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第十讲 四个基本子空间
对于$m \times n$矩阵$A$，$rank(A)=r$有：
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行空间$C(A^T) \in \mathbb{R}^n, dim C(A^T)=r$，基见例1。
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零空间$N(A) \in \mathbb{R}^n, dim N(A)=n-r$，自由元所在的列即可组成零空间的一组基。
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列空间$C(A) \in \mathbb{R}^m, dim C(A)=r$，主元所在的列即可组成列空间的一组基。
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左零空间$N(A^T) \in \mathbb{R}^m, dim N(A^T)=m-r$，基见例2。
例1，对于行空间 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 \ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元、化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} =R $
由于我们做了行变换，所以A的列空间受到影响，$C(R) \neq C(A)$，而行变换并不影响行空间，所以可以在$R$中看出前两行就是行空间的一组基。
所以，可以得出无论对于矩阵$A$还是$R$，其行空间的一组基，可以由$R$矩阵的前$r$行向量组成（这里的$R$就是第七讲提到的简化行阶梯形式）。
例2，对于左零空间，有$A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T$，因此得名。
采用Gauss-Jordan消元，将增广矩阵$\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]$中$A$的部分划为简化行阶梯形式$\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]$，此时矩阵$E$会将所有的行变换记录下来。
则$EA=R$，而在前几讲中，有当$A'$是$m$阶可逆方阵时，$R'$即是$I$，所以$E$就是$A^{-1}$。
本例中
\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]=
\left[
\begin{array}
{c c c c|c c c}
1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\underrightarrow{消元、化简}
\left[
\begin{array}
{c c c c|c c c}
1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
=\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]
则
EA=
\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
=R
很明显，式中$E$的最后一行对$A$的行做线性组合后，得到$R$的最后一行，即$0$向量，也就是$y^TA=0^T$。
最后，引入矩阵空间的概念，矩阵可以同向量一样，做求和、数乘。
举例，设所有$3 \times 3$矩阵组成的矩阵空间为$M$。则上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵（前两者的交集）。
观察一下对角矩阵，如果取 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 7 \ \end{bmatrix} $ ，可以发现，任何三阶对角矩阵均可用这三个矩阵的线性组合生成，因此，他们生成了三阶对角矩阵空间，即这三个矩阵是三阶对角矩阵空间的一组基。