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假设检验
This commit is contained in:
estomm
@@ -1,33 +1,52 @@
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# 假设检验
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## 相关定义
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> 第一章阐述样本统计量与总体属性的关系。
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> 第二章参数估计，通过样本的统计量对总体的参数进行估计。并对估计的优劣进行判断，求最优的统计量。区间估计主要是通过置信水平，求置信区间。
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> 第三章假设检验。总体分布已知，参数已知。通过样本的统计量，对参数的正确性进行验证。
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> 本节的逻辑
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> * 对参数做出假设，$\Theta_0,\Theta_1$。
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> * 计算检验统计量的接受拒绝区间$W^c,W$。
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> * 检验统计量的拒绝接受区间对应的概率。称为势和势函数。
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### 定义1：原假设与备择假设
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所要检验的假设称为原假设或零假设，记为$H_0$。而与$H_0$不相容的假设称为北泽假设或对立假设，记为$H_1$。对参数分布族$\{p(x;\theta):\theta\in\Theta\}$，原假设和北泽假设这对矛盾统一体，称为假设检验：
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* 所要检验的假设称为原假设或零假设，记为$H_0$。
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* 与$H_0$不相容的假设称为备择假设或对立假设，记为$H_1$。
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* 对参数分布族$\{p(x;\theta):\theta\in\Theta\}$，原假设和北泽假设这对矛盾统一体，称为假设检验：
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$$
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H_0:\theta\in\Theta_0,H_1:\theta\in\Theta_1
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$$
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### 定义2：拒绝域、接受域、检验统计量、检验函数
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> 这里最奇怪的地方是反向表示，拒绝、失信为首选方，使用简单的方式表示。$\alpha,W,\varphi(x)=1$
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* 假设检验就是根据某一法则，在原假设和备择假设之间做出选择，基于样本做出拒绝$H_0$或接受$H_0$所依赖的法则称为检验。
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假设检验就是根据某一法则，在原假设和备择假设之间做出选择，基于样本做出拒绝$H_0$或接受$H_0$所依赖的法则称为检验。
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* 检验法则：若$(x_1,\dotsm,x_n)\in W$，则拒绝$H_0$，否则由$(x_1,\dotsm,x_n)\in W^c$，就接受$H_0$。称$W$为拒绝域，$W^c$称为接受域。
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> 拒绝度$\alpha$与拒绝域$W$一一对应。置信度$1-\alpha$与接受域（置信区间）$1-\alpha$一一对应。
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检验法则：若$(x_1,\dotsm,x_n)\in W$，则拒绝$H_0$，否则由$(x_1,\dotsm,x_n)\in W^c$，就接受$H_0$。
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称$W$为拒绝域，$W^c$称为接受域。
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* 检验统计量：能够由统计量确定拒绝域W，则统计量为检验统计量。检验统计量的检验临界值，能够区分两个检验区间。
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* 示性函数或者检验函数
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$$
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\varphi(x)=\begin{cases}
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1,&x\in W\\
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0,&x\notin W^c
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\end{cases}
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$$
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> 这里$\varphi(x)$所属的区间$W,W^c$是依赖于真实情况的，而不是假设检验中假设。所以他是没有错误的，不受假设错误影响的示性函数、检验函数。
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> 比如，假设本身错误，备择假设成立。这个时候假设的$W^c$接受域为原假设接受范围，假设的拒绝域$W$为备择假设的范围。但是示性函数拒绝域的范围为假设的接受域的范围$W^c$，接受域的范围为假设的拒绝域的范围$W$
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### 定义3：两类错误、势和势函数
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### 定义3：两类错误
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第一类错误：当原假设$H_0$本来成立，样本观察值落入拒绝与$W$，我们错误的拒绝了$H_0$，称为弃真错误，其概率：
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* 第一类错误：当原假设$H_0$本来成立，样本观察值落入拒绝与$W$，我们错误的拒绝了$H_0$，称为弃真错误，其概率：
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$$
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\alpha(\theta)=P_\theta\{x\in W\},\theta\in\Theta_0
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$$
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第二类错误：当原假设$H_0$本来不成立时，样本观察值落入接受域$W^c$，我们错误的接受了$H_0$，称为取伪错误，其概率为：
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* 第二类错误：当原假设$H_0$本来不成立时，样本观察值落入接受域$W^c$，我们错误的接受了$H_0$，称为取伪错误，其概率为：
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$$
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||||
\beta(\theta)=P_\theta\{x\notin W\}=1-P_\theta{x\in W},\theta\in\Theta
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||||
\beta(\theta)=P_\theta\{x\notin W\}=1-P_\theta{x\in W},\theta\in\Theta_1e
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$$
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$$
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@@ -35,20 +54,62 @@ p(x\in W|H_0为真)=\alpha 接受域放弃 \\
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p(x\in W^c|H_0为真) 接受域本身错误
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$$
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\alpha越大，第一类错误发生的错误越小，第二类错误发生的概率越大。
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$\alpha$越大，第一类错误发生的错误越小，第二类错误发生的概率越大。
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不能同时减小，增加了样本容量可以减少两类错误。
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### 定义4：势和势函数
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> 本质上是用来衡量犯错的理论概率的，与样本检验是否犯错并没有本质联系。
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## 2 正太总体的假设检验
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> 这里的势是一种概率，与区间估计的拒绝度对应。
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> 这里的势不依赖于假设，而是一种本质的基于总体真正的属性的计算值。（假设是一种猜测，验证后才可以使准确地）$\varphi(x)$是显示总体本身真实属性的函数，不依赖于假设，与是否犯错无关。
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$H_0$不成立时，拒绝$H_0$的概率，称为势和功效。
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$$
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\gamma(\theta)=P_\theta\{x\in W\}
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$$
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势函数，当$H_0$不成立时拒绝$H_0$的概率，称为势和功效。相当于拒绝度的衡量。
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## 3 Pearson检验法
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总体分布的$\chi^2$拟合检验
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$$
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g(\theta)=P_\theta\{x\in W\}=E_\theta(\varphi(x)),\theta\in\Theta\\
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当\theta\in\Theta_0,g(\theta)=\alpha(\theta)\\
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当\theta\in\Theta_1,g(\theta)=\gamma(\theta)
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$$
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### 区间估计与假设检验
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* 二者都具有：总体、参数、（统计量的）区间、概率。
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### 二维列链表的独立性检验
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* 区间估计。总体分布已知。参数未知。参数的分布范围与概率对应。本质上在于确定区间范围与概率的对应。是一种理论计算，不涉及具体的样本。
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* 假设检验。总体分布已知。参数未知。估计参数，使用统计量的区间进行判定。概率表示出错的范围。本质上在于确定区间范围与参数假设的对应。是一种实际的计算，需要具体的样本验证。
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* 这里在逻辑上没有说接受概率和拒绝概率。接受概率和拒绝概率是区间估计那里的置信度和拒绝度。而这里用犯错概率来引入概率的影响，因为这里的接受和拒绝依赖于实际的样本，而区间估计并不依赖于实际的样本，是一种理论计算。所以犯错依赖于概率。
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### 定义：检验水平
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* 条件
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$$
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\alpha\in(0,1),\forall \theta\in\Theta\\
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E_\theta(\varphi(x))\leq\alpha
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$$
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* 结论
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$$
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\varphi(x)是一个显著性水平为\alpha 的检验函数。
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$$
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* 条件
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$$
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\alpha=sup\{E_\theta(\varphi(x)),\theta\in\Theta\}
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$$
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* 结论
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$$
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\alpha 称为真实水平
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$$
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> 说明：
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> 分位数：概率和概率分位数
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> 区间估计：置信区间和置信水平
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> 假设检验：接受域、拒绝域和概率
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> 本质上都是区间积分与值的关系。在概率分布函数图像中即面积和面积临界值的关系。
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61
概率论与数理统计/第12节 正太总体参数的假设检验.md
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61
概率论与数理统计/第12节 正太总体参数的假设检验.md
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@@ -0,0 +1,61 @@
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# 正太总体参数的假设检验
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> 一会单独复习这里
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## 1 单个总体-方差已知-均值检验
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### 假设检验类型
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$$
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\begin{aligned}
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H_0:\mu=\mu_0,& H_1:\mu>\mu_0\\
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H_0:\mu\leq\mu_0,&H_1:\mu>\mu_0\\
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||||
H_0:\mu=\mu_0,&H_1:\mu<\mu_0\\
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||||
H_0:\mu\geq\mu_0,&H_1:\mu<\mu_0
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\end{aligned}
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$$
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## 2 单个总体-方差未知-均值检验
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## 3 单个总体-方差检验
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不同的单侧假设问题
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$$
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\begin{aligned}
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H_0:\sigma^2=\sigma^2_0,& H_1:\sigma^2>\sigma^2_0\\
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||||
H_0:\sigma^2\leq\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2>\sigma^2_0\\
|
||||
H_0:\sigma^2=\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2<\sigma^2_0\\
|
||||
H_0:\sigma^2\geq\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2<\sigma^2_0
|
||||
\end{aligned}
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$$
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## 4 两个总体-均值相等
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$$
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H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not ={\mu_2}
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$$
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不同的单侧假设问题
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$$
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||||
H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1>{\mu_2}\\
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||||
H_0:\mu_1\leq\mu_2,H_1:\mu_1>{\mu_2}\\
|
||||
H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1<{\mu_2}\\
|
||||
H_0:\mu_1=\geq_2,H_1:\mu_1\not <{\mu_2}
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$$
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||||
### 方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知
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### 方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知，$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$
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||||
### 方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知，$n_1=n_2=n$
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### 方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知，$\sigma^2_1\not =\sigma_2^2,n_1\not = n_2$
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## 5 两个总体-方差相等
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$$
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H_0:\sigma^2=\sigma^2_0,H_1:\sigma^2>\sigma^2_0\\
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$$
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存在的单侧假设检验问题
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$$
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\begin{aligned}
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||||
H_0:\sigma^2\leq\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2>\sigma^2_0\\
|
||||
H_0:\sigma^2=\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2<\sigma^2_0\\
|
||||
H_0:\sigma^2\geq\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2<\sigma^2_0
|
||||
\end{aligned}
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||||
$$
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## p值
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28
概率论与数理统计/第13节 Pearson检验法.md
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28
概率论与数理统计/第13节 Pearson检验法.md
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@@ -0,0 +1,28 @@
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# Pearson检验
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## 1 总体分布的$\chi^2$拟合检验
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### 定理：Pearson定理
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* 条件
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$$
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样本容量n充分（n>=50),无论总体服从何种分布F_0(x)\\
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\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(f_i-np_i)^2}{np_i}\\
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$$
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||||
* 结论
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$$
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||||
统计量\chi^2服从自由度为k-1的\chi^2分布
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$$
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### 步骤
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1. 把实轴$(-\infin,+\infin)$分成k个互不相交的区间$A_i=(a_i,a_{i+1}],i=1,2,\dotsm,k$，其中$a_1,a_{k+1}$分别取$-\infin,+\infin$。区间划分视具体情况而定。
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2. 计算概率。计算$np_i$称为理论频数
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$$
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||||
p_i = P\{X\in A\}=F_0(a_{i+1})-F_0(a_i),i=1,2,\dotsm,k\\
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$$
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||||
3. 计算样本观察值$x_1,\dotsm,x_n$落在区间$A_i$上的个数$f_i$，称为实际频数。
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4. 通过计算公式计算$\chi^2$的值
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5. 对于给定的显著性水平$\alpha$可得临界值$\chi^2_{1-\alpha}(k-1)$
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6. 做出推断。拒绝域$W=\{(x_1,\dotsm,x_n):\chi^2 \geq\chi^2_{1-\alpha}(k-1)\}$。当$\chi^2\in W$时拒绝$H_0$，否则接受$H_0$
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## 2 二维列联表的独立检验
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@@ -1,11 +1,30 @@
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# 似然比检验
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##
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## 1 似然比检验
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### 似然比
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* 假设检验
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$$
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H_0:\theta\in\Theta_0,H_1:\theta\in\Theta_1\\
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\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1
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$$
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||||
* 似然比统计量
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$$
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||||
\lambda(x)=\frac{\sup_{\theta\in\Theta_1}\{p(x_1,\dotsm,x_n;\theta)\}}{\sup_{\theta\in\Theta_0}\{p(x_1,\dotsm,x_n;\theta)\}}\\
|
||||
or\\
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||||
\lambda(x)=\frac{\sup_{\theta\in\Theta}\{p(x_1,\dotsm,x_n;\theta)\}}{\sup_{\theta\in\Theta_0}\{p(x_1,\dotsm,x_n;\theta)\}}\\
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||||
$$
|
||||
* 临界值
|
||||
$$
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||||
\lambda(x)\geq c\\
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||||
W={(x_1,x_2,\dotsm,x_n):\lambda(x)\geq c}\\
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||||
P_{\theta_0}(\lambda(x)\leq \alpha),\theta\in\Theta_0
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$$
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### 结题步骤
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### 解题步骤
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1. 构造似然比函数
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2. 计算并化简
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@@ -0,0 +1,210 @@
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# 检验的优良性
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## 1 Neyman-Pearson引理
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### 定义：最优势检验
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* 声明
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$$
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||||
检验问题:H_0:\theta=\theta_0,H_1:\theta=\theta_1
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$$
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||||
* 条件
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||||
$$
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||||
存在检验水平\alpha的检验函数\varphi^*\in\varPhi_\alpha,\\
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||||
任一水平为\alpha的检验\varphi\in\varPhi_\alpha,有：\\
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||||
E_{\theta_1}(\varphi^*(x))\geq E_{\theta_1}(varphi(x))成立\\
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||||
$$
|
||||
* 结论
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||||
$$
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||||
成检验函数\varphi^*为假设检验的水平为\alpha的最优势检验。(MPT)
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||||
$$
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||||
|
||||
### 定理：Neyman-Pearson基本引理
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||||
* 声明
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||||
$$
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||||
检验水平\alpha，检验函数\varphi(x),\varphi\in\varPhi_\alpha
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||||
$$
|
||||
* 条件
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||||
$$
|
||||
\varphi(x)=\begin{cases}
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||||
1,\lambda(x)>k\\
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||||
0,\lambda(x)<k
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||||
\end{cases}\\
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||||
E_{\theta_0}(\varphi(x))=\alpha\\
|
||||
检验函数\varphi(x)是检验水平为\alpha的最优势检验\\
|
||||
似然比统计量\lambda(x)=\frac{p(x;\theta_1)}{p(x;\theta_1)}\\
|
||||
$$
|
||||
* 结论
|
||||
$$
|
||||
存在常数k\geq0使得检验函数满足：\\
|
||||
\varphi(x)=\begin{cases}
|
||||
1,\lambda(x)>k\\
|
||||
0,\lambda(x)<k
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
如果E_{\theta_1}(\varphi(x))<1,则\varphi(x)满足：\\
|
||||
E_{\theta_0}(\varphi(x))=\alpha\\
|
||||
$$
|
||||
|
||||
|
||||
## 2 一致最优势检验
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||||
### 定义：一致最优势检验
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||||
* 条件
|
||||
$$
|
||||
检验水平\alpha的检验函数\varphi^*\in\Theta_\alpha\\
|
||||
对任意水平\alpha的检验函数\varphi满足不等式：\\
|
||||
|
||||
E_{\theta_0}(\varphi^*(x))\geq E_\theta(\varphi(x))
|
||||
$$
|
||||
* 结论
|
||||
$$
|
||||
则称\varphi^*(x)为水平为\alpha的一致最优势检验，记为UMPT。
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### 定理：一致最优势检验存在定理
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||||
* 声明
|
||||
$$
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||||
样本(x_1,\dotsm,x_n)\\
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||||
联合分布函数p(x;\theta)
|
||||
$$
|
||||
* 条件
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||||
$$
|
||||
p(x;\theta)=d(\theta)h(x)exp\{c(\theta)T(x)\}\\
|
||||
\theta是实值函数,c(\theta)是关于\theta严格单调增函数\\
|
||||
单侧假设检验H_0:\theta\leq\theta_0,H_1:\theta>\theta_0
|
||||
$$
|
||||
* 结论1
|
||||
$$
|
||||
水平为\alpha 的一致最优势检验存在\\
|
||||
检验函数为：
|
||||
\varphi^*(x)=\begin{cases}
|
||||
1, T(x)>c\\
|
||||
r,T(x)=c\\
|
||||
0,T(x)<c
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
常数c,r\in[0,1],E_{\theta_0}(\varphi^*(x))=\alpha
|
||||
$$
|
||||
* 结论2
|
||||
$$
|
||||
水平为\alpha的一致最优势函数\varphi^*(x)的势函数E_{\theta_0}(\varphi^*(x))是\theta的单调递增函数。
|
||||
$$
|
||||
* 结论3
|
||||
$$
|
||||
c(\theta)单调递减，可以添加符号。\\
|
||||
H_0:\theta=\theta_0,H_1:\theta>\theta_0结论成立\\
|
||||
H_0:\theta=\theta_0,H_1:\theta<\theta_0修改检验符号\\
|
||||
H_0:\theta\geq\theta_0,H_1:\theta<\theta_0修改检验符号\\
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### 定理：双侧一致最优势检验存在定理
|
||||
* 声明
|
||||
$$
|
||||
样本(x_1,\dotsm,x_n)\\
|
||||
联合分布函数p(x;\theta)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
* 条件
|
||||
$$
|
||||
p(x;\theta)=d(\theta)h(x)exp\{c(\theta)T(x)\}\\
|
||||
\theta是实值函数,c(\theta)是关于\theta严格单调增函数\\
|
||||
双侧假设检验H_0:\theta\leq\theta_1,或\theta\geq\theta_2,H_1:\theta_1<\theta>\theta_2
|
||||
$$
|
||||
* 结论
|
||||
$$
|
||||
水平为\alpha 的一致最优势检验存在\\
|
||||
检验函数为：
|
||||
\varphi^*(x)=\begin{cases}
|
||||
1, c_1<T(x)<c_2\\
|
||||
r_i,T(x)=c_i,i=1,2\\
|
||||
0,T(x)<c_1或T(x)>c_2
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
常数c,r\in[0,1],E_{\theta_1}(\varphi^*(x))=\alpha,E_{\theta_2}(\varphi^*(x))=\alpha
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 3 一致最优势无偏检验
|
||||
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||||
### 定义：无偏检验
|
||||
* 声明
|
||||
$$
|
||||
检验类型：H_0:\theta=\Theta_0,H_1:\theta\in\Theta_1
|
||||
$$
|
||||
* 条件
|
||||
$$
|
||||
势函数g_\varphi(\theta)=E_\theta(\varphi(x))满足：
|
||||
\begin{cases}
|
||||
g_\varphi(\theta)\leq\alpha,\theta\in\Theta_0\\
|
||||
g_\varphi(\theta)\geq\alpha,\theta\in\Theta_1
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
* 结论
|
||||
|
||||
$$
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\varphi(x)是水平为\alpha的一致最优势检验就一定是无偏检验。
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### 定义：一致最优势无偏检验
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* 声明
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检验类型：H_0:\theta=\Theta_0,H_1:\theta\in\Theta_1
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* 条件
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存在检验水平为\alpha的无偏检验函数\varphi^*(x)\\
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使得任意水平\alpha任意的\theta的无偏检验函数满足不等式:\\
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E_{\theta}(\varphi^*(x))\geq E_\theta(\varphi(x))
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* 结论
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称检验函数\varphi^*为水平为\alpha的一直最优势无偏检验UMPUT
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### 定理：一致最优势无偏检验存在定理
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* 声明
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样本(x_1,\dotsm,x_n)\\
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联合分布函数p(x;\theta)
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* 条件
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p(x;\theta)=d(\theta)h(x)exp\{c(\theta)T(x)\}\\
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\theta是实值函数,c(\theta)是关于\theta严格单调增函数\\
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双侧假设检验H_0:\theta\leq\theta_1,或\theta\geq\theta_2,H_1:\theta_1<\theta>\theta_2
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* 结论
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水平为\alpha 的一致最优势无偏检验存在\\
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检验函数为：
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\varphi^*(x)=\begin{cases}
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1, T(x)<c_1或T(x)>c_2\\
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r_i,T(x)=c_i,i=1,2\\
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0,c_1<T(x)<c_2
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\end{cases}\\
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常数c,r\in[0,1],E_{\theta_1}(\varphi^*(x))=\alpha,E_{\theta_2}(\varphi^*(x))=\alpha
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$$
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### 定理：一致最优势无偏检验存在定理
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* 声明
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样本(x_1,\dotsm,x_n)\\
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联合分布函数p(x;\theta)
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$$
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* 条件
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$$
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p(x;\theta)=d(\theta)h(x)exp\{c(\theta)T(x)\}\\
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||||
\theta是实值函数,c(\theta)是关于\theta严格单调增函数\\
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||||
双侧假设检验H_0:\theta=\theta_1,H_1:\theta\not =\theta_2
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$$
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* 结论
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$$
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水平为\alpha 的一致最优势无偏检验存在\\
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检验函数为：
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\varphi^*(x)=\begin{cases}
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1, T(x)<c_1或T(x)>c_2\\
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||||
r_i,T(x)=c_i,i=1,2\\
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||||
0,c_1<T(x)<c_2
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\end{cases}\\
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常数c,r\in[0,1],E_{\theta_1}(\varphi^*(x))=\alpha,E_{\theta_2}(\varphi^*(x))=\alpha
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$$
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@@ -19,9 +19,15 @@ $$
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T_1为置信下限，T_2为置信上限，1-\alpha为置信水平置信度
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### 理解
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### 理解：置信度与置信区间的辩证关系
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> * 置信度与置信区间之间存在不等式关系。置信度---随机变量区间的概率分布，之间存在不等式关系。可以通过其不等式关系+枢轴变量法，求得当前>=当前置信度$1-\alpha$的置信区间。
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> * 在相同的置信区间下，置信度越高越好。在相同的置信度下，置信区间越小，表示精确度越高，越好。
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> * 置信度表示可信程度，越高越好，置信区间表示精确度，越小越好。
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> * 当样本容量n固定式，置信度越大，估计参数的可信度就越高，但置信区间也越大，同时会降低精确度。
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> * 当置信区间越小，置信区间的精确度会提高，但置信度减小，可信度会变低。
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> * 精确度和可信度是一对不可调和的矛盾。
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> 置信度、拒绝度---随机变量区间的概率分布，之间存在不等式关系。可以通过其不等式关系+枢轴变量法，求得当前>=当前置信度$1-\alpha$的置信区间。
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## 2 枢轴变量法
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> t分布当自由度超过45之后可以看做N正太分布。
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Reference in New Issue
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