大整数乘法

工作日志/2021年3月27日-今日计划.md

@@ -4,9 +4,10 @@
 - [x] 双指针环的入接点总结
 - [x] 字符串分割与格式化方法总结
 - [x] 位运算与补码总结
-- [ ] 大数运算
+- [x] 大数运算
 - [ ] n个骰子的点数
 - [ ] 约瑟夫问题
+- [ ] 手写所有排序
 
 
 

算法/A类：基本算法/11 递归与迭代.md

@@ -88,12 +88,12 @@ $$
 * 多分支递归：当一个问题可以分为多个相同的子问题的时候。在同一层进行多分支递归。每一层**多次调用递归函数**。如树和图的遍历问题，有多个下层子节点。
 ## 3 递归的实现
 
-### 递归前的预处理
+### 递归问题的分析
 1. 提取重复的逻辑，缩小问题规模。
 2. 只有写出**反向递推关系式**，才知道递归的参数、递归的返回值和递归的执行关系。
 
 
-### 递归的实现步骤
+### 递归算法的步骤
 
 1. 设计**递归的参数**。首先确定每一次递归，上一层需要提供给下一层的内容。相当于上层---->下层的接口。
 2. 设计**递归的返回值**。设计递归需要返回的内容，即提供给上一层的内容。相当于下层---->上层的接口。

算法/A类：基本算法/4.2 大整数乘法问题.md

@@ -1,38 +1,333 @@
 # 大整数乘法
 
-## 1 大整数乘法-分治法
+> 参考文献
+> * [大数乘法的问题及其高效的算法](https://blog.csdn.net/u010983881/article/details/77503519)
 
 ### 问题描述
 
-设u 和v 是两个n 位的整数(二进制)，传统的乘法算法需要(n2) 数字相乘来计算u 和v 的乘积。
+* 题目描述： 输出两个不超过100位的大整数的乘积。
+* 输入： 输入两个大整数，如1234567 和 123
+* 输出： 输出乘积，如：151851741
+* 数字以字符串的形式给出。
+```
+求 1234567891011121314151617181920 * 2019181716151413121110987654321 的乘积结果
+```
+
+### 问题分析
+* 所谓大数相乘（Multiplication algorithm），就是指数字比较大，相乘的结果超出了基本类型的表示范围，所以这样的数不能够直接做乘法运算。参考了很多资料，包括维基百科词条Multiplication algorithm，才知道目前大数乘法算法主要有以下几种思路：
+
+  * 模拟小学乘法：最简单的乘法竖式手算的累加型；
+  * 分治乘法：最简单的是Karatsuba乘法，一般化以后有Toom-Cook乘法；
+  * 快速傅里叶变换FFT：（为了避免精度问题，可以改用快速数论变换FNTT），时间复杂度O(N lgN lglgN)。具体可参照Schönhage–Strassen algorithm；
+  * 中国剩余定理：把每个数分解到一些互素的模上，然后每个同余方程对应乘起来就行；
+  * Furer’s algorithm：在渐进意义上FNTT还快的算法。不过好像不太实用，本文就不作介绍了。大家可以参考维基百科Fürer’s algorithm
+
+
+## 1 大数乘法-模拟小学乘法
+
+### 算法设计
+* 模拟乘法手算累加
+```
+      7 8 9 6 5 2
+×         3 2 1 1
+-----------------
+      7 8 9 6 5 2   <---- 第1趟 
+    7 8 9 6 5 2     <---- 第2趟 
+   ..........       <---- 第n趟 
+-----------------
+  ? ? ? ? ? ? ? ?   <---- 最后的值用另一个数组表示 
+```
+* 如上所示，乘法运算可以分拆为两步：
+  1. 首先将数位反置。个位数在低位数组，高位数在高位数组。
+  2. 是将乘数与被乘数逐位相乘将逐位相乘得到的结果，对应累计相加起来。r[i+j]+=a[i]*b[j]位置.
+  3. 因为每个位置代表1位数。循环一边处理进位。/10的结果加到下一位。%10的结果保留到本位。
+
+> 这个方法，简单易于解。只需要几行代码即可。
+
+### 算法分析
+
+* 时间复杂度O(n^2)
+* 空间复杂度O(n)
+
+### 算法实现
+
+```C++
+#include<iostream>
+#include<vector>
+#include<string>
+using namespace std;
+
+vector<int> mul_mul(vector<int> a,vector<int> b);
+// 以字符串形式给出。还是得把这个形式改成整数数组比较好
+int main(){
+    string a="123456789";
+    string b="987654321";
+    // 将字符串转换为整形数组。C的方法可以使用memset分配空间C++直接pushback
+    // 将大数数组反向存储。个位存在最开始的位置。方便数组增长。
+    vector<int> aa;
+    for(int i=a.size()-1;i>=0;i--){
+        aa.push_back((int)(a[i]-'0'));
+    }
+    vector<int> bb;
+    for(int i=b.size()-1;i>=0;i--){
+        bb.push_back((int)(b[i]-'0'));
+    }
+    vector<int> result = mul_mul(aa,bb);
+
+    // 将最终的整数数组转换成字符串。并输出
+    string res;
+    for(int i=result.size()-1;i>=0;i--){
+        res+=to_string(result[i]);
+    }
+    // 去除前边多余的0
+    res = res.substr(res.find_first_not_of('0'));
+    cout<<res<<endl;
+    return 0;
+}
+
+// 模拟小学竖式
+vector<int> mul_mul(vector<int> a,vector<int> b){
+    vector<int> a_b(a.size()+b.size()+1,0);
+    // 小学乘法
+    for(int i=0;i<a.size();i++){
+        for(int j=0;j<b.size();j++){
+            a_b[i+j] += a[i]*b[j];
+        }
+    }
+    // 对a_b中的数值进行处理（进位处理）
+    for(int i=0;i<a_b.size();i++){
+        a_b[i+1]+= a_b[i]/10;
+        a_b[i]%=10;
+    }
+    
+    return a_b;
+}
+```
+
+## 2 大整数乘法-分治法Karatsuba算法
+
+### 问题分析
+* 以上两种模拟乘法的手算累加型算法，他们都是模拟普通乘法的计算方式，时间复杂度都是$O(n^2)$，而这个Karatsuba算法，时间复杂度仅有 $O(n^{\log _{2}3})$
+* 下面，我就来介绍一下这个算法。Karatsuba于1960年发明在 $O(n^{\log _{2}3})$步骤内将两个n位数相乘的Karatsuba算法。它反证了安德雷·柯尔莫哥洛夫于1956年认为这个乘法需要 $\Omega (n^{2})$ 步骤的猜想。首先来看看这个算法是怎么进行计算的
+
+![](image/2021-03-28-03-17-52.png)
+
+> `ac*bd`在暴力乘法当中，需要四次乘法运算。`ad,ab,cd,cb`。但是通过分治法。可以使得ad+bc在一次乘法中实现。即`(a+c)*(b+d)-ac-bd=ad+cb`.降低了乘法运算的数量。
 
 ### 算法原理
 
-* 把每个整数分为两部分，每部分为n/2位，则u 和v 可重写为u = w2n/2 + x 和v = y2n/2 +z
+![](image/2021-03-28-03-20-48.png)
 
-* u 和v 的乘积可以计算为：
-```
-	uv = （w2n/2 + x）(y2n/2 +z) = wy2n + (wz + xy) 2n/2 + xz
-```
-用2^n做乘法运算相当于简单地左移n 位，它需要θ( n) 时间。
+1. 我们假设要相乘的两个数是x * y。我们可以把x，y写成：
+$$
+x = a * 10^{n/2} + b
+\\
+y = c * 10^{n/2} + d
+$$
+2. 这里的n是数字的位数。如果是偶数，则a和b都是n/2位的。如果n是奇数，则你可以让a是n/2+1位，b是n/2位。（例如a = 12，b = 34；a = 123，b = 45），那么x*y就变成了：
+$$
+x*y = (a * 10^{n/2}+b) * (c * 10^{n/2}+d)
+$$
+3. 进一步计算，
+$$
+x*y = a * c * 10^n + (a * d + b * c) * 10^{n/2} + bd
+$$
 
-* 考虑用以下恒等式计算wz + xy。
-```
-wz + xy = (w + x) ( y + z) – wy – xz
-```
-* 由于wy 和 xz 不需要做二次计算，结合以上二式，仅需3次乘法运算，即
-```
-uv = wy2n + (( w + x) ( y + z) – wy –xz) 2n/2 + xz
-```
+4. 对比之前的计算过程。结果已经呼之欲出了。这里唯一需要注意的两点就是：
 
+> `(a * d + b * c)`的计算为了防止两次乘法，应该使用之前的计算这些乘法在算法里应该是递归实现的，数字很大时，先拆分，然后拆分出来的数字还是很大的话，就继续拆分，直到`a * b`已经是一个非常简单的小问题为之。这也是分治的思想。
+
+### 算法设计
+
+> 该方法比较复杂。
+
+1. 首先根据手推的运算规则。发现在计算过程中需要实现四种计算。分别是：乘法计算、加法计算、减法计算、位移计算（乘以10的指数n。表示在末位添加n个零）
+2. 分别实现。三种计算方式。并对高位的零进行处理。但是应该至少保留1位数（这位数如果是零。则表示该数字为零。）
+3. 然后实现递归乘法运算。分以下几种情况实现
+   1. 递归的接口：两个大数。
+   2. 递归的返回值：大数乘积的结果。
+   3. 递归的处理：将大数分为两部分。分别实现`a*c,b*d,(a+b)*(c+d)`实现递归。
+   4. 递归的终止条件。相乘的两个数只有1位数字。结果如果为零，应该保留1位零。
+   5. 递归前的处理：数字对齐。在高位添加零。使得两个数字对齐。
+   6. 递归后的处理：将成绩的结果进行加法计算、减法计算、唯一计算。得到最后的结果
+
+4. 难点在于：进行分治前：高位补零进行对齐。返回结果前去除高位多余的零，如果是0，则至少保留1位。
 
 ### 算法效率
-* 此方法产生以下递推式
+* 时间复杂度：$O(n^{log_2 3}) = O(n^{1.59})$
+* 空间复杂度O(nlog n)
+
+### 算法实现
+
+```C++
+#include<iostream>
+#include<vector>
+#include<string>
+using namespace std;
+
+vector<int> mul_mul(vector<int>& a, vector<int>& b);
+// 大数加法
+vector<int> mul_divided(vector<int> x, vector<int> y);
+vector<int> mul_sum(vector<int> a, vector<int>b);
+vector<int> mul_minus(vector<int>a, vector<int>b);
+vector<int> mul_pow(vector<int>a, int n);
+// 以字符串形式给出。还是得把这个形式改成整数数组比较好
+int main() {
+    string a = "99999999";
+    string b = "77777777";
+    // 将字符串转换为整形数组。C的方法可以使用memset分配空间C++直接pushback
+    // 将大数数组反向存储。个位存在最开始的位置。方便数组增长。
+    vector<int> aa;
+    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) {
+        aa.push_back((int)(a[i] - '0'));
+    }
+    vector<int> bb;
+    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) {
+        bb.push_back((int)(b[i] - '0'));
+    }
+    //vector<int> result = mul_mul(aa,bb);
+    vector<int> result = mul_divided(aa, bb);
+    // 将最终的整数数组转换成字符串。并输出
+    string res;
+    for (int i = result.size() - 1; i >= 0; i--) {
+        res += to_string(result[i]);
+    }
+    // 去除前边多余的0
+    // res = res.substr(res.find_first_not_of('0'));
+    cout << res << endl;
+    return 0;
+}
+
+// 模拟小学竖式。反转的字符串。个位在前边。
+vector<int> mul_mul(vector<int>& a, vector<int>& b) {
+    vector<int> a_b(a.size() + b.size(), 0);
+    // 小学乘法，i位置×j位置。在i+j位置保存结果。最后处理进位。
+    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
+        for (int j = 0; j < b.size(); j++) {
+            a_b[i + j] += a[i] * b[j];
+        }
+    }
+    // 对a_b中的数值进行处理（进位处理）
+    for (int i = 0; i < a_b.size(); i++) {
+        a_b[i + 1] += a_b[i] / 10;
+        a_b[i] %= 10;
+    }
+    //去除高位的0
+    int i = a_b.size() - 1;
+    while (a_b[i] == 0) {
+        a_b.pop_back();
+        i--;
+    }
+    return a_b;
+}
+
+// 分治法。
+//反转的字符串。个位在前边。
+//假设等长只有等长的数据划分才会方便。
+// 如果等长情况下的处理
+//关于是相乘结果是0的情况应该特殊处理。
+vector<int> mul_divided(vector<int> x, vector<int> y) {
+    //对x,y短的进行补齐.高位补齐0
+    while (x.size() < y.size()) {
+        x.push_back(0);
+    }
+    while (y.size() < x.size()) {
+        y.push_back(0);
+    }
+    // 只在末端做一次乘法
+    vector<int> result(x.size() + y.size());
+    if (x.size() == 1 && y.size() == 1) {
+        result[0] = x[0] * y[0];
+        result[1] = result[0] / 10;
+        result[0] = result[0] % 10;
+        //去除高位的0
+        int i = result.size() - 1;
+        //但是保留唯一的0；用来表示这是一个0
+        while (result.size()>0 && result[i] == 0) {
+            result.pop_back();
+            i--;
+        }
+        return result;
+    }
+
+    int n = x.size() / 2;
+    // 分割成a,b,c,d四个部分
+    vector<int> b(x.begin(), x.begin() + n);
+    vector<int> a(x.begin() + n, x.end());
+    vector<int> d(y.begin(), y.begin() + n);
+    vector<int> c(y.begin() + n, y.end());
+
+    // 进行递归
+    vector<int> mul1 = mul_divided(a, c);
+    vector<int> mul2 = mul_divided(b, d);
+    vector<int> mul_ab_cd = mul_divided(mul_sum(a, b), mul_sum(c, d));
+
+    // 加法。个位在前边。
+    vector<int> sum_ac_bd = mul_sum(mul1, mul2);
+    vector<int> mul3 = mul_minus(mul_ab_cd, sum_ac_bd);
+
+
+    result = mul_sum(mul_sum(mul_pow(mul1, 2 * n), mul2), mul_pow(mul3, n));
+    return result;
+}
+
+// 大数加法。
+vector<int> mul_sum(vector<int> a, vector<int> b) {
+    vector<int> result(max(a.size(), b.size()) + 1, 0);
+    for (int i = 0; i < result.size() - 1; i++) {
+        if (i < a.size()) {
+            result[i] += a[i];
+        }
+        if (i < b.size()) {
+            result[i] += b[i];
+        }
+        // 处理进位
+        result[i + 1] += result[i] / 10;
+        result[i] %= 10;
+    }
+    //去除高位的0
+    int i = result.size() - 1;
+    while (result.size() > 0 && result[i] == 0) {
+        result.pop_back();
+        i--;
+    }
+    return result;
+}
+// 大数减法（结果不可能是负数）
+vector<int> mul_minus(vector<int> a, vector<int>b) {
+    vector<int> result(a.size(), 0);
+    // 做减法
+    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
+        if (i < b.size()) {
+            result[i] += a[i] - b[i];
+        }
+        else {
+            result[i] += a[i];
+        }
+        // 处理借位
+        if (result[i] < 0) {
+            result[i] += 10;
+            result[i + 1] -= 1;
+        }
+    }
+    //去除高位的0
+    int i = result.size() - 1;
+    while (result.size() > 0 && result[i] == 0) {
+        result.pop_back();
+        i--;
+    }
+    return result;
+}
+// 向右移位
+vector<int> mul_pow(vector<int> a, int n) {
+    vector<int> result(n, 0);
+    result.insert(result.end(), a.begin(), a.end());
+    //去除高位的0
+    int i = result.size() - 1;
+    while (result.size() > 0 && result[i] == 0) {
+        result.pop_back();
+        i--;
+    }
+    return result;
+}
 ```
-T (n) 	= d			    若n = 1
-		= 3T(n/2) +bn	若 n>1
-```
-* 定理得出
-$$
-T(n) =Θ(n^log 3) = O(n^1.59)
-$$

算法/A类：基本算法/4.2.cpp

@@ -0,0 +1,170 @@
+#include<iostream>
+#include<vector>
+#include<string>
+using namespace std;
+
+vector<int> mul_mul(vector<int>& a, vector<int>& b);
+// 大数加法
+vector<int> mul_divided(vector<int> x, vector<int> y);
+vector<int> mul_sum(vector<int> a, vector<int>b);
+vector<int> mul_minus(vector<int>a, vector<int>b);
+vector<int> mul_pow(vector<int>a, int n);
+// 以字符串形式给出。还是得把这个形式改成整数数组比较好
+int main() {
+    string a = "999999999999999999999999999999999999999999";
+    string b = "777777777777777777777777777777777777777777777777";
+    // 将字符串转换为整形数组。C的方法可以使用memset分配空间C++直接pushback
+    // 将大数数组反向存储。个位存在最开始的位置。方便数组增长。
+    vector<int> aa;
+    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) {
+        aa.push_back((int)(a[i] - '0'));
+    }
+    vector<int> bb;
+    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) {
+        bb.push_back((int)(b[i] - '0'));
+    }
+    // vector<int> result = mul_mul(aa,bb);
+    vector<int> result = mul_divided(aa, bb);
+    // 将最终的整数数组转换成字符串。并输出
+    string res;
+    for (int i = result.size() - 1; i >= 0; i--) {
+        res += to_string(result[i]);
+    }
+    // 去除前边多余的0
+    // res = res.substr(res.find_first_not_of('0'));
+    cout << res << endl;
+    return 0;
+}
+
+// 模拟小学竖式。反转的字符串。个位在前边。
+vector<int> mul_mul(vector<int>& a, vector<int>& b) {
+    vector<int> a_b(a.size() + b.size(), 0);
+    // 小学乘法，i位置×j位置。在i+j位置保存结果。最后处理进位。
+    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
+        for (int j = 0; j < b.size(); j++) {
+            a_b[i + j] += a[i] * b[j];
+        }
+    }
+    // 对a_b中的数值进行处理（进位处理）
+    for (int i = 0; i < a_b.size(); i++) {
+        a_b[i + 1] += a_b[i] / 10;
+        a_b[i] %= 10;
+    }
+    //去除高位的0
+    int i = a_b.size() - 1;
+    while (a_b[i] == 0) {
+        a_b.pop_back();
+        i--;
+    }
+    return a_b;
+}
+
+// 分治法。
+//反转的字符串。个位在前边。
+//假设等长只有等长的数据划分才会方便。
+// 如果等长情况下的处理
+//关于是相乘结果是0的情况应该特殊处理。
+vector<int> mul_divided(vector<int> x, vector<int> y) {
+    //对x,y短的进行补齐.高位补齐0
+    while (x.size() < y.size()) {
+        x.push_back(0);
+    }
+    while (y.size() < x.size()) {
+        y.push_back(0);
+    }
+    // 只在末端做一次乘法
+    vector<int> result(x.size() + y.size());
+    if (x.size() == 1 && y.size() == 1) {
+        result[0] = x[0] * y[0];
+        result[1] = result[0] / 10;
+        result[0] = result[0] % 10;
+        //去除高位的0
+        int i = result.size() - 1;
+        //但是保留唯一的0；用来表示这是一个0
+        while (result.size()>0 && result[i] == 0) {
+            result.pop_back();
+            i--;
+        }
+        return result;
+    }
+
+    int n = x.size() / 2;
+    // 分割成a,b,c,d四个部分
+    vector<int> b(x.begin(), x.begin() + n);
+    vector<int> a(x.begin() + n, x.end());
+    vector<int> d(y.begin(), y.begin() + n);
+    vector<int> c(y.begin() + n, y.end());
+
+    // 进行递归
+    vector<int> mul1 = mul_divided(a, c);
+    vector<int> mul2 = mul_divided(b, d);
+    vector<int> mul_ab_cd = mul_divided(mul_sum(a, b), mul_sum(c, d));
+
+    // 加法。个位在前边。
+    vector<int> sum_ac_bd = mul_sum(mul1, mul2);
+    vector<int> mul3 = mul_minus(mul_ab_cd, sum_ac_bd);
+
+
+    result = mul_sum(mul_sum(mul_pow(mul1, 2 * n), mul2), mul_pow(mul3, n));
+    return result;
+}
+
+// 大数加法。
+vector<int> mul_sum(vector<int> a, vector<int> b) {
+    vector<int> result(max(a.size(), b.size()) + 1, 0);
+    for (int i = 0; i < result.size() - 1; i++) {
+        if (i < a.size()) {
+            result[i] += a[i];
+        }
+        if (i < b.size()) {
+            result[i] += b[i];
+        }
+        // 处理进位
+        result[i + 1] += result[i] / 10;
+        result[i] %= 10;
+    }
+    //去除高位的0
+    int i = result.size() - 1;
+    while (result.size() > 0 && result[i] == 0) {
+        result.pop_back();
+        i--;
+    }
+    return result;
+}
+// 大数减法（结果不可能是负数）
+vector<int> mul_minus(vector<int> a, vector<int>b) {
+    vector<int> result(a.size(), 0);
+    // 做减法
+    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
+        if (i < b.size()) {
+            result[i] += a[i] - b[i];
+        }
+        else {
+            result[i] += a[i];
+        }
+        // 处理借位
+        if (result[i] < 0) {
+            result[i] += 10;
+            result[i + 1] -= 1;
+        }
+    }
+    //去除高位的0
+    int i = result.size() - 1;
+    while (result.size() > 0 && result[i] == 0) {
+        result.pop_back();
+        i--;
+    }
+    return result;
+}
+// 向右移位
+vector<int> mul_pow(vector<int> a, int n) {
+    vector<int> result(n, 0);
+    result.insert(result.end(), a.begin(), a.end());
+    //去除高位的0
+    int i = result.size() - 1;
+    while (result.size() > 0 && result[i] == 0) {
+        result.pop_back();
+        i--;
+    }
+    return result;
+}

算法/A类：基本算法/5 动态规划.md

@@ -17,17 +17,8 @@
 2. **无后效性**：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
 3. **有重叠子问题**：即子问题之间是**不独立**的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）
 
-### 基本步骤
-1. 找出最优解的性质，刻画其结构特征。
-2. 递推地定义最优值。需要给出状态转移变量
-$$
-f(n)=f(n-1)+f(n-2)
-$$
-3. 以自底向上的方式计算出最优解。
-4. 根据计算最优值时的到的信息，构造最有解。
-
 ### 要素
-* 最有子结构
+* 最优子结构
 * 重叠子问题
 * 备忘录方法（矩阵表格）
 
@@ -44,15 +35,25 @@ $$
 
 * 顺序解法和逆序解法只表示行进方向的不同或始端的颠倒。但用动态规划方法求最优解时，都是在行进方向规定后，均要逆着这个规定的行进方向，从最后一段向前逆推计算，逐段找出最优途径
 
-### 构建动态规划模型
+## 2 构建动态规划模型
 
-1. 正确选择状态变量xk, 使它既能描述过程的状态，又要满足无后效性。动态规划中的状态与一般所说的状态概念是不同的，它必须具有三个特性：
+### 动态规划问题的分析
+1. 找出**最优解的性质**，刻画其结构特征。
+2. 递推地定义最优值。需要给出**状态转移变量**
+$$
+f(n)=f(n-1)+f(n-2)
+$$
+3. 以自底向上的方式**计算出最优解**。
+4. 根据计算最优值时的到的信息，**构造最有解**。
+
+### 动态规划算法的步骤
+1. 正确选择**状态变量**xk, 使它既能描述过程的状态，又要满足无后效性。动态规划中的状态与一般所说的状态概念是不同的，它必须具有三个特性：
     * 要能够用来描述受控过程的演变特征。
     * 要满足无后效性。 所谓无后效性是指：如果某段状态给定，则在这段以后过程的发展不受前面各阶段状态的影响。
     * 可知性。即是规定的各段状态变量的值，由直接或间接都是可以知道的。
-2. 确定决策变量uk及每段的允许决策集合Dk(xk)={uk}
-3. 写出状态转移方程如果给定第k段状态变量xk的值，则该段的决策变量uk一经确定，第k+1段状态变量xk+1的值也就完全确定。 
-4. 列出指标函数Vk,n 关系，并要满足递推性。
+2. 确定**决策变量**uk及每段的允许决策集合Dk(xk)={uk}
+3. 写出**状态转移方程**如果给定第k段状态变量xk的值，则该段的决策变量uk一经确定，第k+1段状态变量xk+1的值也就完全确定。 
+4. 列出**指标函数**Vk,n 关系，并要满足递推性。
 
 ### 动态规划最关键的部分
 * 确定规模的增长方向。一般在动态规划问题中。规模可变的并不只有一个。比如在正则表达式与字符串的匹配问题中。字符串的规模可以变化，正则表达式的规模也可以变化。