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更新矩阵
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Didnelpsun
Binary file not shown.
@@ -36,11 +36,51 @@
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\setcounter{page}{1}
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\section{逆序}
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逆序一般只会考一个数列的逆序数，一般以自然数从小到大为标准次序。
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对于逆序数的计算一般是数，假设一共有$n$项，则需要依次从$i$向后判断各项与当前项的大小，最后相加。
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\subsection{有穷排列}
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对于给出几个数字的有限排列，只需要直接计算即可。
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\textbf{例题：}求2413的逆序数。
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2的逆序有21一个。4的逆序与41、43两个。1无逆序数，所以一共逆序数为3。
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\subsection{无穷排列}
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\textbf{例题：}求$13\cdots(2n-1)(2n)(2n-2)\cdots2$的逆序数。
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这个序列分为两个部分，第一个是前面的$13\cdots(2n-1)$部分，这个部分无逆序。
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第二个部分是后面的$(2n)(2n-2)\cdots2$，这个序列是全部逆序的，所以考虑其第二个内部一共有$n$个数，从前往后依次有$n,(n-1),\cdots,1$个逆序，所以逆序数为$\dfrac{n(n-1)}{2}$。
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然后是考虑第二个部分对于第一个部分的逆序。$2n-2$对$2n-1$产生一个逆序，到最后的2对前面的$3\cdots(2n-1)$都产生了逆序一共$n-1$个，所以一共$\dfrac{n(n-1)}{2}$个逆序。
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所以最后一共加起来与$n(n-1)$个逆序。
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\section{因式项}
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需要求出带有某些因子的因式项，其实就是对顺序的排列组合，若已经给出某些因式，则因式项的其他因子就必须是其他数值。
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且还要考虑因式项的正负号，即选择的值序列的逆序数。
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\textbf{例题：}写出四阶行列式中含有$a_{11}a_{23}$的因式项。
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因为是四阶行列式，且含有$a_{11}a_{23}$，所以余下来的$a_{3?}$和$a_{4?}$中的$?$只有2和4可选。
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若是$a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$，则列坐标序列为$1324$，从而逆序数为1，所以该项为$-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$。
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若是$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$，则列坐标序列为$1342$，从而逆序数为2，所以该项为$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。
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$\therefore\,-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。
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\section{证明行列式值}
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与计算行列式值的体型不同的是，其行列式的值是固定给出的，一方面虽然约束了解题思路，一方面也给出了解题的方向，需要结果与给定值“靠近”。
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与计算行列式值的题型不同的是，其行列式的值是固定给出的，一方面虽然约束了解题思路，一方面也给出了解题的方向，需要结果与给定值“靠近”。
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\textbf{例题：}
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\section{计算行列式值}
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Binary file not shown.
@@ -2,6 +2,7 @@
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% UTF8编码，ctexart现实中文
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\usepackage{color}
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% 使用颜色
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\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0}
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\usepackage{geometry}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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@@ -71,13 +72,313 @@ $m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$
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$\varLambda=\left(
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\begin{array}{cccc}
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\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
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0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
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0 & 0 & \cdots & \lambda_n
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\end{array}
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\right)$
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单位矩阵或单位阵：$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。
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单位矩阵或单位阵：$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。这种线性变换叫做恒等变换，$AE=A$。
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$E=\left(
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\begin{array}{cccc}
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1 & 0 & \cdots & 0 \\
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0 & 1 & \cdots & 0 \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
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0 & 0 & \cdots & 1
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\end{array}
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\right)$
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\end{multicols}
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\section{矩阵运算}
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\subsection{矩阵加法减法}
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设与两个矩阵都是同型矩阵$m\times n$$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，则其加法就是$A+B$。
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$$A+B=\left(
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\begin{array}{cccc}
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a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
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||||
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
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||||
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
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a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{m+n}+b_{m+n}
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\end{array}
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\right)$$
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\begin{itemize}
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\item $A+B=B+A$。
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\item $(A+B)+C=A+(B+C)$。
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\end{itemize}
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若$-A=(-a_{ij})$，则$-A$是$A$的负矩阵，$A+(-A)=O$。
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从而矩阵的减法为$A-B=A+(-B)$。
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\subsection{数乘矩阵}
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数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记为$\lambda A$或$A\lambda$，规定：
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$$\lambda A=A\lambda=\left(
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\begin{array}{cccc}
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\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\
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||||
\lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\
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||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
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\end{array}
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\right)$$
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假设$A$、$B$都是$m\times n$的矩阵，$\lambda$、$\mu$为数：
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\begin{itemize}
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\item $(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$。
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\item $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$。
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\item $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$。
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\end{itemize}
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矩阵加法与数乘矩阵都是矩阵的线性运算。
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\subsection{矩阵相乘}
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设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：
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$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$$
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所以按此定义一个$1\times s$行矩阵与$s\times 1$列矩阵的乘积就是一个1阶方针即一个数：
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$(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(
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\begin{array}{c}
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b_{1j} \\
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b_{2j} \\
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\cdots \\
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b_{sj}
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\end{array}
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\right)=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=c_{ij}$。
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从而$AB=C$的$c_{ij}$就是$A$的第$i$行与$B$的$j$列的乘积。
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\textcolor{orange}{注意：}只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数才能相乘。
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只有$AB$都是方阵的时候才能$AB$与$BA$。
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矩阵的左乘与右乘不一定相等，即$AB\neq BA$。
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若方阵$AB$乘积满足$AB=BA$，则表示其是可交换的。
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$A\neq O$，$B\neq O$，但是不能推出$AB\neq O$或$BA\neq O$。
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$AB=O$不能推出$A=O$或$B=O$。
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$A(X-Y)=O$当$A\neq O$也不能推出$X=Y$。
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\begin{itemize}
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\item $(AB)C=A(BC)$。
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\item $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$。
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\item $A(B+C)=AB+AC$。
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\item $(B+C)A=BA+CA$。
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\item $EA=AE=A$。
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\end{itemize}
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$\lambda E$称为纯量阵，$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$。
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若$A_{m\times s}$，$B_{s\times n}=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$，其中$\beta$为$n$行的列矩阵，则：
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$AB=A(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(A\beta_1,\cdots,A\beta_n)$。
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\subsection{矩阵幂}
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只有方阵才能连乘，从而只有方阵才有幂。
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若$A$是$n$阶方阵，所以：
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$$A^1=A\text{，}A^2=A^1A^1\text{，}\cdots\text{，}A^{k+1}=A^kA^1$$
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\begin{itemize}
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\item $A^kA^l=A^{k+l}$。
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\item $(A^k)^l=A^{kl}$。
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\end{itemize}
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因为矩阵乘法一般不满足交换率，所以$(AB)^k\neq A^kB^k$。只有$AB$可交换时才相等。
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若$A\neq 0$不能推出$A^k\neq 0$，如：
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$A=\left(
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\begin{array}{cc}
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0 & 2 \\
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||||
0 & 0
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\end{array}
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\right)\neq 0$。$A^2=\left(
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\begin{array}{cc}
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||||
0 & 2 \\
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||||
0 & 0
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||||
\end{array}
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\right)\left(
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||||
\begin{array}{cc}
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||||
0 & 2 \\
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||||
0 & 0
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||||
\end{array}
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\right)=\left(
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\begin{array}{cc}
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||||
0 & 0 \\
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||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
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\right)=O$。
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$A=\left(
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\begin{array}{ccc}
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||||
0 & 1 & 1 \\
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0 & 0 & 1 \\
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0 & 0 & 0
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\end{array}
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\right)$，$A^3=O$。
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矩阵幂可以同普通多项式进行处理。
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如$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+n$，对于$A$就是$f(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_nE$。
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$f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
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\subsection{矩阵转置}
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把矩阵$A$的行换成同序数的列就得到一个新矩阵，就是$A$的转置矩阵$A^T$。若$A$为$m\times n$，则$A^T$为$n\times m$。
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\begin{itemize}
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\item $(A^T)^T=A$。
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\item $(A+B)^T=A^T+B^T$。
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\item $(\lambda A)^T=\lambda A^T$。
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\item $(AB)^T=B^TA^T$。
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\end{itemize}
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对称矩阵或对称阵：元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
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\subsection{方阵行列式}
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由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式称为矩阵$A$的行列式，记为$\textrm{det}\,A$或$\vert A\vert$。
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\subsection{线性方程组与矩阵}
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\begin{itemize}
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\item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
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\item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。
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\item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
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\end{itemize}
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伴随矩阵或伴随阵：行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$构成的矩阵。
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$$A^*=\left(
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\begin{array}{cccc}
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||||
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
|
||||
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
|
||||
\end{array}
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\right)$$
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其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。
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\section{线性方程组}
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矩阵是根据线性方程组得到。
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\subsection{线性方程组与矩阵}
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\begin{multicols}{2}
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$\begin{cases}
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||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\
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||||
\cdots \\
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||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0
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||||
\end{cases}$ \medskip
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||||
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||||
$n$元齐次线性方程组。
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||||
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||||
$\begin{cases}
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||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
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||||
\cdots \\
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||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$ \medskip
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||||
$n$元非齐次线性方程组。
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\end{multicols}
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||||
对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其零解，若有一组不全为零的解，则称为其非零解。其一定有零解，但是不一定有非零解。
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||||
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||||
对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。
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||||
令系数矩阵$A_{m\times n}=\left(
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||||
\begin{array}{ccc}
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||||
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，未知数矩阵$X_{n\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
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||||
x_1 \\
|
||||
\cdots \\
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||||
x_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，常数项矩阵$b_{m\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_m
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，增广矩阵$B_{m\times(n+1)}=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
所以$AX=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
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||||
从而$AX=b$等价于$\begin{cases}
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||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。
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||||
从而矩阵可以简单表示线性方程。
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\subsection{线性方程组的解}
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对于一元一次线性方程：$ax=b$：
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\begin{itemize}
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\item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。
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\item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。
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||||
\end{itemize}
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当推广到多元一次线性方程组：$AX=b$，如何求出$X$这一系列的$x$的解？
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从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。
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当$m<n$时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有$n-m$个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。
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当$m=n$时代表约束与变量数量相等，此时又要分三种情况。
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当所有的约束条件其中存在线性相关，即一部分约束条件可以由其他约束表示，则代表这部分约束条件是没用的，实际上的约束条件变少，从而情况等于$m<n$，结果是无数解。
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当所有的约束条件不存在线性相关，但是一部分约束条件互相矛盾，则约束条件下就无法解出解，从而结果是无实数解。
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当所有的约束条件不存在线性相关，且相互之间不存在矛盾情况，这时候才会解出一个实数解，从而结果是有唯一实解。
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若使用矩阵来解决线性方程组的问题，其系数矩阵$A_{m\times n}$。
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对于$A\neq O$，则$AX=b$，若存在一个矩阵$B_{n\times n}$类似$\dfrac{1}{a}$，使得$BAX=Bb$，解得$EX=X=Bb$，这个$B$就是$A$的逆矩阵。
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||||
对于$A=O$即不可逆，需要判断$b$是否为0，若不是则无实数解，若是则无穷解，这种判断需要用到增广矩阵，需要用到矩阵的秩判断。
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\section{逆矩阵}
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||||
\end{document}
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