完成栈和队列

ch3/README.md

@@ -274,3 +274,46 @@ $$
 
 - 太多层递归可能会导致栈溢出。
 - 可能包含很多重复计算。
+
+## 5. 队列的应用
+
+- 树的层次遍历
+- 图的广度优先遍历
+- 多个进程争抢着使用优先的系统资源时，FCFS（First Come First Service，先来先服务）是一种常用策略。
+
+## 6. [矩阵的压缩存储](matrix/README.md)
+
+数组的存储结构：
+
+- 一维数组
+- 二维数组
+
+特殊矩阵：
+
+- 对称矩阵
+  - 特点：对方阵中的任意一个元素，有 $a_{i,j}=a_{j,i}$。
+  - 压缩：只存主对角线+下三角区（或主对角线+上三角区）。
+- 三角矩阵
+  - 特点：上三角区全为常量（下三角矩阵）；或下三角区全为常量（上三角矩阵）。
+  - 压缩：按行优先/列优先规则依次存储非常量区域，并在最后一个位置存放常量 $c$。
+- 三对角矩阵
+  - 特点：当 $|i-j|>1$ 时，$a_{i,j}=0$ （$1 \leq i, j \leq n$）。
+  - 压缩：按行优先/列优先规则依次存储带状区域。
+- 稀疏矩阵
+  - 特点：非零元素个数远少于零元素个数。
+  - 压缩：只存储非零元素
+    - 顺序存储：顺序存储三元组 `<行，列，值>`。
+    - 链式存储：十字链表法。
+
+常见考题：
+
+- 矩阵的压缩存储需要多长的数组。
+- 由矩阵行列号 $<i,j>$ 推出对应的数组下标号 $k$。
+- 由 $k$ 推出 $<i,j>$
+  - 如何处理不等式中的“刚好大于等于/小于等于”。
+  - “向上取整/向下取整”。
+- 易错点：
+  - 存储上三角？下三角？
+  - 行优先？列优先？
+  - 矩阵元素的下标从 0？1？开始
+  - 数组下标从 0？1？开始

ch3/matrix/README.md

@@ -0,0 +1,146 @@
+# 矩阵的压缩存储
+
+## 1. 一维数组
+
+个数组元素大小相同，且物理上连续存放。
+
+数据元素 $s[i]$ 存放地址为 $LOC+i*sizeof(ElemType)$。
+
+> 除非题目特别说明，否则数组下标默认从 0 开始。
+
+## 2. 二维数组
+
+$b[M][N]$
+
+- 行优先存储。$b[i][j]$ 的存储地址为 $LOC+(i*N+j)*sizeof(ElemType)$。
+- 列优先存储。$b[i][j]$ 的存储地址为 $LOC+(j*M+i)*sizeof(ElemType)$。
+
+## 3. 对称矩阵
+
+若 $n$ 阶**方阵**中任意一个元素 $a_{i,j}$ 都有 $a_{i,j}=a_{j,i}$，则该矩阵为对称矩阵。
+
+- 主对角线
+- 上三角区
+- 下三角区
+
+存储：
+
+- 普通存储：$n \times n$ 二维数组
+- 压缩存储策略：
+  - 只存储主对角线+下三角区
+  - 只存储主对角线+上三角区
+
+按照**行优先**原则将各个元素存入一维数组中，该一维数组长度为 $\frac{n \times (n+1)}{2}$。
+
+$$
+B[0],B[1],B[2],B[3],...,B[\frac{n \times (n+1)}{2}-1]
+$$
+
+映射函数：
+
+- $i \geq j$ 情况，$a_{i,j}$ 对应 $B[\frac{i \times (i-1)}{2}+j-1]$
+- $i \lt j$ 情况，$a_{i,j}$ 对应 $B[\frac{j \times (j-1)}{2}+i-1]$
+
+出题方法：
+
+- 存储上三角？下三角？
+- 行优先？列优先？
+- 矩阵元素的下标从 0？1？开始
+- 数组下标从 0？1？开始
+
+## 4. 三角矩阵
+
+- 下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素都相同。
+- 上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素都相同。
+
+### 4.1. 下三角矩阵的映射函数
+
+$$
+B[0],B[1],B[2],B[3],...,B[\frac{n \times (n+1)}{2}-1],B[\frac{n \times (n+1)}{2}]
+$$
+
+- $i \geq j$ 情况，$a_{i,j}$ 对应 $B[\frac{i \times (i-1)}{2}+j-1]$
+- $i \lt j$ 情况，$a_{i,j}$ 对应 $B[\frac{n \times (n+1)}{2}]$
+
+### 4.2. 上三角矩阵的映射函数
+
+- $i \leq j$ 情况，$a_{i,j}$ 对应 $B[\frac{(i-1) \times (2n-i+2)}{2}+(j-i)]$
+- $i \gt j$ 情况，$a_{i,j}$ 对应 $B[\frac{n \times (n+1)}{2}]$
+
+## 5. 三对角矩阵
+
+三对角矩阵，又称带状矩阵。
+
+当 $|i-j|>1$ 时，$a_{i,j}=0$ （$1 \leq i, j \leq n$）。
+
+### 5.1. 从矩阵到数组
+
+行优先原则，只存储带状部分。数组大小为 $3n-2$。
+
+$$
+a_{1,1},a_{1,2},
+a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3},
+a_{3,2},a_{3,3},a_{3,4},
+...,
+a_{n,n-1},a_{n,n},
+$$
+
+$$
+B[0],B[1],B[2],B[3],...,B[3n-3]
+$$
+
+- 前 $i-1$ 行共 $3(i-1)-1$ 个元素。
+- $a_{i,j}$ 是第 $i$ 行第 $j-i+2$ 个元素。
+- $a_{i,j}$ 是第 $2i+j-2$ 个元素。
+- 数组下标从 $0$ 开始，所以 $a_{i,j}$ 对应 $B[2i+j-3]$
+
+### 5.2. 从数组到矩阵
+
+若已知数组下标 $k$，如何得到 $i,j$？
+
+数组下标从 $0$ 开始，所以该问题是问第 $k+1$ 个元素，在第几行？第几列？
+
+- 前 $i-1$ 行共 $3(i-1)-1$ 个元素。
+- 前 $i$ 行共 $3i-1$ 个元素。
+- 显然：$3(i-1)-1 \lt k+1 \leq 3i-1$
+
+$$
+i \geq (k+2)/3
+$$
+
+向上取整得到 $i$。
+
+> 或 $3(i-1)-1 \leq k \lt 3i-1$，结果为 $i \leq (k+1)/3+1$，向下取整得到 $i$。
+
+## 6. 稀疏矩阵
+
+稀疏矩阵：非零元素远远少于矩阵元素的个数。
+
+### 6.1. 顺序存储
+
+三元组 `<行，列，值>`。
+
+$$
+\left(
+\begin{matrix}
+0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 5 \\
+0 & 3 & 0 & 0 & 9 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\
+0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
+\end{matrix}
+\right)
+$$
+
+| i（行） | j（列） | v（值） |
+| ------- | ------- | ------- |
+| 1       | 3       | 4       |
+| 1       | 6       | 5       |
+| 2       | 2       | 3       |
+| 2       | 4       | 9       |
+| 3       | 5       | 7       |
+| 4       | 2       | 2       |
+
+### 6.2. 十字链表法
+
+![十字链表法](cross-link.png)

ch3/stack-applications/README.md

@@ -191,9 +191,9 @@ $$
 
 若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同的逻辑压入运算符栈（期间也会弹出运算符，每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈顶元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈）
 
-### 2.4. 递归
+## 3. 递归
 
-#### 2.4.1. 函数调用
+### 3.1. 函数调用
 
 函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束。（FIFO）
 
@@ -203,7 +203,7 @@ $$
 2. 实参
 3. 局部变量
 
-#### 2.4.2. 递归算法
+### 3.2. 递归算法
 
 适合用“递归”算法解决：可以把原始问题转换为属性相同，但规模更小的问题。