数学

概率论与数理统计/0考试.md

@@ -1,5 +1,49 @@
 # 考试
 
+## 1 考试内容
+
+### 第一章：基础知识
+
+* 充分统计量
+* 正态分布
+* 三大分布的性质；
+
+### 第二章：参数估计
+
+* 估计方法：频率估计、矩估计、极大似然估计方法
+* 评优准则：无偏估计、一致最小方差无偏估计
+* Fisher信息量、有效估计；
+* 相合估计、区间估计不考，但是可以加深对假设检验的理解。
+
+
+### 第三章：假设检验
+
+* 基本概念：拒绝域、第一第二类错误、势函数定义，
+* 正态总体假设检验（必考，重要）
+* 似然比检验，
+* 检验的优良性：最优势检验、一致最优势检验、无偏检验；
+
+### 第四章：回归分析
+
+* 大作业内容已考察；
+
+### 第五章：方差分析与正交试验
+
+* 极差分析和正交表设计；
+
+### 第六章：多元正太总体
+
+* 不做要求；
+
+### 第七章：判别分析
+
+* 大作业内容已考察；
+
+### 第八章：相关分析
+
+* 主成分分析。
+
+
 ### 参数估计
 * 求：极大似然估计、一致最小方差无偏估计
 * 求Fisher信息量

概率论与数理统计/第11节 假设检验.md

@@ -13,7 +13,7 @@
 
 * 所要检验的假设称为原假设或零假设，记为$H_0$。
 * 与$H_0$不相容的假设称为备择假设或对立假设，记为$H_1$。
-* 对参数分布族$\{p(x;\theta):\theta\in\Theta\}$，原假设和北泽假设这对矛盾统一体，称为假设检验：
+* 对参数分布族$\{p(x;\theta):\theta\in\Theta\}$，原假设和备择假设这对矛盾统一体，称为假设检验：
 $$
 H_0:\theta\in\Theta_0,H_1:\theta\in\Theta_1
 $$
@@ -46,7 +46,7 @@ $$
 
 * 第二类错误：当原假设$H_0$本来不成立时，样本观察值落入接受域$W^c$，我们错误的接受了$H_0$，称为取伪错误，其概率为：
 $$
-\beta(\theta)=P_\theta\{x\notin W\}=1-P_\theta{x\in W},\theta\in\Theta_1e
+\beta(\theta)=P_\theta\{x\notin W\}=1-P_\theta\{x\in W\},\theta\in\Theta_1e
 $$
 
 $$

概率论与数理统计/第12节 正太总体参数的假设检验.md

@@ -1,4 +1,4 @@
-                                                                                                                                                                                                                                                                                                               # 正太总体参数的假设检验
+# 正太总体参数的假设检验
 > 一会单独复习这里
 ## 1 单个总体-方差已知-均值检验 
 

概率论与数理统计/第15节 检验的优良性.md

@@ -12,7 +12,7 @@ $$
 $$
 存在检验水平\alpha的检验函数\varphi^*\in\varPhi_\alpha,\\
 任一水平为\alpha的检验\varphi\in\varPhi_\alpha,有：\\
-E_{\theta_1}(\varphi^*(x))\geq E_{\theta_1}(varphi(x))成立\\
+E_{\theta_1}(\varphi^*(x))\geq E_{\theta_1}(\varphi(x))成立\\
 $$
 * 结论
 $$
@@ -53,13 +53,16 @@ $$
 检验水平\alpha的检验函数\varphi^*\in\Theta_\alpha\\
 对任意水平\alpha的检验函数\varphi满足不等式：\\
 
-E_{\theta_0}(\varphi^*(x))\geq E_\theta(\varphi(x))
+E_{\theta}(\varphi^*(x))\geq E_\theta(\varphi(x))
 $$
 * 结论
 $$
 则称\varphi^*(x)为水平为\alpha的一致最优势检验，记为UMPT。
 $$
 
+> 一致最优势检验将参数的范围从$\theta_1$扩大到了$\theta$。如果最优势检验，不依赖于备择假设的参数，则可扩大备择假设，并由最优势检验获得一致最优势检验。扩大了NP引理。
+
+
 ### 定理：一致最优势检验存在定理
 * 声明
 $$

概率论与数理统计/第18节 方差分析.md

@@ -97,7 +97,7 @@ F=\frac{S_A/(p-1)}{S_e/(n-p)}\sim F(p-1,n-p)
 $$
 * 拒绝域
 $$
-W=\{F:F\geq F_{1-\alpha}((p-1),n-p)\}
+W=\{F:F\geq F_{1-\alpha}((p-1),(n-p)\}
 $$
 
 > 重点：5.1.4表

概率论与数理统计/第1节 概率论基础知识.md

@@ -36,7 +36,8 @@ $$
 ### 全概率公式  
 设试验$E$样本空间为$S$，$A$为试验的实践，$B_1,\dotsm,B_n$为S的一个划分，且$P(B_i)>0$,则：
 $$
-P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+\dotsm+P(A)P(A|B_n)
+P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+\dotsm+P(A|B_n)P(B_n)\\
+=\sum_i^nP(A|B_i)P(B_i)
 $$
 
 ### 贝叶斯公式
@@ -156,7 +157,7 @@ $$
 
 ### 正太分布或高斯分布$X\sim N(\mu,\sigma^2)$:
 $$
-f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{{x-\mu}^2}{2 \sigma^2}},-\infin < x < + \infin
+f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{{x-\mu}^2}{2 \sigma^2}},-\infin < x < + \infin
 $$
 相关性质：
 1. 关于$x=\mu$对称

概率论与数理统计/第3节 统计量.md

@@ -72,7 +72,7 @@ $$
 ### 公式：$X_{(n)}$
 $$
 F_{x_{(n)}}(t)=F^n(t)\\
-P_{x_{(1)}}=nF^{n-1}(t)(F'(t))
+P_{x_{(n)}}=nF^{n-1}(t)(F'(t))
 $$
 ### 公式：极差
 $$

概率论与数理统计/第4节 抽样分布.md

@@ -20,8 +20,8 @@
 X是随机变量$e^{-itX}$数学期望为X的分布的特征函数。
 $$
 \varphi_X(t)=E(e^{itX})=Ecos(tX)+iEsin(tX)\\
-离散型：\varphi_X(t) =E(e^{itX})= \int_{-\infin}^{+\infin}f(x)e^{itx}dx \\
-连续型：\varphi_X(t) =E(e^{itX})= \sum_kp_ke^{(itx_k)}
+连续型：\varphi_X(t) =E(e^{itX})= \int_{-\infin}^{+\infin}f(x)e^{itx}dx \\
+离散型：\varphi_X(t) =E(e^{itX})= \sum_kp_ke^{(itx_k)}
 $$
 
 ### 公式：常见分布的特征函数
@@ -64,7 +64,7 @@ $$
 
 $$
 \Gamma(s+1)=s\Gamma(s),s>0,s\in R \\
-\Gamma(s+1)=n!,s>0,s\in N
+\Gamma(n+1)=n!,s>0,s\in N
 $$
 ### 性质：极限
 当$s\rightarrow 0^+$时，$\Gamma(s)\rightarrow+\infin$
@@ -154,7 +154,7 @@ f(z)=\begin{cases}
 \end{cases}
 $$
 ### 定理8：$F(n_1,n_2)$倒数特性
-若$F\sim G(n_1,n_2)$,则$\frac{1}{F}\sim F(n_1,n_2)$
+若$F\sim F(n_1,n_2)$,则$\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$
 
 ## 5 正太总体下统计量的分布
 

概率论与数理统计/第6节 估计量的评优准则.md

@@ -92,7 +92,7 @@ $$
 
 一致最小方差无偏估计是唯一的。
 
-## 4 充分统计量
+## 4 充分统无偏估计量
 > 基于充分统计量的无偏估计
 
 > 对充分统计量的理解，充分统计量能够完整的反映未知参数$\theta$的变换关系。当充分统计量确定后，未知参数也确定了，则整个等式会减少一维的未知关系。
@@ -113,24 +113,14 @@ Var_\theta(T(x))\leq Var_\theta(\varphi(x))\\
 $$
 > 说明：这个结论说明了，充分无偏运算，能够缩小无偏统计量的方差。
 
-* 计算  
 
-解题步骤1：
-
-    * 寻找完全充分统计量
-    * 寻找无偏估计
-    * 做条件期望，得到充分无偏估计量。
-
-解题步骤2：
-
-    * 寻找完全充分统计量
-    * 构造完全充分统计量的无偏估计函数，即充分无偏估计量。
-
-### 定义5：充分无偏估计
+### 定义5：充分无偏估计量
 
 
 充分统计量$S(x)$的函数$h(S(x))$作为参数$q(\theta)$的无偏估计。则成$h(S(x))$是$q(\theta)$的充分无偏估计量。
-
+$$
+T(x)=E_\theta(h(S(x))|S(x))=h(S(x))
+$$
 若$h(S(x))$是$q(\theta)$的无偏估计，则称估计量$h(S(x))$为参数$q(\theta)$的充分无偏估计。
 
 $$
@@ -139,7 +129,7 @@ $$
 
 T(x)是S(x)的函数，是充分估计量。T(x)是无偏估计。所以T(x)是充分无偏估计量。
 
-## 5 充分完全统计量
+## 5 完全充分统计量
 
 > 完全充分无偏估计是一致最小方差无偏估计。
 
@@ -185,6 +175,20 @@ $$
 T(x)=E_\theta(\varphi(x)|S(x))是q(\theta)唯一的一致最小方差无偏估计。
 $$
 
+### 原理总结
+
+1. 定理3，通过条件数学期望，求解充分无偏估计。
+2. 定义5，通过充分统计量构造无偏统计量，得到充分无偏估计量。
+3. 定理4，通过形式函数，得到完全充分统计量。
+4. 定理5，表示完全+充分+无偏，能够得到UMVUE一致最小方差无偏估计。
+
+以上内容可以通过两条路径求解UMVUE
+
+$$
+3\rightarrow 1 \rightarrow 4\\
+3\rightarrow 2 \rightarrow 4
+$$
+
 ## 6 求解无偏估计
 
 当UqS是完全充分的时候，其内只有一个元素。
@@ -196,3 +200,18 @@ $$
 2. 方案二：
 求一个无偏估计---对完全充分统计量取条件期望=一致最小方差无偏估计UMVUE
 
+
+### 求解UMVUE的步骤
+
+
+解题步骤1：
+
+    * 寻找完全充分统计量
+    * 寻找无偏估计
+    * 做条件期望，得到充分无偏估计量。
+
+解题步骤2：
+
+    * 寻找完全充分统计量
+    * 构造完全充分统计量的无偏估计函数，即充分无偏估计量。
+

概率论与数理统计/第7节 信息不等式.md

@@ -49,6 +49,22 @@ $$
 I(\theta)=-E_\theta[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln p(x;\theta)]
 $$
 
+### 定义3：样本的FIsher信息量
+* 样本的Fisher信息量：
+$$
+I_n(\theta)=E_\theta[\frac{\partial}{\partial\theta}\ln p(x_1,\cdots,x_n;\theta)]^2=nI(\theta)\\
+$$
+* 统计量的Fisher信息量
+
+$$
+I_T(\theta)=E_\theta[\frac{\partial}{\partial\theta}\ln p_T(x;\theta)]^2
+$$
+
+* 二者关系
+$$
+I_T(\theta)\leq I_n(\theta)
+$$
+当且仅当T(x)是充分统计量时，等号成立。
 
 ### 定理1：信息不等式
 
@@ -113,7 +129,7 @@ $$
 * 条件
 
 $$
-可估参数q(\theta)的任意无偏估计T\in\U_q \\
+可估参数q(\theta)的任意无偏估计T\in U_q \\
 令e(T,q(\theta))=\frac{[q'(\theta)]^2}{nI(\theta)}/Var_\theta(T)
 $$
 * 结论