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\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
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% 使用颜色
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% 设置四级目录与标题
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% 因为所以
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\usepackage{amsmath}
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% 数学公式
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\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
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% 超链接
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\usepackage{rotating}
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% 用于旋转对象（旋转包）
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\author{Didnelpsun}
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\title{行列式}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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\section{逆序}
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||
逆序一般只会考一个数列的逆序数，一般以自然数从小到大为标准次序。
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对于逆序数的计算一般是数，假设一共有$n$项，则需要依次从$i$向后判断各项与当前项的大小，最后相加。
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\subsection{有穷排列}
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||
对于给出几个数字的有限排列，只需要直接计算即可。
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\textbf{例题：}求2413的逆序数。
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2的逆序有21一个。4的逆序与41、43两个。1无逆序数，所以一共逆序数为3。
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\subsection{无穷排列}
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\textbf{例题：}求$13\cdots(2n-1)(2n)(2n-2)\cdots2$的逆序数。
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这个序列分为两个部分，第一个是前面的$13\cdots(2n-1)$部分，这个部分无逆序。
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||
第二个部分是后面的$(2n)(2n-2)\cdots2$，这个序列是全部逆序的，所以考虑其第二个内部一共有$n$个数，从前往后依次有$n,(n-1),\cdots,1$个逆序，所以逆序数为$\dfrac{n(n-1)}{2}$。
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||
|
||
然后是考虑第二个部分对于第一个部分的逆序。$2n-2$对$2n-1$产生一个逆序，到最后的2对前面的$3\cdots(2n-1)$都产生了逆序一共$n-1$个，所以一共$\dfrac{n(n-1)}{2}$个逆序。
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||
所以最后一共加起来与$n(n-1)$个逆序。
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\section{因式项}
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||
需要求出带有某些因子的因式项，其实就是对顺序的排列组合，若已经给出某些因式，则因式项的其他因子就必须是其他数值。
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||
且还要考虑因式项的正负号，即选择的值序列的逆序数。
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\textbf{例题：}写出四阶行列式中含有$a_{11}a_{23}$的因式项。
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因为是四阶行列式，且含有$a_{11}a_{23}$，所以余下来的$a_{3?}$和$a_{4?}$中的$?$只有2和4可选。
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||
若是$a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$，则列坐标序列为$1324$，从而逆序数为1，所以该项为$-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$。
|
||
|
||
若是$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$，则列坐标序列为$1342$，从而逆序数为2，所以该项为$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。
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||
$\therefore\,-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。
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\section{行列式}
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||
包含直接计算行列式的值和已知行列式值计算参数值两种体型，基本上求解方式一致。
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||
证明行列式值与计算行列式值的题型不同的是，其行列式的值是固定给出的，一方面虽然约束了解题思路，一方面也给出了解题的方向，需要结果与给定值“靠近”。
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\subsection{基本行列式与计算}
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||
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||
\subsubsection{三角行列式}
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$\left|\begin{array}{cccc}
|
||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||
& \ddots & \cdots & a_{2n} \\
|
||
& & \ddots & \vdots \\
|
||
& & & a_{nn}
|
||
\end{array}\right|=
|
||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||
a_{11} & & & \\
|
||
a_{21} & \ddots & & \\
|
||
\vdots & \cdots & \ddots & \\
|
||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||
\end{array}\right|=
|
||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||
a_{11} & & & \\
|
||
& \ddots & & \\
|
||
& & \ddots & \\
|
||
& & & a_{nn}
|
||
\end{array}\right|=a_{11}\cdots a_{nn}$
|
||
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||
\subsubsection{反三角行列式}
|
||
|
||
$\left|\begin{array}{cccc}
|
||
& & & a_{1n} \\
|
||
& & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & a_{2n} \\
|
||
& \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \cdots & \vdots \\
|
||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||
\end{array}\right|=
|
||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||
a_{21} & \cdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
|
||
\vdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
|
||
a_{n1} & & &
|
||
\end{array}\right|=
|
||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||
& & & a_{1n} \\
|
||
& & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
|
||
& \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
|
||
a_{n1} & & &
|
||
\end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}\cdots a_{n1}$
|
||
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||
\subsubsection{范德蒙德行列式}
|
||
|
||
$\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 1 & \cdots & 1 \\
|
||
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
|
||
\cdots & \cdots & \vdots & \cdots \\
|
||
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\
|
||
\end{array}\right|=\sum\limits_{1\leqslant j<i\leqslant n}(a_i-a_j)$
|
||
|
||
\subsubsection{分块行列式}
|
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|
||
$\left|\begin{array}{cc}
|
||
A & O \\
|
||
O & B
|
||
\end{array}\right|=
|
||
\left|\begin{array}{cc}
|
||
A & * \\
|
||
O & B
|
||
\end{array}\right|=
|
||
\left|\begin{array}{cc}
|
||
A & O \\
|
||
* & B
|
||
\end{array}\right|=\vert A\vert\cdot\vert B\vert$。
|
||
|
||
\subsubsection{基本行列式计算}
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||
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||
基本的计算方式是对角线法则计算与行列式展开两种方法。若符合基本特殊行列式的可以按照公式。
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||
|
||
但是对于一般的高阶行列式而言计算方式如下：
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||
\begin{itemize}
|
||
\item 通过行列式的对换让一行或一列只有一个元素不为0，进行行列式展开不断降阶，最后变成第三阶的时候使用对角线法则。
|
||
\item 通过行列式的对换从上往下让行列式变成上三角行列式，对角线相乘就得到结果。
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\subsection{提取公因式}
|
||
|
||
可以提取某一行或某一列的公因式。
|
||
|
||
\textbf{例题：}证明$\left|\begin{array}{ccc}
|
||
a^2 & ab & b^2 \\
|
||
2a & a+b & 2b \\
|
||
1 & 1 & 1
|
||
\end{array}\right|=(a-b)^3$。
|
||
|
||
因为是证明题，而结果是$(a-b)$的变形，所以我们需要不断提取出$a-b$的形式。
|
||
|
||
$=-\left|\begin{array}{ccc}
|
||
1 & 1 & 1 \\
|
||
2a & a+b & 2b \\
|
||
a^2 & ab & b^2
|
||
\end{array}\right|
|
||
=-\left|\begin{array}{ccc}
|
||
0 & 0 & 1 \\
|
||
a-b & a-b & 2b \\
|
||
a(a-b) & b(a-b) & b^2
|
||
\end{array}\right|
|
||
=-(a-b)^2\left|\begin{array}{ccc}
|
||
0 & 0 & 1 \\
|
||
1 & 1 & 2b \\
|
||
a & b & b^2
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=-(a-b)^2\cdot1\cdot(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc}
|
||
1 & 1 \\
|
||
a & b
|
||
\end{array}\right|=-(a-b)^2(b-a)=(a-b)^3$。
|
||
|
||
\textbf{例题：}证明$\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 1 & 1 & 1 \\
|
||
a & b & c & d \\
|
||
a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\
|
||
a^4 & b^4 & c^4 & d^4
|
||
\end{array}\right|=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)$。
|
||
|
||
这个形式看起来像范德蒙德行列式，但是根据后面的结果，发现这无法通过范德蒙德行列式的公式来计算，所以按照一般方法相减得到因子：
|
||
|
||
$=\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 1 & 1 & 1 \\
|
||
0 & b-a & c-a & d-a \\
|
||
a^2-a^2 & b^2-ab & c^2-ac & d^2-ad \\
|
||
a^4-a^4 & b^4-a^2b^2 & c^4-a^2c^2 & d^4-a^2d^2
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 1 & 1 & 1 \\
|
||
0 & b-a & c-a & d-a \\
|
||
0 & b(b-a) & c(c-a) & d(d-a) \\
|
||
0 & b^2(b+a)(b-a) & c^2(c+a)(c-a) & d^2(d+a)(d-a)
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 1 & 1 & 1 \\
|
||
0 & 1 & 1 & 1 \\
|
||
0 & b & c & d \\
|
||
0 & b^2(b+a) & c^2(c+a) & d^2(d+a)
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)\cdot 1\cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}
|
||
1 & 1 & 1 \\
|
||
b & c & d \\
|
||
b^2(b+a) & c^2(c+a) & d^2(d+a)
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{ccc}
|
||
1 & 1 & 1 \\
|
||
0 & c-b & d-b \\
|
||
0 & c(c^2+ac-ab-b^2) & d(d^2+ad-ab-b^2)
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{ccc}
|
||
1 & 1 & 1 \\
|
||
0 & c-b & d-b \\
|
||
0 & c(a+b+c)(c-b) & d(a+b+d)(d-b)
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{cc}
|
||
c-b & d-b \\
|
||
c(a+b+c)(c-b) & d(a+b+d)(d-b)
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\left|\begin{array}{cc}
|
||
1 & 1 \\
|
||
c(a+b+c) & d(a+b+d)
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(c(a+b+c)-d(a+b+d))$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(ca+cb+c^2-da-db-d^2)$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(a(c-d)+b(c-d)+(c+d)(c-d))$
|
||
|
||
$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(c-d)(a+b+c+d)$。
|
||
|
||
\subsection{转换三角行列式}
|
||
|
||
通过行变换或列变换将行列式转换三角行列式，然后就可以根据对角线乘积得到结果。
|
||
|
||
\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 2 & 3 & 4 \\
|
||
1 & 3 & 4 & 1 \\
|
||
1 & 4 & 1 & 2 \\
|
||
1 & 1 & 2 & 3
|
||
\end{array}\right|$。
|
||
|
||
$=\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 2 & 3 & 4 \\
|
||
0 & 1 & 1 & -3 \\
|
||
0 & 1 & -3 & 1 \\
|
||
0 & -1 & -1 & -1
|
||
\end{array}\right|
|
||
=\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 2 & 3 & 4 \\
|
||
0 & 1 & 1 & -3 \\
|
||
0 & 0 & -4 & 4 \\
|
||
0 & 0 & 0 & -4
|
||
\end{array}\right|=16$。
|
||
|
||
\subsection{成比例为0}
|
||
|
||
当行列式行列变换后某一行或某一列与另一行或列成比例，则整个行列式值为0。
|
||
|
||
\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc}
|
||
2 & 1 & 4 & 1 \\
|
||
3 & -1 & 2 & 1 \\
|
||
1 & 2 & 3 & 2 \\
|
||
5 & 0 & 6 & 2 \\
|
||
\end{array}\right|$。
|
||
|
||
$=\left|\begin{array}{cccc}
|
||
0 & -3 & -2 & -3 \\
|
||
0 & -7 & -7 & -5 \\
|
||
1 & 2 & 3 & 2 \\
|
||
0 & -10 & -9 & -8 \\
|
||
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 2 & 3 & 2 \\
|
||
0 & -3 & -2 & -3 \\
|
||
0 & -7 & -7 & -5 \\
|
||
0 & -10 & -9 & -8 \\
|
||
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 2 & 3 & 2 \\
|
||
0 & 3 & 2 & 3 \\
|
||
0 & 7 & 7 & 5 \\
|
||
0 & -10 & -9 & -8 \\
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=3\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 2 & 3 & 2 \\
|
||
0 & 1 & \dfrac{2}{3} & 1 \\
|
||
0 & 7 & 7 & 5 \\
|
||
0 & -10 & -9 & -8 \\
|
||
\end{array}\right|
|
||
=3\left|\begin{array}{cccc}
|
||
1 & 2 & 3 & 2 \\
|
||
0 & 1 & \dfrac{2}{3} & 1 \\
|
||
0 & 0 & \dfrac{7}{3} & -2 \\
|
||
0 & 0 & -\dfrac{7}{3} & 2 \\
|
||
\end{array}\right|=0$。
|
||
|
||
% \subsection{分块行列式}
|
||
|
||
% 当行列式左下角和右上角的矩阵为零矩阵时可以只考虑对角线矩阵的乘积值。
|
||
|
||
\subsection{拆项}
|
||
|
||
若行列式某一行或一列是有两个值构成，则可以把其拆开，其他部分行列不变。
|
||
|
||
\textbf{例题：}证明$\left|\begin{array}{ccc}
|
||
ax+by & ay+bz & az+bx \\
|
||
ay+bz & az+bx & ax+by \\
|
||
az+bx & ax+by & ay+bz
|
||
\end{array}\right|=(a^3+b^3)\left|\begin{array}{ccc}
|
||
x & y & z \\
|
||
y & z & x \\
|
||
z & x & y
|
||
\end{array}\right|$。
|
||
|
||
首先因为上下因式的系数是$ab$，所以无论怎么样减都无法消去多余的$xy$或$z$得到结果的行列式中只有单个因子的情况，所以只能拆项，从第一个项开始拆：
|
||
|
||
$=a\left|\begin{array}{ccc}
|
||
x & ay+bz & az+bx \\
|
||
y & az+bx & ax+by \\
|
||
z & ax+by & ay+bz
|
||
\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{ccc}
|
||
y & ay+bz & az+bx \\
|
||
z & az+bx & ax+by \\
|
||
x & ax+by & ay+bz
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=a^2\left|\begin{array}{ccc}
|
||
x & ay+bz & z \\
|
||
y & az+bx & x \\
|
||
z & ax+by & y
|
||
\end{array}\right|+b^2\left|\begin{array}{ccc}
|
||
y & z & az+bx \\
|
||
z & x & ax+by \\
|
||
x & y & ay+bz
|
||
\end{array}\right|=a^3\left|\begin{array}{ccc}
|
||
x & y & z \\
|
||
y & z & x \\
|
||
z & x & y
|
||
\end{array}\right|+b^3\left|\begin{array}{ccc}
|
||
y & z & x \\
|
||
z & x & y \\
|
||
x & y & z
|
||
\end{array}\right|$
|
||
|
||
$=a^3\left|\begin{array}{ccc}
|
||
x & y & z \\
|
||
y & z & x \\
|
||
z & x & y
|
||
\end{array}\right|+b^3\left|\begin{array}{ccc}
|
||
x & y & z \\
|
||
y & z & x \\
|
||
z & x & y
|
||
\end{array}\right|=(a^3+b^3)\left|\begin{array}{ccc}
|
||
x & y & z \\
|
||
y & z & x \\
|
||
z & x & y
|
||
\end{array}\right|
|
||
$
|
||
|
||
\subsection{行列乘积为定值}
|
||
|
||
当行列式每一行或每一列相乘都为一个固定的值，可以把每行或每列的公因子提出来来简化计算。
|
||
|
||
\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{ccc}
|
||
-ab & ac & ae \\
|
||
bd & -cd & de \\
|
||
bf & cf & -ef
|
||
\end{array}\right|$。
|
||
|
||
$=adf\left|\begin{array}{ccc}
|
||
-b & c & e \\
|
||
b & -c & e \\
|
||
b & c & -e
|
||
\end{array}\right|
|
||
=abcdef\left|\begin{array}{ccc}
|
||
-1 & 1 & 1 \\
|
||
1 & -1 & 1 \\
|
||
1 & 1 & -1
|
||
\end{array}\right|=4abcdef$。
|
||
|
||
\subsection{行列加和为定值}
|
||
|
||
当行列式每一行或每一列相加都为一个固定的值，可以把第二行开始的各行都加到第一行，再提取公因式。
|
||
|
||
\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc}
|
||
x & a & \cdots & a \\
|
||
a & x & \cdots & a \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
a & a & \cdots & x \\
|
||
\end{array}\right|$。
|
||
|
||
$=\left|\begin{array}{cccc}
|
||
x+(n-1)a & x+(n-1)a & \cdots & x+(n-1)a \\
|
||
a & x & \cdots & a \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||
a & a & \cdots & x \\
|
||
\end{array}\right|$
|
||
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$=(x+(n-1)a)\left|\begin{array}{cccc}
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1 & 1 & \cdots & 1 \\
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a & x & \cdots & a \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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||
a & a & \cdots & x \\
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\end{array}\right|=(x+(n-1)a)\left|\begin{array}{cccc}
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||
1 & 1 & \cdots & 1 \\
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& x-a & & \\
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||
& & \ddots & \\
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& & & x-a \\
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\end{array}\right|$
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$=(x+(n-1)a)(x-a)^{n-1}$。
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\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc}
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1+a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
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a_2 & 1+a_2 & \cdots & a_2 \\
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||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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||
a_n & a_n & \cdots & 1+a_n \\
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||
\end{array}\right|$。
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$=(1+a_1+a_2+\cdots+a_n)\left|\begin{array}{cccc}
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1 & 1 & \cdots & 1 \\
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||
a_2 & 1+a_2 & \cdots & a_2 \\
|
||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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||
a_n & a_n & \cdots & 1+a_n \\
|
||
\end{array}\right|$
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$=(1+a_1+a_2+\cdots+a_n)\left|\begin{array}{cccc}
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1 & 0 & \cdots & 0 \\
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||
a_2 & 1 & \cdots & 0 \\
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||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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a_n & 0 & \cdots & 1 \\
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\end{array}\right|=(1+a_1+a_2+\cdots+a_n)$。
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\subsection{X型矩阵}
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\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{ccccccc}
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a & & & & & b \\
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& \ddots & & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
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& & a & b \\
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& & c & d \\
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& \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & & \ddots \\
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c & & & & & d
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\end{array}\right|_{2n}$。
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将其$2n$行不断与$2n-1\cdots2$行对换，再将其$2n$列不断与$2n-1\cdots2$列对换，一共对换$2(2n-2)$次，一定是一个偶数：
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$=\left|\begin{array}{cccccccc}
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a & b & 0 & & & \cdots & & 0 \\
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c & d & 0 & & & \cdots & & 0 \\
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0 & 0 & a & & & & & b \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
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\vdots & \vdots & \vdots & & a & b \\
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\vdots & \vdots & \vdots & & c & d \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & & \ddots \\
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0 & 0 & c & & & & & d
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\end{array}\right|_{2n}$，根据分块行列式的计算方式：
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$D_{2n}=D_2D_{2(n-1)}=(ad-bc)D_{2(n-1)}$，所以不断递推可以得到结果为$(ad-bc)^n$。
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\section{代数余子式}
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已知某一行或列展开就是每一行或列的元素乘对应的代数余子式，就可以得到整个矩阵的值。若是求某一行或某一列的代数余子式的值，将其系数代入矩阵求就可以了。
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\textbf{例题：}设$D=\left|\begin{array}{cccc}
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3 & 1 & -1 & 2 \\
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-5 & 1 & 3 & -4 \\
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2 & 0 & 1 & -1 \\
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1 & -5 & 3 &-3
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\end{array}\right|$，$D$的$(i,j)$元的代数余子式设为$A_{ij}$，求$A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}$。
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$A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}=\left|\begin{array}{cccc}
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3 & 1 & -1 & 2 \\
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-5 & 1 & 3 & -4 \\
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1 & 3 & -2 & 2 \\
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1 & -5 & 3 &-3
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\end{array}\right|
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=\left|\begin{array}{cccc}
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1 & 3 & -2 & 2 \\
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0 & 8 & -5 & 5 \\
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0 & 0 & 3 & -4 \\
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0 & 0 & 0 & 1
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\end{array}\right|=24$。
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\end{document}
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