只有$AB$都是方阵的时候才能$AB$与$BA$。
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矩阵的左乘与右乘不一定相等，即$AB\neq BA$。
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若方阵$AB$乘积满足$AB=BA$，则表示其是可交换的。
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$A\neq O$，$B\neq O$，但是不能推出$AB\neq O$或$BA\neq O$。
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||
$AB=O$不能推出$A=O$或$B=O$。
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$A(X-Y)=O$当$A\neq O$也不能推出$X=Y$。
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\begin{itemize}
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\item $(AB)C=A(BC)$。
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||
\item $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$。
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||
\item $A(B+C)=AB+AC$。
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\item $(B+C)A=BA+CA$。
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||
\item $EA=AE=A$。
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\end{itemize}
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||
$\lambda E$称为纯量阵，$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$。
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若$A_{m\times s}$，$B_{s\times n}=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$，其中$\beta$为$n$行的列矩阵，则：
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$AB=A(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(A\beta_1,\cdots,A\beta_n)$。
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\subsection{矩阵幂}
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只有方阵才能连乘，从而只有方阵才有幂。
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若$A$是$n$阶方阵，所以：
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$$A^1=A\text{，}A^2=A^1A^1\text{，}\cdots\text{，}A^{k+1}=A^kA^1$$
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\begin{itemize}
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\item $A^kA^l=A^{k+l}$。
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||
\item $(A^k)^l=A^{kl}$。
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\end{itemize}
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因为矩阵乘法一般不满足交换率，所以$(AB)^k\neq A^kB^k$。只有$AB$可交换时才相等。
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若$A\neq 0$不能推出$A^k\neq 0$，如：
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$A=\left(
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\begin{array}{cc}
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||
0 & 2 \\
|
||
0 & 0
|
||
\end{array}
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\right)\neq 0$。$A^2=\left(
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\begin{array}{cc}
|
||
0 & 2 \\
|
||
0 & 0
|
||
\end{array}
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||
\right)\left(
|
||
\begin{array}{cc}
|
||
0 & 2 \\
|
||
0 & 0
|
||
\end{array}
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\right)=\left(
|
||
\begin{array}{cc}
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||
0 & 0 \\
|
||
0 & 0
|
||
\end{array}
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||
\right)=O$。
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$A=\left(
|
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\begin{array}{ccc}
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||
0 & 1 & 1 \\
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||
0 & 0 & 1 \\
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||
0 & 0 & 0
|
||
\end{array}
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\right)$，$A^3=O$。
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||
矩阵幂可以同普通多项式进行处理。
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如$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+n$，对于$A$就是$f(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_nE$。
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$f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
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||
\subsection{矩阵转置}
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把矩阵$A$的行换成同序数的列就得到一个新矩阵，就是$A$的转置矩阵$A^T$。若$A$为$m\times n$，则$A^T$为$n\times m$。
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||
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||
\begin{itemize}
|
||
\item $(A^T)^T=A$。
|
||
\item $(A+B)^T=A^T+B^T$。
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||
\item $(\lambda A)^T=\lambda A^T$。
|
||
\item $(AB)^T=B^TA^T$。
|
||
\end{itemize}
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|
||
对称矩阵或对称阵：元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
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||
|
||
\subsection{方阵行列式}
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||
由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式称为矩阵$A$的行列式，记为$\textrm{det}\,A$或$\vert A\vert$。
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||
\subsection{线性方程组与矩阵}
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||
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||
\begin{itemize}
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||
\item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
|
||
\item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。
|
||
\item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
伴随矩阵或伴随阵：行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$构成的矩阵。
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||
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||
$$A^*=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
|
||
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$$
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其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。
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\section{线性方程组}
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矩阵是根据线性方程组得到。
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||
\subsection{线性方程组与矩阵}
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\begin{multicols}{2}
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||
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||
$\begin{cases}
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||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0
|
||
\end{cases}$ \medskip
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||
|
||
$n$元齐次线性方程组。
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||
|
||
$\begin{cases}
|
||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||
\end{cases}$ \medskip
|
||
|
||
$n$元非齐次线性方程组。
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||
|
||
\end{multicols}
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||
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||
对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其零解，若有一组不全为零的解，则称为其非零解。其一定有零解，但是不一定有非零解。
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||
|
||
对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。
|
||
|
||
令系数矩阵$A_{m\times n}=\left(
|
||
\begin{array}{ccc}
|
||
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，未知数矩阵$X_{n\times 1}=\left(
|
||
\begin{array}{c}
|
||
x_1 \\
|
||
\cdots \\
|
||
x_n
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，常数项矩阵$b_{m\times 1}=\left(
|
||
\begin{array}{c}
|
||
b_1 \\
|
||
\cdots \\
|
||
b_m
|
||
\end{array}
|
||
\right)$，增广矩阵$B_{m\times(n+1)}=\left(
|
||
\begin{array}{cccc}
|
||
a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_n
|
||
\end{array}
|
||
\right)$。
|
||
|
||
|
||
|
||
所以$AX=\left(
|
||
\begin{array}{c}
|
||
a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n
|
||
\end{array}
|
||
\right)$。
|
||
|
||
从而$AX=b$等价于$\begin{cases}
|
||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||
\cdots \\
|
||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||
\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。
|
||
|
||
从而矩阵可以简单表示线性方程。
|
||
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||
\subsection{线性方程组的解}
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||
对于一元一次线性方程：$ax=b$：
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||
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\begin{itemize}
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||
\item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。
|
||
\item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。
|
||
\end{itemize}
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||
|
||
当推广到多元一次线性方程组：$AX=b$，如何求出$X$这一系列的$x$的解？
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|
||
从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。
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||
当$m<n$时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有$n-m$个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。
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||
|
||
当$m=n$时代表约束与变量数量相等，此时又要分三种情况。
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||
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||
当所有的约束条件其中存在线性相关，即一部分约束条件可以由其他约束表示，则代表这部分约束条件是没用的，实际上的约束条件变少，从而情况等于$m<n$，结果是无数解。
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||
|
||
当所有的约束条件不存在线性相关，但是一部分约束条件互相矛盾，则约束条件下就无法解出解，从而结果是无实数解。
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||
|
||
当所有的约束条件不存在线性相关，且相互之间不存在矛盾情况，这时候才会解出一个实数解，从而结果是有唯一实解。
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||
|
||
若使用矩阵来解决线性方程组的问题，其系数矩阵$A_{m\times n}$。
|
||
|
||
对于$A\neq O$，则$AX=b$，若存在一个矩阵$B_{n\times n}$类似$\dfrac{1}{a}$，使得$BAX=Bb$，解得$EX=X=Bb$，这个$B$就是$A$的逆矩阵。
|
||
|
||
对于$A=O$即不可逆，需要判断$b$是否为0，若不是则无实数解，若是则无穷解，这种判断需要用到增广矩阵，需要用到矩阵的秩判断。
|
||
|
||
\section{逆矩阵}
|
||
|
||
\end{document}
|