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# 第三讲：乘法和逆矩阵
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上一讲大概介绍了矩阵乘法和逆矩阵，本讲就来做进一步说明。
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## 矩阵乘法
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* 行列内积：有$m\times n$矩阵$A$和$n\times p$矩阵$B$（$A$的总列数必须与$B$的总行数相等），两矩阵相乘有$AB=C$，$C$是一个$m\times p$矩阵，对于$C$矩阵中的第$i$行第$j$列元素$c_{ij}$，有：
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$$c_{ij}=row_i\cdot column_j=\sum_{k=i}^na_{ik}b_{kj}$$
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其中$a_{ik}$是$A$矩阵的第$i$行第$k$列元素，$b_{kj}$是$B$矩阵的第$k$行第$j$列元素。
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可以看出$c_{ij}$其实是$A$矩阵第$i$行点乘$B$矩阵第$j$列 $\begin{bmatrix}&\vdots&\\&row_i&\\&\vdots&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}&&\\\cdots&column_j&\cdots\\&&\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}&\vdots&\\\cdots&c_{ij}&\cdots\\&\vdots&\end{bmatrix}$
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* 整列相乘：上一讲我们知道了如何计算矩阵乘以向量，而整列相乘就是使用这种线性组合的思想：
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$\begin{bmatrix}&&\\A_{col1}&A_{col2}&\cdots&A_{coln}\\&&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cdots&b_{1j}&\cdots\\\cdots&b_{2j}&\cdots\\\cdots&\vdots&\cdots\\\cdots&b_{nj}&\cdots\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}&&\\\cdots&\left(b_{1j}A_{col1}+b_{2j}A_{col2}+\cdots+b_{nj}A_{coln}\right)&\cdots\\&&\end{bmatrix}$
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上面的运算为$B$的第$j$个列向量右乘矩阵$A$，求得的结果就是$C$矩阵的第$j$列，即$C$的第$j$列是$A$的列向量以$B$的第$j$列作为系数所求得的线性组合，$C_j=b_{1j}A_{col1}+b_{2j}A_{col2}+\cdots+b_{nj}A_{coln}$。
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* 整行相乘：同样的，也是利用行向量线性组合的思想：
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$\begin{bmatrix}\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\end{bmatrix}\begin{bmatrix}&B_{row1}&\\&B_{row2}&\\&\vdots&\\&B_{rown}&\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\vdots\\\left(a_{i1}B_{row1}+a_{i2}B_{row2}+\cdots+a_{in}B_{rown}\right)\\\vdots\end{bmatrix}$
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上面的运算为$A$的第$i$个行向量左乘矩阵$B$，求得的结果就是$C$矩阵的第$i$行，即$C$的第$i$行是$B$的行向量以$A$的第$i$行作为系数所求的的线性组合，$C_i=a_{i1}B_{row1}+a_{i2}B_{row2}+\cdots+a_{in}B_{rown}$。
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* 列乘以行：用$A$矩阵的列乘以$B$矩阵的行，得到的矩阵相加即可：
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$\begin{bmatrix}&&\\A_{col1}&A_{col2}&\cdots&A_{coln}\\&&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}&B_{row1}&\\&B_{row2}&\\&\vdots&\\&B_{rown}&\end{bmatrix}=A_{col1}B_{row1}+A_{col2}B_{row2}+\cdots+A_{coln}B_{rown}$
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注意，$A_{coli}B_{rowi}$是一个$m\times 1$向量乘以一个$1\times p$向量，其结果是一个$m\times p$矩阵，而所有的$m\times p$矩阵之和就是计算结果。
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* 分块乘法：$\left[\begin{array}{c|c}A_1&A_2\\\hline A_3&A_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c|c}B_1&B_2\\\hline B_3&B_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}A_1B_1+A_2B_3&A_1B_2+A_2B_4\\\hline A_3B_1+A_4B_3&A_3B_2+A_4B_4\end{array}\right]$
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在分块合适的情况下，可以简化运算。
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## 逆（方阵）
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首先，并不是所有的方阵都有逆；而如果逆存在，则有$A^{-1}A=I=AA^{-1}$。教授这里提前剧透，对于方阵，左逆和右逆是相等的，但是对于非方阵（长方形矩阵），其左逆不等于右逆。
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对于这些有逆的矩阵，我们称其为可逆的或非奇异的。我们先来看看奇异矩阵（不可逆的）：$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&6\end{bmatrix}$，在后面将要学习的行列式中，会发现这个矩阵的行列式为$0$。
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观察这个方阵，我们如果用另一个矩阵乘$A$，则得到的结果矩阵中的每一列应该都是$\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$的倍数，所以我们不可能从$AB$的乘积中得到单位矩阵$I$。
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另一种判定方法，如果存在非零向量$x$，使得$Ax=0$，则矩阵$A$不可逆。我们来用上面的矩阵为例：$\begin{bmatrix}1&2\\3&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$。
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证明：如果对于非零的$x$仍有$Ax=0$，而$A$有逆$A^{-1}$，则$A^{-1}Ax=0$，即$x=0$，与题设矛盾，得证。
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现在来看看什么矩阵有逆，设$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}$，我们来求$A^{-1}$。$\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，使用列向量线性组合的思想，我们可以说$A$乘以$A^{-1}$的第$j$列，能够得到$I$的第$j$列，这时我会得到一个关于列的方程组。
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接下来介绍高斯-若尔当（Gauss-Jordan）方法，该方法可以一次处理所有的方程：
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* 这个方程组为$\begin{cases}\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\end{cases}$，我们想要同时解这两个方程；
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* 构造这样一个矩阵$\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\2&7&0&1\end{array}\right]$，接下来用消元法将左侧变为单位矩阵；
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* $\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\2&7&0&1\end{array}\right]\xrightarrow{row_2-2row_1}\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\0&1&-2&1\end{array}\right]\xrightarrow{row_1-3row_2}\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&7&-3\\0&1&-2&1\end{array}\right]$
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* 于是，我们就将矩阵从$\left[\begin{array}{c|c}A&I\end{array}\right]$变为$\left[\begin{array}{c|c}I&A^{-1}\end{array}\right]$
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而高斯-若尔当法的本质是使用消元矩阵$E$，对$A$进行操作，$E\left[\begin{array}{c|c}A&I\end{array}\right]$，利用一步步消元有$EA=I$，进而得到$\left[\begin{array}{c|c}I&E\end{array}\right]$，其实这个消元矩阵$E$就是$A^{-1}$，而高斯-若尔当法中的$I$只是负责记录消元的每一步操作，待消元完成，逆矩阵就自然出现了。
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