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# 第七讲：求解$Ax=0$，主变量，特解
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举例：$3 \times 4$矩阵
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$
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A=
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\begin{bmatrix}
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1 & 2 & 2 & 2\\
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2 & 4 & 6 & 8\\
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3 & 6 & 8 & 10\\
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\end{bmatrix}
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$，求$Ax=0$的特解：
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找出主变量（pivot variable）：
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$$
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A=
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\begin{bmatrix}
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1 & 2 & 2 & 2\\
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2 & 4 & 6 & 8\\
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3 & 6 & 8 & 10\\
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||
\end{bmatrix}
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\underrightarrow{消元}
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\begin{bmatrix}
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\underline{1} & 2 & 2 & 2\\
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0 & 0 & \underline{2} & 4\\
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0 & 0 & 0 & 0\\
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||
\end{bmatrix}
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=U
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$$
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主变量（pivot variable，下划线元素）的个数为2，即矩阵$A$的秩（rank）为2，即$r=2$。
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主变量所在的列为主列（pivot column），其余列为自由列（free column）。
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自由列中的变量为自由变量（free variable），自由变量的个数为$n-r=4-2=2$。
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通常，给自由列变量赋值，去求主列变量的值。如，令$x_2=1, x_4=0$求得特解
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$x=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}$；
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再令$x_2=0, x_4=1$求得特解
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$x=c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}$。
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该例还能进一步简化，即将$U$矩阵化简为$R$矩阵（Reduced row echelon form），即简化行阶梯形式。
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在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都是$0$：
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$$
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U=
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\begin{bmatrix}
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\underline{1} & 2 & 2 & 2\\
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0 & 0 & \underline{2} & 4\\
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||
0 & 0 & 0 & 0\\
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||
\end{bmatrix}
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\underrightarrow{化简}
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\begin{bmatrix}
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||
\underline{1} & 2 & 0 & -2\\
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0 & 0 & \underline{1} & 2\\
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||
0 & 0 & 0 & 0\\
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||
\end{bmatrix}
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=R
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$$
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将$R$矩阵中的主变量放在一起，自由变量放在一起（列交换），得到
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$$
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R=
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\begin{bmatrix}
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||
\underline{1} & 2 & 0 & -2\\
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||
0 & 0 & \underline{1} & 2\\
|
||
0 & 0 & 0 & 0\\
|
||
\end{bmatrix}
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\underrightarrow{列交换}
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\left[
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\begin{array}{c c | c c}
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||
1 & 0 & 2 & -2\\
|
||
0 & 1 & 0 & 2\\
|
||
\hline
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||
0 & 0 & 0 & 0\\
|
||
\end{array}
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||
\right]
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=
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\begin{bmatrix}
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||
I & F \\
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||
0 & 0 \\
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||
\end{bmatrix}
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\textrm{，其中}I\textrm{为单位矩阵，}F\textrm{为自由变量组成的矩阵}
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$$
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计算零空间矩阵$N$（nullspace matrix），其列为特解，有$RN=0$。
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$$
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x_{pivot}=-Fx_{free} \\
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\begin{bmatrix}
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||
I & F \\
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||
\end{bmatrix}
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||
\begin{bmatrix}
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||
x_{pivot} \\
|
||
x_{free} \\
|
||
\end{bmatrix}=0 \\
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N=\begin{bmatrix}
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-F \\
|
||
I \\
|
||
\end{bmatrix}
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$$
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||
在本例中
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$
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N=
|
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\begin{bmatrix}
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-2 & 2 \\
|
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0 & -2 \\
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||
1 & 0 \\
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||
0 & 1 \\
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||
\end{bmatrix}
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$，与上面求得的两个$x$特解一致。
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另一个例子，矩阵
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$
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||
A=
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||
\begin{bmatrix}
|
||
1 & 2 & 3 \\
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||
2 & 4 & 6 \\
|
||
2 & 6 & 8 \\
|
||
2 & 8 & 10 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\underrightarrow{消元}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
1 & 2 & 3 \\
|
||
0 & 2 & 2 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\underrightarrow{化简}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
1 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 1 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
=R
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||
$
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||
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矩阵的秩仍为$r=2$，有$2$个主变量，$1$个自由变量。
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同上一例，取自由变量为$x_3=1$，求得特解
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$
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x=c
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\begin{bmatrix}
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||
-1 \\
|
||
-1 \\
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||
1 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$
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