完成二叉树的定义

README.md

@@ -275,3 +275,20 @@ $$
   - [nextval 数组](ch4/README.md#63-KMP-算法优化)
 
 ## 6. [树与二叉树](ch5/README.md#树与二叉树)
+
+- 二叉树
+  - 二叉树的基本概念
+    - 定义及特点
+    - 二叉树的存储结构
+  - 二叉树的遍历
+  - 搜索二叉树
+  - 二叉树的应用
+    - 二叉排序树
+    - 平衡二叉树
+    - 哈夫曼树和哈夫曼编码
+- 树和森林
+  - 树的基本概念
+  - 树的存储结构
+  - 树和森林的遍历
+  - 树和森林及二叉树的转换
+  - 树的应用：查并集

ch4/README.md

@@ -11,7 +11,7 @@ $$
 - $S$ 为串名。单引号（或双引号）括起来的字符序列是串的值。
 - $a_{1}$ 可以是字母、数字或其他字符。
 - 串中字符的个数 $n$ 为串的长度。
-- $n=0$ 时的串称为空串（用 $\varnothing$ 表示）。
+- $n=0$ 时的串称为空串（用 $\emptyset$ 表示）。
 
 ### 1.1. 相关概念
 
@@ -244,7 +244,7 @@ int Index2(SString S, SString T)
 
 改进思路：主串指针 $i$ 不回溯，只有模式串指针 $j$ 回溯。
 
-主串为 `googlgooglegooglo`，模式串为 `google`。如果 $j=k$ 时才发现匹配失败，说明 $1 \thicksim k-1$ 都匹配成功。
+主串为 `googlgooglegooglo`，模式串为 `google`。如果 $j=k$ 时才发现匹配失败，说明 $1 \sim k-1$ 都匹配成功。
 
 - 若当前两个字符匹配，则 `i++`，`j++`。
 - 若 $j=1$ 时发生不匹配，则应让 `i++`，而 $j$ 依然是 $1$。
@@ -335,7 +335,7 @@ $$
 - 串的前缀：包含第一个字符，且不包含最后一个字符的字符串。
 - 串的后缀：包含最后一个字符，且不包含第一个字符的字符串。
 
-当第 $j$ 个字符匹配失败，由前 $i \thicksim j-1$ 个字符组成的串记为 $S$，则：
+当第 $j$ 个字符匹配失败，由前 $i \sim j-1$ 个字符组成的串记为 $S$，则：
 
 $$
 next[j]=S的在最长相等前后缀长度+1

ch5/README.md

@@ -1 +1,62 @@
 # 树与二叉树
+
+## 1. 树的基本概念
+
+树是 $n（n \geq 0）$ 个节点的有限集合，$n=0$ 时，称为空树。
+
+而任意非空树应满足：
+
+1. 有且仅有一个特定的称为**根**的结点。
+2. 当 $n>0$ 时，其余结点可分为 $m（m \geq 0）$ 个互不相交的有限集合，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根节点的**子树**。
+
+$n$ 个结点的树中只有 $n-1$ 条边。
+
+## 2. 基本术语
+
+- 祖先结点和子孙结点
+- 双亲结点和孩子结点
+- 兄弟结点
+- （结点的）度：树中一个结点的**子结点的个数**称为该结点的度。
+- （树的）度：树中最大度数。
+- 分支结点：度大于 $0$ 的结点。
+- 叶子结点：度为 $0$ 的结点。
+- 结点的层次：根结点为第一层（或第零层）。
+- 结点的高度：从叶子结点（第一层）开始逐层累加。
+- 结点的深度：从根节点（第一层）开始逐层累加。
+- 树的高度（深度）是树中结点的最大层数。
+- 有序树和无序树
+- 路径：树中两个结点之间的路径是由这两个结点之间所经过的**结点序列**构成的。（树的分支是有向的，即从双亲结点指向孩子结点，所以路径一定是自上而下的。）
+- 路径长度：路径上所经过**边**的个数。
+- 森林：$m（m \geq 0）$ 棵互不相交的树的集合。
+
+![树的基本术语](tree.png)
+
+## 3. 树的性质
+
+- 树中结点树等于所有结点的度加 $1$。
+- 度为 $m$ 的树中第 $i$ 层上至少有 $m^{i-1}$ 个结点（$i \geq 1$）。
+- 高度为 $h$ 的 $m$ 叉树至多有 $(m^h-1)/(m-1)$ 个结点。
+- 具有 $n$ 个结点的 $m$ 叉树的最小高度为：$\left \lceil log_m(n(m-1)+1) \right \rceil$。
+
+性质二说明：
+
+- 第一层：$1=m^0$
+- 第二层：$1=m^1$
+- 第三层：$1=m^2$
+- ...
+- 第 $i$ 层：$1=m^{i-1}$
+
+## 4. [二叉树](binary-tree/README.md#二叉树)
+
+### 4.1. [五种基本形态](binary-tree/README.md#1-五种基本形态)
+
+### 4.2. [二叉树 VS 度为 2 的有序树](binary-tree/README.md#2-二叉树-VS-度为-2-的有序树)
+
+### 4.3. [特殊二叉树](binary-tree/README.md#3-特殊二叉树)
+
+- [满二叉树](binary-tree/README.md#31-满二叉树)
+- [完全二叉树](binary-tree/README.md#32-完全二叉树)
+- [二叉排序树](binary-tree/README.md#33-二叉排序树)
+- [平衡二叉树](binary-tree/README.md#34-平衡二叉树)
+
+### 4.4. [二叉树的性质](binary-tree/README.md#4-二叉树的性质)

ch5/binary-tree/README.md

@@ -0,0 +1,86 @@
+# 二叉树
+
+二叉树是 $n（n \geq 0）$ 个结点的有限集合。
+
+1. $n=0$ 时，二叉树为空。
+2. $n>0$ 时，由根节点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树也分别是一棵二叉树。
+
+## 1. 五种基本形态
+
+- 空树
+- 仅有根结点
+- 根节点+左子树
+- 根节点+右子树
+- 根节点+左子树+右子树
+
+![二叉树的五种基本形态](five-basic-form-of-binary-tree.png)
+
+![三个结点的二叉树有多少种](binary-tree-with-3-nodes.png)
+
+## 2. 二叉树 VS 度为 2 的有序树
+
+- 二叉树可以为空，而度为 2 的有序树至少有三个结点。
+- 二叉树的孩子结点始终有左右之分，而度为 2 的有序树孩子结点的次序是相对的。
+
+![二叉树与度为2的有序树的区别](binary-tree-vs-ordered-tree-with-degree-2.png)
+
+## 3. 特殊二叉树
+
+### 3.1. 满二叉树
+
+一颗高度为 $h$，且含有 $2^h-1$ 个结点的二叉树称为满二叉树。（高度为 $h$ 的 $m$ 叉树至多有 $(m^h-1)/(m-1)$ 个结点。）
+
+对于编号为 $i$ 的结点，若存在，其双亲结点的编号为：$\left \lfloor i/2 \right \rfloor$，左孩子编号为：$2i$，右孩子编号为：$2i+1$。
+
+![满二叉树](full-binary-tree.png)
+
+### 3.2. 完全二叉树
+
+设一个高度为 $h$、有 $n$ 个结点的二叉树，当且仅当每个结点都与高度为 $h$ 的满二叉树中编号 $1 \sim n$ 的结点一一对应时，称为完全二叉树。
+
+![完全二叉树](complete-binary-tree.png)
+
+- 若 $i<[n/2]$，则结点 $i$ 为分支结点，否则为叶子结点。
+- 叶子结点只可能出现在层次最大的两层上出现。对于最大层次的叶子结点，都依次排在最左边的位置上。
+- 度为 $1$ 的结点若存在，则可能有一个，且是编号最大的分支结点，并孩子结点一定是左节点。
+
+![完全二叉树的性质](character-of-complete-binary-tree.png)
+
+### 3.3. 二叉排序树
+
+一颗二叉树，若树非空，则有如下性质：
+
+对任意结点若存在左子树或右子树，则其左子树上所有结点的关键字均小于该节点。右子树上所有结点的关键字均大于该结点。
+
+![二叉排序树](binary-sort-tree.png)
+
+### 3.4. 平衡二叉树
+
+树上**任意结点**的左子树和右子树的深度之差不超过 $1$。
+
+![平衡二叉树](balanced-binary-tree.png)
+
+## 4. 二叉树的性质
+
+- 非空二叉树上的叶子结点数等于度为 $2$ 的节点数加 $1$，即 $n_0=n_2+1$
+
+![二叉树性质一](nature-1-of-binary-tree.png)
+
+- 非空二叉树上第 $k$ 层上至多有 $2^{k-1}$ 个结点（$k \geq 1$）。
+- 高度为 $h$ 的二叉树至多有 $2^h-1$ 个结点（$h \geq 1$）。
+
+![二叉树性质二和性质三](nature-2-and-3-of-binary-tree.png)
+
+- 对完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号 $1,2,...,n$，则有以下关系：
+  - 当 $i>1$ 时，结点 $i$ 的双亲节点编号为：$\left \lfloor i/2 \right \rfloor$。即当 $i$ 为偶数时，其双亲结点的编号为 $i/2$，它是双亲结点的左孩子 0；当 $i$ 为奇数时，其双亲结点的编号的为 $(i-1)/2$，它是双亲结点的右孩子。
+  - 当 $2i \leq n$ 时，结点 $i$ 的左孩子编号为 $2i$，否则无左孩子。
+  - 当 $2i+1 \leq n$ 时，结点 $i$ 的右孩子编号为 $2i+1$，否则无右孩子。
+  - 结点 $i$ 所在的层次为 $\left \lfloor log_2i \right \rfloor+1$。
+
+![二叉树性质四](nature-4-of-binary-tree.png)
+
+![二叉树性质四2](nature-4-2-of-binary-tree.png)
+
+- 具有 $n$ 个（$n>0$）结点的完全二叉树的高度为 $\left \lfloor log_2n+1 \right \rfloor$ 或 $\left \lceil log_2(n+1) \right \rceil$。
+
+![二叉树性质五](nature-5-of-binary-tree.png)