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-# 第八讲：求解Ax=b：可解性和解的结构
+# 第八讲：求解$Ax=b$：可解性和解的结构
 
-举例，同上一讲：$`3 \times 4`$矩阵
-
-$$
+举例，同上一讲：$3 \times 4$矩阵
+$
 A=
 \begin{bmatrix}
 1 & 2 & 2 & 2\\
 2 & 4 & 6 & 8\\
 3 & 6 & 8 & 10\\
 \end{bmatrix}
-$$
+$，求$Ax=b$的特解：
 
-，求Ax=b的特解：
-
-写出其增广矩阵（augmented matrix）$`\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]`$：
+写出其增广矩阵（augmented matrix）$\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]$：
 
 $$
 \left[
@@ -34,49 +31,44 @@ $$
 \right]
 $$
 
-显然，有解的必要条件为$`b_3-b_2-b_1=0`$。
+显然，有解的必要条件为$b_3-b_2-b_1=0$。
 
-讨论$b$满足什么条件才能让方程$`Ax=b`$有解（solvability condition on b）：当且仅当$`b`$属于$`A`$的列空间时。另一种描述：如果$`A`$的各行线性组合得到$`0`$行，则$b$端分量做同样的线性组合，结果也为$`0`$时，方程才有解。
+讨论$b$满足什么条件才能让方程$Ax=b$有解（solvability condition on b）：当且仅当$b$属于$A$的列空间时。另一种描述：如果$A$的各行线性组合得到$0$行，则$b$端分量做同样的线性组合，结果也为$0$时，方程才有解。
 
-解法：令所有自由变量取$`0`$，则有$`
-\Big\lbrace
-\begin{eqnarray*}
+解法：令所有自由变量取$0$，则有$
+\begin{cases}
 x_1 & + & 2x_3 & = & 1 \\
     &   & 2x_3 & = & 3 \\
-\end{eqnarray*}
-`$
-，解得
-$`
-\Big\lbrace
-\begin{eqnarray*}
+\end{cases}
+$
+，解得$
+\begin{cases}
 x_1 & = & -2 \\
 x_3 & = & \frac{3}{2} \\
-\end{eqnarray*}
-`$
-，代入$`Ax=b`$求得特解
-$`
+\end{cases}
+$
+，代入$Ax=b$求得特解
+$
 x_p=
 \begin{bmatrix}
 -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0
 \end{bmatrix}
-`$。
-
-令$`Ax=b`$成立的所有解：
+$。
 
+令$Ax=b$成立的所有解：
 $$
-\Big\lbrace
-\begin{eqnarray}
+\begin{cases}
 A & x_p & = & b \\
 A & x_n & = & 0 \\
-\end{eqnarray}
+\end{cases}
 \quad
 \underrightarrow{两式相加}
 \quad
 A(x_p+x_n)=b
 $$
 
-即$`Ax=b`$的解集为其特解加上零空间，对本例有：
-$`
+即$Ax=b$的解集为其特解加上零空间，对本例有：
+$
 x_{complete}=
 \begin{bmatrix}
 -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0
@@ -85,12 +77,12 @@ x_{complete}=
 c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}
 +
 c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}
-`$
+$
 
-对于$`m \times n`$矩阵$`A`$，有矩阵$`A`$的秩$`r \leq min(m, n)`$
+对于$m \times n$矩阵$A$，有矩阵$A$的秩$r \leq min(m, n)$
 
-列满秩$`r=n`$情况：
-$`
+列满秩$r=n$情况：
+$
 A=
 \begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
@@ -98,41 +90,29 @@ A=
 6 & 1 \\
 5 & 1 \\
 \end{bmatrix}
-`$
-，$`rank(A)=2`$，要使$`Ax=b, b \neq 0`$有非零解，$`b`$必须取$`A`$中各列的线性组合，此时A的零空间中只有$`0`$向量。
+$
+，$rank(A)=2$，要使$Ax=b, b \neq 0$有非零解，$b$必须取$A$中各列的线性组合，此时A的零空间中只有$0$向量。
 
-行满秩$`r=m`$情况：
-$`
+行满秩$r=m$情况：
+$
 A=
 \begin{bmatrix}
 1 & 2 & 6 & 5 \\
 3 & 1 & 1 & 1 \\
 \end{bmatrix}
-`$
-，$`rank(A)=2`$，$`\forall b \in R^m`$都有$`x \neq 0`$的解，因为此时$`A`$的列空间为$`R^m`$，$`b \in R^m`$恒成立，组成$`A`$的零空间的自由变量有n-r个。
+$
+，$rank(A)=2$，$\forall b \in R^m都有x \neq 0的解$，因为此时$A$的列空间为$R^m$，$b \in R^m$恒成立，组成$A$的零空间的自由变量有n-r个。
 
-行列满秩情况：$`r=m=n`$，如
-$`
+行列满秩情况：$r=m=n$，如
+$
 A=
 \begin{bmatrix}
 1 & 2 \\
 3 & 4 \\
 \end{bmatrix}
-`$
-，则$`A`$最终可以化简为$`R=I`$，其零空间只包含$`0`$向量。
+$
+，则$A$最终可以化简为$R=I$，其零空间只包含$0$向量。
 
 总结：
 
-$$\begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\$$R=I&R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}&$R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}`$&R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\\1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array}$$
-
----
-
-$`\begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\`$
-R=I
-&
-$`R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}`$&
-$`R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}`$&
-$`R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}`$\\
-1\ solution & 0\ or\ 1\ solution & \infty\ solution&0\ or\ \
-infty\ solution\end{array}$$
-
+$$\begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\R=I&R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\\1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array}$$