mirror of
https://github.com/Estom/notes.git
synced 2026-04-05 03:48:56 +08:00
minibatch
This commit is contained in:
yinkanglong_lab
@@ -199,6 +199,8 @@ $$\sigma = \sqrt{\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}x^{{(i)}^2}}$$
|
||||
|
||||
## 梯度消失和梯度爆炸
|
||||
|
||||
### 梯度消失和梯度爆炸
|
||||
|
||||
* 在梯度函数上出现的以指数级递增或者递减的情况分别称为**梯度爆炸**或者**梯度消失**。
|
||||
|
||||
* 假定 $g(z) = z, b^{[l]} = 0$，对于目标输出有：
|
||||
@@ -214,27 +216,23 @@ $$\hat{y} = W^{[L]}W^{[L-1]}...W^{[2]}W^{[1]}X$$
|
||||
|
||||
$$z={w}_1{x}_1+{w}_2{x}_2 + ... + {w}_n{x}_n + b$$
|
||||
|
||||
* 当输入的数量 n 较大时，我们希望每个 wi 的值都小一些，这样它们的和得到的 z 也较小。
|
||||
|
||||
为了得到较小的 wi，设置`Var(wi)=1/n`，这里称为 **Xavier initialization**。
|
||||
* 当输入的数量 n 较大时，我们希望每个 wi 的值都小一些，这样它们的和得到的 z 也较小。为了得到较小的 wi，设置`Var(wi)=1/n`，这里称为 **Xavier initialization**。
|
||||
|
||||
```py
|
||||
WL = np.random.randn(WL.shape[0], WL.shape[1]) * np.sqrt(1/n)
|
||||
```
|
||||
|
||||
其中 n 是输入的神经元个数，即`WL.shape[1]`。
|
||||
* randn会生成标准正泰分布的样本，均值是0，方差是1。乘以$\sqrt{\frac{1}{n}}$，样本的方差会乘以$\frac{1}{n}$。其中 n 是某个神经元的输入神经元个数，即`WL.shape[1]`。
|
||||
|
||||
这样，激活函数的输入 x 近似设置成均值为 0，标准方差为 1，神经元输出 z 的方差就正则化到 1 了。虽然没有解决梯度消失和爆炸的问题，但其在一定程度上确实减缓了梯度消失和爆炸的速度。
|
||||
* 这样，激活函数的输入 x 近似设置成均值为 0，标准方差为 1，神经元输出 z 的方差就正则化到 1 了。虽然没有解决梯度消失和爆炸的问题，但其在一定程度上确实减缓了梯度消失和爆炸的速度。
|
||||
|
||||
同理，也有 **He Initialization**。它和 Xavier initialization 唯一的区别是`Var(wi)=2/n`，适用于 **ReLU** 作为激活函数时。
|
||||
|
||||
当激活函数使用 ReLU 时，`Var(wi)=2/n`；当激活函数使用 tanh 时，`Var(wi)=1/n`。
|
||||
* 同理，也有 **He Initialization**。它和 Xavier initialization 唯一的区别是`Var(wi)=2/n`，适用于 **ReLU** 作为激活函数时。当激活函数使用 ReLU 时，`Var(wi)=2/n`；当激活函数使用 tanh 时，`Var(wi)=1/n`。
|
||||
|
||||
## 梯度检验（Gradient checking）
|
||||
|
||||
### 梯度的数值逼近
|
||||
|
||||
使用双边误差的方法去逼近导数，精度要高于单边误差。
|
||||
* 使用双边误差的方法去逼近导数，精度要高于单边误差。
|
||||
|
||||
* 单边误差：
|
||||
|
||||
@@ -242,7 +240,7 @@ WL = np.random.randn(WL.shape[0], WL.shape[1]) * np.sqrt(1/n)
|
||||
|
||||
$$f'(\theta) = {\lim\_{\varepsilon\to 0}} = \frac{f(\theta + \varepsilon) - (\theta)}{\varepsilon}$$
|
||||
|
||||
误差：$O(\varepsilon)$
|
||||
* 误差：$O(\varepsilon)$
|
||||
|
||||
* 双边误差求导（即导数的定义）：
|
||||
|
||||
@@ -250,45 +248,41 @@ $$f'(\theta) = {\lim\_{\varepsilon\to 0}} = \frac{f(\theta + \varepsilon) - (\th
|
||||
|
||||
$$f'(\theta) = {\lim\_{\varepsilon\to 0}} = \frac{f(\theta + \varepsilon) - (\theta - \varepsilon)}{2\varepsilon}$$
|
||||
|
||||
误差：$O(\varepsilon^2)$
|
||||
* 误差：$O(\varepsilon^2)$
|
||||
|
||||
当 ε 越小时，结果越接近真实的导数，也就是梯度值。可以使用这种方法来判断反向传播进行梯度下降时，是否出现了错误。
|
||||
* 当 ε 越小时，结果越接近真实的导数，也就是梯度值。可以使用这种方法来判断反向传播进行梯度下降时，是否出现了错误。
|
||||
|
||||
### 梯度检验的实施
|
||||
## 梯度检验的实施
|
||||
|
||||
#### 连接参数
|
||||
### 连接参数
|
||||
|
||||
将 $W^{[1]}$，$b^{[1]}$，...，$W^{[L]}$，$b^{[L]}$全部连接出来，成为一个巨型向量 θ。这样，
|
||||
* 将 $W^{[1]}$，$b^{[1]}$，...，$W^{[L]}$，$b^{[L]}$全部连接出来，成为一个巨型向量 θ。这样，
|
||||
|
||||
$$J(W^{[1]}, b^{[1]}, ..., W^{[L]}，b^{[L]}) = J(\theta)$$
|
||||
|
||||
同时，对 $dW^{[1]}$，$db^{[1]}$，...，$dW^{[L]}$，$db^{[L]}$执行同样的操作得到巨型向量 dθ，它和 θ 有同样的维度。
|
||||
* 同时，对 $dW^{[1]}$，$db^{[1]}$，...，$dW^{[L]}$，$db^{[L]}$执行同样的操作得到巨型向量 dθ，它和 θ 有同样的维度。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
现在，我们需要找到 dθ 和代价函数 J 的梯度的关系。
|
||||
* 现在，我们需要找到 dθ 和代价函数 J 的梯度的关系。
|
||||
|
||||
#### 进行梯度检验
|
||||
### 进行梯度检验
|
||||
|
||||
求得一个梯度逼近值
|
||||
* 求得一个梯度逼近值
|
||||
|
||||
$$d\theta_{approx}[i] ＝ \frac{J(\theta\_1, \theta\_2, ..., \theta\_i+\varepsilon, ...) - J(\theta\_1, \theta\_2, ..., \theta\_i-\varepsilon, ...)}{2\varepsilon}$$
|
||||
|
||||
应该
|
||||
|
||||
$$\approx{d\theta[i]} = \frac{\partial J}{\partial \theta_i}$$
|
||||
|
||||
因此，我们用梯度检验值
|
||||
* 因此，我们用梯度检验值
|
||||
|
||||
$$\frac{{||d\theta\_{approx} - d\theta||}\_2}{{||d\theta\_{approx}||}\_2+{||d\theta||}\_2}$$
|
||||
$$\frac{{||d\theta_{approx} - d\theta||}_2}{{||d\theta_{approx}||}_2+{||d\theta||}_2}$$
|
||||
|
||||
检验反向传播的实施是否正确。其中，
|
||||
* 检验反向传播的实施是否正确。其中，
|
||||
|
||||
$${||x||}\_2 = \sum^N\_{i=1}{|x_i|}^2$$
|
||||
$${||x||}_2 = \sum^N_{i=1}{|x_i|}^2$$
|
||||
|
||||
表示向量 x 的 2-范数（也称“欧几里德范数”）。
|
||||
|
||||
如果梯度检验值和 ε 的值相近，说明神经网络的实施是正确的，否则要去检查代码是否存在 bug。
|
||||
* 表示向量 x 的 2-范数（也称“欧几里德范数”）。如果梯度检验值和 ε 的值相近，说明神经网络的实施是正确的，否则要去检查代码是否存在 bug。
|
||||
|
||||
### 在神经网络实施梯度检验的实用技巧和注意事项
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -1,31 +1,34 @@
|
||||
<h1 align="center">优化算法</h1>
|
||||
# mini-batch优化算法
|
||||
|
||||
深度学习难以在大数据领域发挥最大效果的一个原因是，在巨大的数据集基础上进行训练速度很慢。而优化算法能够帮助快速训练模型，大大提高效率。
|
||||
> 深度学习难以在大数据领域发挥最大效果的一个原因是，在巨大的数据集基础上进行训练速度很慢。而优化算法能够帮助快速训练模型，大大提高效率。
|
||||
|
||||
## batch 梯度下降法
|
||||
## 1 mini-batch梯度下降方法
|
||||
### batch 梯度下降法
|
||||
|
||||
**batch 梯度下降法**（批梯度下降法，我们之前一直使用的梯度下降法）是最常用的梯度下降形式，即同时处理整个训练集。其在更新参数时使用所有的样本来进行更新。
|
||||
* **batch 梯度下降法**（批梯度下降法，我们之前一直使用的梯度下降法）是最常用的梯度下降形式，即同时处理整个训练集。其在更新参数时使用所有的样本来进行更新。
|
||||
|
||||
对整个训练集进行梯度下降法的时候，我们必须处理整个训练数据集，然后才能进行一步梯度下降，即每一步梯度下降法需要对整个训练集进行一次处理，如果训练数据集很大的时候，处理速度就会比较慢。
|
||||
* 对整个训练集进行梯度下降法的时候，我们必须处理整个训练数据集，然后才能进行一步梯度下降，即每一步梯度下降法需要对整个训练集进行一次处理，如果训练数据集很大的时候，处理速度就会比较慢。
|
||||
|
||||
但是如果每次处理训练数据的一部分即进行梯度下降法，则我们的算法速度会执行的更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为 **mini-batch**。
|
||||
* 但是如果每次处理训练数据的一部分即进行梯度下降法，则我们的算法速度会执行的更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为**mini-batch**。
|
||||
|
||||
## Mini-Batch 梯度下降法
|
||||
### Mini-Batch 梯度下降法
|
||||
|
||||
**Mini-Batch 梯度下降法**（小批量梯度下降法）每次同时处理单个的 mini-batch，其他与 batch 梯度下降法一致。
|
||||
* **Mini-Batch 梯度下降法**（小批量梯度下降法）每次同时处理单个的 mini-batch，其他与 batch 梯度下降法一致。
|
||||
|
||||
使用 batch 梯度下降法，对整个训练集的一次遍历只能做一个梯度下降；而使用 Mini-Batch 梯度下降法，对整个训练集的一次遍历（称为一个 epoch）能做 mini-batch 个数个梯度下降。之后，可以一直遍历训练集，直到最后收敛到一个合适的精度。
|
||||
* 使用 batch 梯度下降法，对整个训练集的一次遍历只能做一个梯度下降；而使用 Mini-Batch 梯度下降法，对整个训练集的一次遍历（称为一个 **epoch**）能做 mini-batch 个数个梯度下降。之后，可以一直遍历训练集，直到最后收敛到一个合适的精度。
|
||||
|
||||
batch 梯度下降法和 Mini-batch 梯度下降法代价函数的变化趋势如下：
|
||||
### 两者对比
|
||||
|
||||
|
||||
* batch 梯度下降法和 Mini-batch 梯度下降法代价函数的变化趋势如下：
|
||||
|
||||
### batch 的不同大小（size）带来的影响
|
||||
|
||||
|
||||
### batch-size带来的影响
|
||||
|
||||
* mini-batch 的大小为 1，即是**随机梯度下降法（stochastic gradient descent）**，每个样本都是独立的 mini-batch；
|
||||
* mini-batch 的大小为 m（数据集大小），即是 batch 梯度下降法；
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
* batch 梯度下降法：
|
||||
* 对所有 m 个训练样本执行一次梯度下降，**每一次迭代时间较长，训练过程慢**；
|
||||
@@ -37,7 +40,7 @@ batch 梯度下降法和 Mini-batch 梯度下降法代价函数的变化趋势
|
||||
* 有很多噪声，减小学习率可以适当；
|
||||
* 成本函数总体趋势向全局最小值靠近，但永远不会收敛，而是一直在最小值附近波动。
|
||||
|
||||
因此，选择一个`1 < size < m`的合适的大小进行 Mini-batch 梯度下降，可以实现快速学习，也应用了向量化带来的好处，且成本函数的下降处于前两者之间。
|
||||
> 因此，选择一个`1 < size < m`的合适的大小进行 Mini-batch 梯度下降，可以实现快速学习，也应用了向量化带来的好处，且成本函数的下降处于前两者之间。
|
||||
|
||||
### mini-batch 大小的选择
|
||||
|
||||
@@ -45,15 +48,13 @@ batch 梯度下降法和 Mini-batch 梯度下降法代价函数的变化趋势
|
||||
* 如果训练样本的大小比较大，选择 Mini-Batch 梯度下降法。为了和计算机的信息存储方式相适应，代码在 mini-batch 大小为 2 的幂次时运行要快一些。典型的大小为 $2^6$、$2^7$、...、$2^9$；
|
||||
* mini-batch 的大小要符合 CPU/GPU 内存。
|
||||
|
||||
mini-batch 的大小也是一个重要的超变量，需要根据经验快速尝试，找到能够最有效地减少成本函数的值。
|
||||
> mini-batch 的大小也是一个重要的超变量，需要根据经验快速尝试，找到能够最有效地减少成本函数的值。
|
||||
|
||||
### 获得 mini-batch 的步骤
|
||||
### mini-batch步骤
|
||||
|
||||
1. 将数据集打乱；
|
||||
2. 按照既定的大小分割数据集；
|
||||
|
||||
其中打乱数据集的代码：
|
||||
|
||||
```py
|
||||
m = X.shape[1]
|
||||
permutation = list(np.random.permutation(m))
|
||||
@@ -61,10 +62,9 @@ shuffled_X = X[:, permutation]
|
||||
shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))
|
||||
```
|
||||
|
||||
`np.random.permutation`与`np.random.shuffle`有两处不同：
|
||||
|
||||
1. 如果传给`permutation`一个矩阵，它会返回一个洗牌后的矩阵副本；而`shuffle`只是对一个矩阵进行洗牌，没有返回值。
|
||||
2. 如果传入一个整数，它会返回一个洗牌后的`arange`。
|
||||
* `np.random.permutation`与`np.random.shuffle`有两处不同：
|
||||
1. 如果传给`permutation`一个矩阵，它会返回一个洗牌后的矩阵副本；而`shuffle`只是对一个矩阵进行洗牌，没有返回值。
|
||||
2. 如果传入一个整数，它会返回一个洗牌后的`arange`。
|
||||
|
||||
### 符号表示
|
||||
|
||||
@@ -72,207 +72,187 @@ shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))
|
||||
* 使用上角中括号 l 表示神经网络的层数，$z^{[l]}$ 表示神经网络中第 l 层的 z 值；
|
||||
* 现在引入大括号 t 来代表不同的 mini-batch，因此有 $X^{t}$、$Y^{t}$。
|
||||
|
||||
## 指数平均加权
|
||||
## 2 指数平均加权
|
||||
|
||||
**指数加权平均（Exponentially Weight Average）**是一种常用的序列数据处理方式，计算公式为：
|
||||
### 指数加权平均定义
|
||||
|
||||
* **指数加权平均（Exponentially Weight Average）** 是一种常用的序列数据处理方式，计算公式为：
|
||||
|
||||
$$
|
||||
S\_t =
|
||||
S_t =
|
||||
\begin{cases}
|
||||
Y\_1, &t = 1 \\\\
|
||||
\beta S\_{t-1} + (1-\beta)Y_t, &t > 1
|
||||
Y_1, &t = 1 \\\\
|
||||
\beta S_{t-1} + (1-\beta)Y_t, &t > 1
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
其中 $Y\_t$ 为 t 下的实际值，$S\_t$ 为 t 下加权平均后的值，β 为权重值。
|
||||
* 其中 $Y_t$ 为 t 下的实际值，$S_t$ 为 t 下加权平均后的值，β 为权重值。指数加权平均数在统计学中被称为“指数加权移动平均值”。
|
||||
|
||||
指数加权平均数在统计学中被称为“指数加权移动平均值”。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
* 给定一个时间序列，例如伦敦一年每天的气温值，图中蓝色的点代表真实数据。对于一个即时的气温值，取权重值 β 为 0.9，根据求得的值可以得到图中的红色曲线，它反映了气温变化的大致趋势。
|
||||
|
||||
给定一个时间序列，例如伦敦一年每天的气温值，图中蓝色的点代表真实数据。对于一个即时的气温值，取权重值 β 为 0.9，根据求得的值可以得到图中的红色曲线，它反映了气温变化的大致趋势。
|
||||
|
||||
当取权重值 β=0.98 时，可以得到图中更为平滑的绿色曲线。而当取权重值 β=0.5 时，得到图中噪点更多的黄色曲线。**β 越大相当于求取平均利用的天数越多**，曲线自然就会越平滑而且越滞后。
|
||||
* 当取权重值 β=0.98 时，可以得到图中更为平滑的绿色曲线。而当取权重值 β=0.5 时，得到图中噪点更多的黄色曲线。**β 越大相当于求取平均利用的天数越多**，曲线自然就会越平滑而且越滞后。
|
||||
|
||||
### 理解指数平均加权
|
||||
|
||||
当 β 为 0.9 时，
|
||||
* 当 β 为 0.9 时，
|
||||
|
||||
$$v\_{100} = 0.9v\_{99} + 0.1 \theta\_{100}$$
|
||||
$$v_{100} = 0.9v_{99} + 0.1 \theta_{100}$$
|
||||
|
||||
$$v\_{99} = 0.9v\_{98} + 0.1 \theta\_{99}$$
|
||||
$$v_{99} = 0.9v_{98} + 0.1 \theta_{99}$$
|
||||
|
||||
$$v\_{98} = 0.9v\_{97} + 0.1 \theta\_{98}$$
|
||||
$$v_{98} = 0.9v_{97} + 0.1 \theta_{98}$$
|
||||
$$...$$
|
||||
|
||||
展开：
|
||||
$$v_{100} = 0.1 \theta_{100} + 0.1 * 0.9 \theta_{99} + 0.1 * {(0.9)}^2 \theta_{98} + ...$$
|
||||
|
||||
$$v\_{100} = 0.1 \theta\_{100} + 0.1 \* 0.9 \theta\_{99} + 0.1 \* {(0.9)}^2 \theta\_{98} + ...$$
|
||||
* 其中 θi 指第 i 天的实际数据。所有 θ 前面的系数（不包括 0.1）相加起来为 1 或者接近于 1，这些系数被称作**偏差修正（Bias Correction）**。
|
||||
|
||||
其中 θi 指第 i 天的实际数据。所有 θ 前面的系数（不包括 0.1）相加起来为 1 或者接近于 1，这些系数被称作**偏差修正（Bias Correction）**。
|
||||
* 根据函数极限的一条定理：
|
||||
|
||||
根据函数极限的一条定理：
|
||||
$${\lim_{\beta\to 0}}(1 - \beta)^{\frac{1}{\beta}} = \frac{1}{e} \approx 0.368$$
|
||||
|
||||
$${\lim\_{\beta\to 0}}(1 - \beta)^{\frac{1}{\beta}} = \frac{1}{e} \approx 0.368$$
|
||||
* 当 β 为 0.9 时，可以当作把过去 10 天的气温指数加权平均作为当日的气温，因为 10 天后权重已经下降到了当天的 1/3 左右。同理，当 β 为 0.98 时，可以把过去 50 天的气温指数加权平均作为当日的气温。因此，在计算当前时刻的平均值时，只需要前一天的平均值和当前时刻的值。
|
||||
|
||||
当 β 为 0.9 时，可以当作把过去 10 天的气温指数加权平均作为当日的气温，因为 10 天后权重已经下降到了当天的 1/3 左右。同理，当 β 为 0.98 时，可以把过去 50 天的气温指数加权平均作为当日的气温。
|
||||
|
||||
因此，在计算当前时刻的平均值时，只需要前一天的平均值和当前时刻的值。
|
||||
|
||||
$$v\_t = \beta v\_{t-1} + (1 - \beta)\theta_t$$
|
||||
|
||||
考虑到代码，只需要不断更新 v 即可：
|
||||
$$v_t = \beta v_{t-1} + (1 - \beta)\theta_t$$
|
||||
|
||||
$$v := \beta v + (1 - \beta)\theta_t$$
|
||||
<!--此处应有公式的实现代码-->
|
||||
|
||||
指数平均加权并**不是最精准**的计算平均数的方法，你可以直接计算过去 10 天或 50 天的平均值来得到更好的估计，但缺点是保存数据需要占用更多内存，执行更加复杂，计算成本更加高昂。
|
||||
|
||||
指数加权平均数公式的好处之一在于它只需要一行代码，且占用极少内存，因此**效率极高，且节省成本**。
|
||||
> 特点：指数平均加权并**不是最精准**的计算平均数的方法，你可以直接计算过去 10 天或 50 天的平均值来得到更好的估计，但缺点是保存数据需要占用更多内存，执行更加复杂，计算成本更加高昂。指数加权平均数公式的好处之一在于它只需要一行代码，且占用极少内存，因此**效率极高，且节省成本**。
|
||||
|
||||
### 指数平均加权的偏差修正
|
||||
|
||||
我们通常有
|
||||
$$v_0 = 0$$
|
||||
$$v_1 = 0.98v_0 + 0.02\theta_1$$
|
||||
|
||||
$$v\_0 = 0$$
|
||||
$$v\_1 = 0.98v\_0 + 0.02\theta\_1$$
|
||||
* $v_1$ 仅为第一个数据的 0.02（或者说 1-β），显然不准确。往后递推同理。因此，我们修改公式为
|
||||
|
||||
因此，$v\_1$ 仅为第一个数据的 0.02（或者说 1-β），显然不准确。往后递推同理。
|
||||
$$v_t = \frac{\beta v_{t-1} + (1 - \beta)\theta_t}{{1-\beta^t}}$$
|
||||
|
||||
因此，我们修改公式为
|
||||
* 随着 t 的增大，β 的 t 次方趋近于 0。因此当 t 很大的时候，偏差修正几乎没有作用，但是在前期学习可以帮助更好的预测数据。在实际过程中，一般会忽略前期偏差的影响。
|
||||
|
||||
$$v\_t = \frac{\beta v\_{t-1} + (1 - \beta)\theta_t}{{1-\beta^t}}$$
|
||||
### 动量梯度下降法
|
||||
|
||||
随着 t 的增大，β 的 t 次方趋近于 0。因此当 t 很大的时候，偏差修正几乎没有作用，但是在前期学习可以帮助更好的预测数据。在实际过程中，一般会忽略前期偏差的影响。
|
||||
|
||||
## 动量梯度下降法
|
||||
|
||||
**动量梯度下降（Gradient Descent with Momentum）**是计算梯度的指数加权平均数，并利用该值来更新参数值。具体过程为：
|
||||
* **动量梯度下降（Gradient Descent with Momentum）** 是计算梯度的指数加权平均数，并利用该值来更新参数值。具体过程为：
|
||||
|
||||
for l = 1, .. , L：
|
||||
|
||||
$$v\_{dW^{[l]}} = \beta v\_{dW^{[l]}} + (1 - \beta) dW^{[l]}$$
|
||||
$$v\_{db^{[l]}} = \beta v\_{db^{[l]}} + (1 - \beta) db^{[l]}$$
|
||||
$$W^{[l]} := W^{[l]} - \alpha v\_{dW^{[l]}}$$
|
||||
$$b^{[l]} := b^{[l]} - \alpha v\_{db^{[l]}}$$
|
||||
$$v_{dW^{[l]}} = \beta v_{dW^{[l]}} + (1 - \beta) dW^{[l]}$$
|
||||
$$v_{db^{[l]}} = \beta v_{db^{[l]}} + (1 - \beta) db^{[l]}$$
|
||||
$$W^{[l]} := W^{[l]} - \alpha v_{dW^{[l]}}$$
|
||||
$$b^{[l]} := b^{[l]} - \alpha v_{db^{[l]}}$$
|
||||
|
||||
其中，将动量衰减参数 β 设置为 0.9 是超参数的一个常见且效果不错的选择。当 β 被设置为 0 时，显然就成了 batch 梯度下降法。
|
||||
* 其中，将动量衰减参数 β 设置为 0.9 是超参数的一个常见且效果不错的选择。当 β 被设置为 0 时，显然就成了 batch 梯度下降法。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
进行一般的梯度下降将会得到图中的蓝色曲线，由于存在上下波动，减缓了梯度下降的速度，因此只能使用一个较小的学习率进行迭代。如果用较大的学习率，结果可能会像紫色曲线一样偏离函数的范围。
|
||||
* 进行一般的梯度下降将会得到图中的蓝色曲线，由于存在上下波动，减缓了梯度下降的速度，因此只能使用一个较小的学习率进行迭代。如果用较大的学习率，结果可能会像紫色曲线一样偏离函数的范围。
|
||||
|
||||
而使用动量梯度下降时，通过累加过去的梯度值来减少抵达最小值路径上的波动，加速了收敛，因此在横轴方向下降得更快，从而得到图中红色的曲线。
|
||||
* 而使用动量梯度下降时，通过累加过去的梯度值来减少抵达最小值路径上的波动，加速了收敛，因此在横轴方向下降得更快，从而得到图中红色的曲线。
|
||||
|
||||
当前后梯度方向一致时，动量梯度下降能够加速学习；而前后梯度方向不一致时，动量梯度下降能够抑制震荡。
|
||||
* 当前后梯度方向一致时，动量梯度下降能够加速学习；而前后梯度方向不一致时，动量梯度下降能够抑制震荡。
|
||||
|
||||
另外，在 10 次迭代之后，移动平均已经不再是一个具有偏差的预测。因此实际在使用梯度下降法或者动量梯度下降法时，不会同时进行偏差修正。
|
||||
* 另外，在 10 次迭代之后，移动平均已经不再是一个具有偏差的预测。因此实际在使用梯度下降法或者动量梯度下降法时，不会同时进行偏差修正。
|
||||
|
||||
### 动量梯度下降法的形象解释
|
||||
|
||||
将成本函数想象为一个碗状，从顶部开始运动的小球向下滚，其中 dw，db 想象成球的加速度；而 $v\_{dw}$、$v\_{db}$ 相当于速度。
|
||||
* 将成本函数想象为一个碗状，从顶部开始运动的小球向下滚，其中 dw，db 想象成球的加速度；而 $v_{dw}$、$v_{db}$ 相当于速度。
|
||||
|
||||
小球在向下滚动的过程中，因为加速度的存在速度会变快，但是由于 β 的存在，其值小于 1，可以认为是摩擦力，所以球不会无限加速下去。
|
||||
* 小球在向下滚动的过程中，因为加速度的存在速度会变快，但是由于 β 的存在，其值小于 1，可以认为是摩擦力，所以球不会无限加速下去。
|
||||
|
||||
## RMSProp 算法
|
||||
## 3 RMSProp 算法
|
||||
|
||||
**RMSProp（Root Mean Square Propagation，均方根传播）**算法是在对梯度进行指数加权平均的基础上，引入平方和平方根。具体过程为（省略了 l）：
|
||||
* **RMSProp（Root Mean Square Propagation，均方根传播）** 算法是在对梯度进行指数加权平均的基础上，引入平方和平方根。具体过程为（省略了 l）：
|
||||
|
||||
$$s\_{dw} = \beta s\_{dw} + (1 - \beta)(dw)^2$$
|
||||
$$s\_{db} = \beta s\_{db} + (1 - \beta)(db)^2$$
|
||||
$$w := w - \alpha \frac{dw}{\sqrt{s\_{dw} + \epsilon}}$$
|
||||
$$b := b - \alpha \frac{db}{\sqrt{s\_{db} + \epsilon}}$$
|
||||
$$s_{dw} = \beta s_{dw} + (1 - \beta)(dw)^2$$
|
||||
$$s_{db} = \beta s_{db} + (1 - \beta)(db)^2$$
|
||||
$$w := w - \alpha \frac{dw}{\sqrt{s_{dw} + \epsilon}}$$
|
||||
$$b := b - \alpha \frac{db}{\sqrt{s_{db} + \epsilon}}$$
|
||||
|
||||
其中，ϵ 是一个实际操作时加上的较小数（例如10^-8），为了防止分母太小而导致的数值不稳定。
|
||||
* 其中，ϵ 是一个实际操作时加上的较小数（例如10^-8），为了防止分母太小而导致的数值不稳定。
|
||||
|
||||
当 dw 或 db 较大时，$(dw)^2$、$(db)^2$会较大，进而 $s\_{dw}$、$s\_{db}$也会较大，最终使得
|
||||
* 当 dw 或 db 较大时，$(dw)^2$、$(db)^2$会较大，进而 $s_{dw}$、$s_{db}$也会较大，最终使得梯度变化较小，从而减小某些维度梯度更新波动较大的情况，使下降速度变得更快。
|
||||
|
||||
$$\frac{dw}{\sqrt{s\_{dw} + \epsilon}}$$
|
||||
|
||||
和
|
||||
$$\frac{dw}{\sqrt{s_{dw} + \epsilon}}$$
|
||||
|
||||
$$\frac{db}{\sqrt{s\_{db} + \epsilon}}$$
|
||||
$$\frac{db}{\sqrt{s_{db} + \epsilon}}$$
|
||||
|
||||
较小，从而减小某些维度梯度更新波动较大的情况，使下降速度变得更快。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
RMSProp 有助于减少抵达最小值路径上的摆动，并允许使用一个更大的学习率 α，从而加快算法学习速度。并且，它和 Adam 优化算法已被证明适用于不同的深度学习网络结构。
|
||||
|
||||
注意，β 也是一个超参数。
|
||||
> RMSProp 有助于减少抵达最小值路径上的摆动，并允许使用一个更大的学习率 α，从而加快算法学习速度。并且，它和 Adam 优化算法已被证明适用于不同的深度学习网络结构。注意，β 也是一个超参数。
|
||||
|
||||
## Adam 优化算法
|
||||
|
||||
**Adam 优化算法（Adaptive Moment Estimation，自适应矩估计）**基本上就是将 Momentum 和 RMSProp 算法结合在一起，通常有超越二者单独时的效果。具体过程如下（省略了 l）：
|
||||
* **Adam 优化算法（Adaptive Moment Estimation，自适应矩估计）** 基本上就是将 Momentum 和 RMSProp 算法结合在一起，通常有超越二者单独时的效果。具体过程如下（省略了 l）：
|
||||
|
||||
首先进行初始化：
|
||||
1. 首先进行初始化
|
||||
$$v_{dW} = 0, s_{dW} = 0, v_{db} = 0, s_{db} = 0$$
|
||||
2. 用每一个 mini-batch 计算 dW、db，第 t 次迭代时：
|
||||
|
||||
$$v\_{dW} = 0, s\_{dW} = 0, v\_{db} = 0, s\_{db} = 0$$
|
||||
$$v_{dW} = \beta_1 v_{dW} + (1 - \beta_1) dW$$
|
||||
$$v_{db} = \beta_1 v_{db} + (1 - \beta_1) db$$
|
||||
$$s_{dW} = \beta_2 s_{dW} + (1 - \beta_2) {(dW)}^2$$
|
||||
$$s_{db} = \beta_2 s_{db} + (1 - \beta_2) {(db)}^2$$
|
||||
|
||||
用每一个 mini-batch 计算 dW、db，第 t 次迭代时：
|
||||
3. 一般使用 Adam 算法时需要计算偏差修正：
|
||||
|
||||
$$v\_{dW} = \beta\_1 v\_{dW} + (1 - \beta\_1) dW$$
|
||||
$$v\_{db} = \beta\_1 v\_{db} + (1 - \beta\_1) db$$
|
||||
$$s\_{dW} = \beta\_2 s\_{dW} + (1 - \beta\_2) {(dW)}^2$$
|
||||
$$s\_{db} = \beta\_2 s\_{db} + (1 - \beta\_2) {(db)}^2$$
|
||||
$$v^{corrected}_{dW} = \frac{v_{dW}}{1-{\beta_1}^t}$$
|
||||
$$v^{corrected}_{db} = \frac{v_{db}}{1-{\beta_1}^t}$$
|
||||
$$s^{corrected}_{dW} = \frac{s_{dW}}{1-{\beta_2}^t}$$
|
||||
$$s^{corrected}_{db} = \frac{s_{db}}{1-{\beta_2}^t}$$
|
||||
|
||||
一般使用 Adam 算法时需要计算偏差修正：
|
||||
4. 更新 W、b 时有：
|
||||
|
||||
$$v^{corrected}\_{dW} = \frac{v\_{dW}}{1-{\beta\_1}^t}$$
|
||||
$$v^{corrected}\_{db} = \frac{v\_{db}}{1-{\beta\_1}^t}$$
|
||||
$$s^{corrected}\_{dW} = \frac{s\_{dW}}{1-{\beta\_2}^t}$$
|
||||
$$s^{corrected}\_{db} = \frac{s\_{db}}{1-{\beta\_2}^t}$$
|
||||
$$W := W - \alpha \frac{v^{corrected}_{dW}}{{\sqrt{s^{corrected}_{dW}} + \epsilon}}$$
|
||||
|
||||
所以，更新 W、b 时有：
|
||||
$$b := b - \alpha \frac{v^{corrected}_{db}}{{\sqrt{s^{corrected}_{db}} + \epsilon}}$$
|
||||
|
||||
$$W := W - \alpha \frac{v^{corrected}\_{dW}}{{\sqrt{s^{corrected}\_{dW}} + \epsilon}}$$
|
||||
|
||||
$$b := b - \alpha \frac{v^{corrected}\_{db}}{{\sqrt{s^{corrected}\_{db}} + \epsilon}}$$
|
||||
|
||||
（可以看到 Andrew 在这里 ϵ 没有写到平方根里去，和他在 RMSProp 中写的不太一样。考虑到 ϵ 所起的作用，我感觉影响不大）
|
||||
> （可以看到 Andrew 在这里 ϵ 没有写到平方根里去，和他在 RMSProp 中写的不太一样。考虑到 ϵ 所起的作用，我感觉影响不大）
|
||||
|
||||
### 超参数的选择
|
||||
|
||||
Adam 优化算法有很多的超参数，其中
|
||||
|
||||
* 学习率 α：需要尝试一系列的值，来寻找比较合适的；
|
||||
* β1：常用的缺省值为 0.9；
|
||||
* β2：Adam 算法的作者建议为 0.999；
|
||||
* ϵ：不重要，不会影响算法表现，Adam 算法的作者建议为 $10^{-8}$；
|
||||
|
||||
β1、β2、ϵ 通常不需要调试。
|
||||
> β1、β2、ϵ 通常不需要调试。
|
||||
|
||||
## 学习率衰减
|
||||
|
||||
如果设置一个固定的学习率 α，在最小值点附近，由于不同的 batch 中存在一定的噪声，因此不会精确收敛，而是始终在最小值周围一个较大的范围内波动。
|
||||
* 如果设置一个固定的学习率 α，在最小值点附近，由于不同的 batch 中存在一定的噪声，因此不会精确收敛，而是始终在最小值周围一个较大的范围内波动。而如果随着时间慢慢减少学习率 α 的大小，在初期 α 较大时，下降的步长较大，能以较快的速度进行梯度下降；而后期逐步减小 α 的值，即减小步长，有助于算法的收敛，更容易接近最优解。
|
||||
|
||||
而如果随着时间慢慢减少学习率 α 的大小，在初期 α 较大时，下降的步长较大，能以较快的速度进行梯度下降；而后期逐步减小 α 的值，即减小步长，有助于算法的收敛，更容易接近最优解。
|
||||
* 最常用的学习率衰减方法，其中，`decay_rate`为衰减率（超参数），`epoch_num`为将所有的训练样本完整过一遍的次数。
|
||||
|
||||
最常用的学习率衰减方法：
|
||||
$$\alpha = \frac{1}{1 + decay\\_rate * epoch\\_num} * \alpha_0$$
|
||||
|
||||
$$\alpha = \frac{1}{1 + decay\\\_rate \* epoch\\\_num} \* \alpha\_0$$
|
||||
|
||||
其中，`decay_rate`为衰减率（超参数），`epoch_num`为将所有的训练样本完整过一遍的次数。
|
||||
|
||||
* 指数衰减：
|
||||
|
||||
$$\alpha = 0.95^{epoch\\\_num} \* \alpha\_0$$
|
||||
$$\alpha = 0.95^{epoch\\_num} * \alpha_0$$
|
||||
|
||||
* 其他：
|
||||
|
||||
$$\alpha = \frac{k}{\sqrt{epoch\\\_num}} \* \alpha\_0$$
|
||||
$$\alpha = \frac{k}{\sqrt{epoch\\_num}} * \alpha_0$$
|
||||
|
||||
* 离散下降
|
||||
$$分段函数$$
|
||||
|
||||
对于较小的模型，也有人会在训练时根据进度手动调小学习率。
|
||||
|
||||
* 对于较小的模型，也有人会在训练时根据进度手动调小学习率。
|
||||
|
||||
## 局部最优问题
|
||||
|
||||
|
||||
### 鞍点
|
||||
|
||||
|
||||
**鞍点（saddle）**是函数上的导数为零，但不是轴上局部极值的点。当我们建立一个神经网络时，通常梯度为零的点是上图所示的鞍点，而非局部最小值。减少损失的难度也来自误差曲面中的鞍点，而不是局部最低点。因为在一个具有高维度空间的成本函数中，如果梯度为 0，那么在每个方向，成本函数或是凸函数，或是凹函数。而所有维度均需要是凹函数的概率极小，因此在低维度的局部最优点的情况并不适用于高维度。
|
||||
* **鞍点（saddle）** 是函数上的导数为零，但不是轴上局部极值的点。当我们建立一个神经网络时，通常梯度为零的点是上图所示的鞍点，而非局部最小值。减少损失的难度也来自误差曲面中的鞍点，而不是局部最低点。因为在一个具有高维度空间的成本函数中，如果梯度为 0，那么在每个方向，成本函数或是凸函数，或是凹函数。而所有维度均需要是凹函数的概率极小，因此在低维度的局部最优点的情况并不适用于高维度。
|
||||
|
||||
结论：
|
||||
### 结论
|
||||
|
||||
* 在训练较大的神经网络、存在大量参数，并且成本函数被定义在较高的维度空间时，困在极差的局部最优中是不大可能的；
|
||||
* 鞍点附近的平稳段会使得学习非常缓慢，而这也是动量梯度下降法、RMSProp 以及 Adam 优化算法能够加速学习的原因，它们能帮助尽早走出平稳段。
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user