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# Theano 循环：scan（详解）
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In [1]:
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```py
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import theano, time
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import theano.tensor as T
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import numpy as np
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def floatX(X):
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return np.asarray(X, dtype=theano.config.floatX)
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```
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```py
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Using gpu device 1: Tesla C2075 (CNMeM is disabled)
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```
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`theano` 中可以使用 `scan` 进行循环，常用的 `map` 和 `reduce` 操作都可以看成是 `scan` 的特例。
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`scan` 通常作用在一个序列上，每次处理一个输入，并输出一个结果。
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`sum(x)` 函数可以看成是 `z + x(i)` 函数在给定 `z = 0` 的情况下，对 `x` 的一个 `scan`。
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通常我们可以将一个 `for` 循环表示成一个 `scan` 操作，其好处如下：
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* 迭代次数成为符号图结构的一部分
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* 最小化 GPU 数据传递
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* 序列化梯度计算
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* 速度比 `for` 稍微快一些
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* 降低内存使用
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## scan 的使用
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函数的用法如下：
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```py
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theano.scan(fn,
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sequences=None,
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outputs_info=None,
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non_sequences=None,
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n_steps=None,
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truncate_gradient=-1,
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go_backwards=False,
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mode=None,
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name=None,
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profile=False,
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allow_gc=None,
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strict=False)
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```
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主要参数的含义：
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* `fn`
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* 一步 `scan` 所进行的操作
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* `sequences`
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* 输入的序列
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* `outputs_info`
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* 前一步输出结果的初始状态
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* `non_sequences`
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* 非序列参数
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* `n_steps`
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* 迭代步数
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* `go_backwards`
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* 是否从后向前遍历
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输出为一个元组 `(outputs, updates)`：
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* `outputs`
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* 从初始状态开始，每一步 `fn` 的输出结果
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* `updates`
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* 一个字典，用来记录 `scan` 过程中用到的共享变量更新规则，构造函数的时候，如果需要更新共享变量，将这个变量当作 `updates` 的参数传入。
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## scan 和 map
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这里实现一个简单的 `map` 操作，将向量 $\mathbf x$ 中的所有元素变成原来的两倍：
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```py
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map(lambda t: t * 2, x)
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```
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In [2]:
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```py
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x = T.vector()
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results, _ = theano.scan(fn = lambda t: t * 2,
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sequences = x)
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x_double_scan = theano.function([x], results)
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print x_double_scan(range(10))
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```
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```py
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[ 0\. 2\. 4\. 6\. 8\. 10\. 12\. 14\. 16\. 18.]
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```
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之前我们说到，`theano` 中的 `map` 是 `scan` 的一个特例，因此 `theano.map` 的用法其实跟 `theano.scan` 十分类似。
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由于不需要考虑前一步的输出结果，所以 `theano.map` 的参数中没有 `outputs_info` 这一部分。
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我们用 `theano.map` 实现相同的效果：
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In [3]:
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```py
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result, _ = theano.map(fn = lambda t: t * 2,
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sequences = x)
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x_double_map = theano.function([x], result)
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||
print x_double_map(range(10))
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```
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```py
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[ 0\. 2\. 4\. 6\. 8\. 10\. 12\. 14\. 16\. 18.]
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```
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## scan 和 reduce
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这里一个简单的 `reduce` 操作，求和：
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```py
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reduce(lambda a, b: a + b, x)
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```
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In [4]:
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```py
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result, _ = theano.scan(fn = lambda t, v: t + v,
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sequences = x,
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outputs_info = floatX(0.))
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# 因为每一步的输出值都会被记录到最后的 result 中，所以最后的和是 result 的最后一个元素。
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x_sum_scan = theano.function([x], result[-1])
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# 计算 1 + 2 + ... + 10
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print x_sum_scan(range(10))
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```
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```py
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45.0
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```
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`theano.reduce` 也是 `scan` 的一个特例，使用 `theano.reduce` 实现相同的效果：
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In [5]:
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```py
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result, _ = theano.reduce(fn = lambda t, v: t + v,
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sequences = x,
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outputs_info = 0.)
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x_sum_reduce = theano.function([x], result)
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||
# 计算 1 + 2 + ... + 10
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||
print x_sum_reduce(range(10))
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```
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```py
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45.0
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```
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`reduce` 与 `scan` 不同的地方在于，`result` 包含的内容并不是每次输出的结果，而是最后一次输出的结果。
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## scan 的使用
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### 输入与输出
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`fn` 是一个函数句柄，对于这个函数句柄，它每一步接受的参数是由 `sequences, outputs_info, non_sequence` 这三个参数所决定的，并且按照以下的顺序排列：
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* `sequences` 中第一个序列的值
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* ...
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* `sequences` 中最后一个序列的值
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* `outputs_info` 中第一个输出之前的值
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* ...
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* `outputs_info` 中最后一个输出之前的值
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* `non_squences` 中的参数
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这些序列的顺序与在参数 `sequences, outputs_info` 中指定的顺序相同。
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默认情况下，在第 `k` 次迭代时，如果 `sequences` 和 `outputs_info` 中给定的值不是字典（`dictionary`）或者一个字典列表（`list of dictionaries`），那么
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* `sequences` 中的序列 `seq` 传入 `fn` 的是 `seq[k]` 的值
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* `outputs_info` 中的序列 `output` 传入 `fn` 的是 `output[k-1]` 的值
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`fn` 的返回值有两部分 `(outputs_list, update_dictionary)`，第一部分将作为序列，传入 `outputs` 中，与 `outputs_info` 中的**初始输入值的维度一致**（如果没有给定 `outputs_info` ，输出值可以任意。）
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第二部分则是更新规则的字典，告诉我们如何对 `scan` 中使用到的一些共享的变量进行更新：
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```py
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return [y1_t, y2_t], {x:x+1}
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```
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这两部分可以任意，即顺序既可以是 `(outputs_list, update_dictionary)`, 也可以是 `(update_dictionary, outputs_list)`，`theano` 会根据类型自动识别。
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两部分只需要有一个存在即可，另一个可以为空。
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### 例子分析
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例如，在我们的第一个例子中
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```py
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theano.scan(fn = lambda t: t * 2,
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sequences = x)
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```
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在第 `k` 次迭代的时候，传入参数 `t` 的值为 `x[k]`。
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再如，在我们的第二个例子中：
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```py
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theano.scan(fn = lambda t, v: t + v,
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sequences = x,
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outputs_info = floatX(0.))
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```
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`fn` 接受了两个参数，初始迭代时，按照规则，`t` 接受的参数为 `x[0]`，`v` 接受的参数为我们传入 `outputs_info` 的第一个初始值即 `0` （认为是 `outputs[-1]`），他们的结果 `t+v` 将作为 `outputs[0]` 的值传入下一次迭代以及最终 `scan` 输出的 `outputs` 值中。
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### 输入多个序列
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我们可以一次输入多个序列，这些序列会按照顺序传入 fn 的参数中，例如计算多项式 $$ \sum_{n=0}^N a_n x^ n $$ 时，我们可以将多项式的系数和幂数两个序列放到一个 `list` 中作为输入参数：
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In [6]:
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```py
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# 变量 x
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x = T.scalar("x")
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# 不为 0 的系数
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A = T.vectors("A")
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# 对应的幂数
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N = T.ivectors("N")
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# a 对应的是 A， n 对应 N，v 对应 x
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components, _ = theano.scan(fn = lambda a, n, v: a * (v ** n),
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sequences = [A, N],
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non_sequences = x)
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result = components.sum()
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polynomial = theano.function([x, A, N], result)
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# 计算 1 + 3 * 10 ^ 2 + 2 * 10^3 = 2301
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print polynomial(floatX(10),
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floatX([1, 3, 2]),
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[0, 2, 3])
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```
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```py
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2301.0
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```
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### 使用序列的多个值
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默认情况下，我们只能使用输入序列的当前时刻的值，以及前一个输出的输出值。
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事实上，`theano` 会将参数中的序列变成一个有 `input` 和 `taps` 两个键值的 `dict`：
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* `input`：输入的序列
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* `taps`：要传入 `fn` 的值的列表
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* 对于 `sequences` 参数中的序列来说，默认值为 [0]，表示时间 `t` 传入 `t+0` 时刻的序列值，可以为正，可以为负。
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* 对于 `outputs_info` 参数中的序列来说，默认值为 [-1]，表示时间 `t` 传入 `t-1` 时刻的序列值，只能为负值，如果值为 `None`，表示这个输出结果不会作为参数传入 `fn` 中。
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传入 `fn` 的参数也会按照 `taps` 中的顺序来排列，我们考虑下面这个例子：
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```py
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scan(fn, sequences = [ dict(input= Sequence1, taps = [-3,2,-1])
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, Sequence2
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, dict(input = Sequence3, taps = 3) ]
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, outputs_info = [ dict(initial = Output1, taps = [-3,-5])
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, dict(initial = Output2, taps = None)
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, Output3 ]
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, non_sequences = [ Argument1, Argument2])
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```
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首先是 `Sequence1` 的 `[-3, 2, -1]` 被传入，然后 `Sequence2` 不是 `dict`， 所以传入默认值 `[0]`，`Sequence3` 传入的参数是 `3`，所以 `fn` 在第 `t` 步接受的前几个参数是：
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```py
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Sequence1[t-3]
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Sequence1[t+2]
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Sequence1[t-1]
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Sequence2[t]
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||
Sequence3[t+3]
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```
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然后 `Output1` 传入的是 `[-3, -5]`（**传入的初始值的形状应为 `shape (5,)+`**），`Output2` 不作为参数传入，`Output3` 传入的是 `[-1]`，所以接下的参数是：
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```py
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Output1[t-3]
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Output1[t-5]
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||
Output3[t-1]
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Argument1
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Argument2
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```
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总的说来上面的例子中，`fn` 函数按照以下顺序最多接受这样 10 个参数：
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```py
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Sequence1[t-3]
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||
Sequence1[t+2]
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Sequence1[t-1]
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||
Sequence2[t]
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||
Sequence3[t+3]
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Output1[t-3]
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Output1[t-5]
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||
Output3[t-1]
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||
Argument1
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||
Argument2
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```
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例子，假设 $x$ 是我们的输入，$y$ 是我们的输出，我们需要计算 $y(t) = tanh\left[W_{1} y(t-1) + W_{2} x(t) + W_{3} x(t-1)\right]$ 的值：
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In [7]:
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```py
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X = T.matrix("X")
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Y = T.vector("y")
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W_1 = T.matrix("W_1")
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W_2 = T.matrix("W_2")
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W_3 = T.matrix("W_3")
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# W_yy 和 W_xy 作为不变的参数可以直接使用
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results, _ = theano.scan(fn = lambda x, x_pre, y: T.tanh(T.dot(W_1, y) + T.dot(W_2, x) + T.dot(W_3, x_pre)),
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# 0 对应 x，-1 对应 x_pre
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sequences = dict(input=X, taps=[0, -1]),
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outputs_info = Y)
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Y_seq = theano.function(inputs = [X, Y, W_1, W_2, W_3],
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outputs = results)
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```
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测试小矩阵计算：
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In [8]:
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```py
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# 测试
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t = 1001
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x_dim = 10
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y_dim = 20
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x = 2 * floatX(np.random.random([t, x_dim])) - 1
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y = 2 * floatX(np.zeros(y_dim)) - 1
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||
w_1 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, y_dim])) - 1
|
||
w_2 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, x_dim])) - 1
|
||
w_3 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, x_dim])) - 1
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||
tic = time.time()
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||
y_res_theano = Y_seq(x, y, w_1, w_2, w_3)
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||
print "theano running time {:.4f} s".format(time.time() - tic)
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tic = time.time()
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# 与 numpy 的结果进行比较：
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y_res_numpy = np.zeros([t, y_dim])
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y_res_numpy[0] = y
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for i in range(1, t):
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y_res_numpy[i] = np.tanh(w_1.dot(y_res_numpy[i-1]) + w_2.dot(x[i]) + w_3.dot(x[i-1]))
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||
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||
print "numpy running time {:.4f} s".format(time.time() - tic)
|
||
|
||
# 这里要从 1 开始，因为使用了 x(t-1)，所以 scan 从第 1 个位置开始计算
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||
print "the max difference of the first 10 results is", np.max(np.abs(y_res_theano[0:10] - y_res_numpy[1:11]))
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```
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```py
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theano running time 0.0537 s
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numpy running time 0.0197 s
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the max difference of the first 10 results is 1.25780650354e-06
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```
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测试大矩阵运算：
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In [9]:
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```py
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# 测试
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t = 1001
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x_dim = 100
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y_dim = 200
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x = 2 * floatX(np.random.random([t, x_dim])) - 1
|
||
y = 2 * floatX(np.zeros(y_dim)) - 1
|
||
w_1 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, y_dim])) - 1
|
||
w_2 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, x_dim])) - 1
|
||
w_3 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, x_dim])) - 1
|
||
|
||
tic = time.time()
|
||
|
||
y_res_theano = Y_seq(x, y, w_1, w_2, w_3)
|
||
|
||
print "theano running time {:.4f} s".format(time.time() - tic)
|
||
|
||
tic = time.time()
|
||
# 与 numpy 的结果进行比较：
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y_res_numpy = np.zeros([t, y_dim])
|
||
y_res_numpy[0] = y
|
||
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for i in range(1, t):
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||
y_res_numpy[i] = np.tanh(w_1.dot(y_res_numpy[i-1]) + w_2.dot(x[i]) + w_3.dot(x[i-1]))
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||
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||
print "numpy running time {:.4f} s".format(time.time() - tic)
|
||
|
||
# 这里要从 1 开始，因为使用了 x(t-1)，所以 scan 从第 1 个位置开始计算
|
||
print "the max difference of the first 10 results is", np.max(np.abs(y_res_theano[:10] - y_res_numpy[1:11]))
|
||
|
||
```
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||
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||
```py
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||
theano running time 0.0754 s
|
||
numpy running time 0.1334 s
|
||
the max difference of the first 10 results is 0.000656997077348
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```
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||
值得注意的是，由于 `theano` 和 `numpy` 在某些计算的实现上存在一定的差异，随着序列长度的增加，这些差异将被放大：
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In [10]:
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```py
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for i in xrange(20):
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||
print "iter {:03d}, max diff:{:.6f}".format(i + 1,
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||
np.max(np.abs(y_res_numpy[i + 1,:] - y_res_theano[i,:])))
|
||
|
||
```
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||
|
||
```py
|
||
iter 001, max diff:0.000002
|
||
iter 002, max diff:0.000005
|
||
iter 003, max diff:0.000007
|
||
iter 004, max diff:0.000010
|
||
iter 005, max diff:0.000024
|
||
iter 006, max diff:0.000049
|
||
iter 007, max diff:0.000113
|
||
iter 008, max diff:0.000145
|
||
iter 009, max diff:0.000334
|
||
iter 010, max diff:0.000657
|
||
iter 011, max diff:0.001195
|
||
iter 012, max diff:0.002778
|
||
iter 013, max diff:0.004561
|
||
iter 014, max diff:0.004748
|
||
iter 015, max diff:0.014849
|
||
iter 016, max diff:0.012696
|
||
iter 017, max diff:0.043639
|
||
iter 018, max diff:0.046540
|
||
iter 019, max diff:0.083032
|
||
iter 020, max diff:0.123678
|
||
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||
```
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|
||
### 控制循环次数
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假设我们要计算方阵$A$的$A^k$，$k$ 是一个未知变量，我们可以这样通过 `n_steps` 参数来控制循环计算的次数：
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In [11]:
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||
```py
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||
A = T.matrix("A")
|
||
k = T.iscalar("k")
|
||
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||
results, _ = theano.scan(fn = lambda P, A: P.dot(A),
|
||
# 初始值设为单位矩阵
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||
outputs_info = T.eye(A.shape[0]),
|
||
# 乘 k 次
|
||
non_sequences = A,
|
||
n_steps = k)
|
||
|
||
A_k = theano.function(inputs = [A, k], outputs = results[-1])
|
||
|
||
test_a = floatX([[2, -2], [-1, 2]])
|
||
|
||
print A_k(test_a, 10)
|
||
|
||
# 使用 numpy 进行验证
|
||
a_k = np.eye(2)
|
||
for i in range(10):
|
||
a_k = a_k.dot(test_a)
|
||
|
||
print a_k
|
||
|
||
```
|
||
|
||
```py
|
||
[[ 107616\. -152192.]
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[ -76096\. 107616.]]
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[[ 107616\. -152192.]
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[ -76096\. 107616.]]
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```
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### 使用共享变量
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可以在 `scan` 中使用并更新共享变量，例如，利用共享变量 `n`，我们可以实现这样一个迭代 `k` 步的简单计数器：
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In [12]:
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```py
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n = theano.shared(floatX(0))
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k = T.iscalar("k")
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# 这里 lambda 的返回值是一个 dict，因此这个值会被传入 updates 中
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_, updates = theano.scan(fn = lambda n: {n:n+1},
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non_sequences = n,
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n_steps = k)
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counter = theano.function(inputs = [k],
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outputs = [],
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updates = updates)
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print n.get_value()
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counter(10)
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print n.get_value()
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counter(10)
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print n.get_value()
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```
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```py
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0.0
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10.0
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20.0
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```
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之前说到，`fn` 函数的返回值应该是 `(outputs_list, update_dictionary)` 或者 `(update_dictionary, outputs_list)` 或者两者之一。
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这里 `fn` 函数返回的是一个字典，因此自动被放入了 `update_dictionary` 中，然后传入 `function` 的 `updates` 参数中进行迭代。
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### 使用条件语句结束循环
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我们可以将 `scan` 设计为 `loop-until` 的模式，具体方法是在 `scan` 中，将 `fn` 的返回值增加一个参数，使用 `theano.scan_module` 来设置停止条件。
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假设我们要计算所有不小于某个值的 2 的幂，我们可以这样定义：
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In [13]:
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```py
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max_value = T.scalar()
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results, _ = theano.scan(fn = lambda v_pre, max_v: (v_pre * 2, theano.scan_module.until(v_pre * 2 > max_v)),
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outputs_info = T.constant(1.),
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non_sequences = max_value,
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n_steps = 1000)
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# 注意，这里不能取 results 的全部
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# 例如在输入值为 40 时，最后的输出可以看成 (64, False)
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# scan 发现停止条件满足，停止循环，但是不影响 64 被输出到 results 中，因此要将 64 去掉
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power_of_2 = theano.function(inputs = [max_value], outputs = results[:-1])
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print power_of_2(40)
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```
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```py
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[ 2\. 4\. 8\. 16\. 32.]
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``` |