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# 第十讲 四个基本子空间
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对于$m \times n$矩阵$A$，$rank(A)=r$有：
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* 行空间$C(A^T) \in \mathbb{R}^n, dim C(A^T)=r$，基见例1。
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* 零空间$N(A) \in \mathbb{R}^n, dim N(A)=n-r$，自由元所在的列即可组成零空间的一组基。
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* 列空间$C(A) \in \mathbb{R}^m, dim C(A)=r$，主元所在的列即可组成列空间的一组基。
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* 左零空间$N(A^T) \in \mathbb{R}^m, dim N(A^T)=m-r$，基见例2。
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例1，对于行空间
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$
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A=
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\begin{bmatrix}
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1 & 2 & 3 & 1 \\
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1 & 1 & 2 & 1 \\
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1 & 2 & 3 & 1 \\
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\end{bmatrix}
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\underrightarrow{消元、化简}
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 1 & 1 \\
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0 & 1 & 1 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & 0 \\
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\end{bmatrix}
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=R
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$
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由于我们做了行变换，所以A的列空间受到影响，$C(R) \neq C(A)$，而行变换并不影响行空间，所以可以在$R$中看出前两行就是行空间的一组基。
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所以，可以得出无论对于矩阵$A$还是$R$，其行空间的一组基，可以由$R$矩阵的前$r$行向量组成（这里的$R$就是第七讲提到的简化行阶梯形式）。
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例2，对于左零空间，有$A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T$，因此得名。
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采用Gauss-Jordan消元，将增广矩阵$\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]$中$A$的部分划为简化行阶梯形式$\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]$，此时矩阵$E$会将所有的行变换记录下来。
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则$EA=R$，而在前几讲中，有当$A'$是$m$阶可逆方阵时，$R'$即是$I$，所以$E$就是$A^{-1}$。
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本例中
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$$
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\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]=
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\left[
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\begin{array}
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{c c c c|c c c}
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1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
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1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
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1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
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\end{array}
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\right]
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\underrightarrow{消元、化简}
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\left[
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\begin{array}
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||
{c c c c|c c c}
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||
1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
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||
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
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||
\end{array}
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\right]
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=\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]
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$$
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则
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$$
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EA=
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\begin{bmatrix}
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-1 & 2 & 0 \\
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1 & -1 & 0 \\
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-1 & 0 & 1 \\
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\end{bmatrix}
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\cdot
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\begin{bmatrix}
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1 & 2 & 3 & 1 \\
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1 & 1 & 2 & 1 \\
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||
1 & 2 & 3 & 1 \\
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||
\end{bmatrix}
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=
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\begin{bmatrix}
|
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1 & 0 & 1 & 1 \\
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||
0 & 1 & 1 & 0 \\
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||
0 & 0 & 0 & 0 \\
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||
\end{bmatrix}
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=R
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$$
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很明显，式中$E$的最后一行对$A$的行做线性组合后，得到$R$的最后一行，即$0$向量，也就是$y^TA=0^T$。
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最后，引入矩阵空间的概念，矩阵可以同向量一样，做求和、数乘。
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举例，设所有$3 \times 3$矩阵组成的矩阵空间为$M$。则上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵（前两者的交集）。
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观察一下对角矩阵，如果取
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$
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 \\
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\end{bmatrix} \quad
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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0 & 3 & 0 \\
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0 & 0 & 0 \\
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||
\end{bmatrix} \quad
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\begin{bmatrix}
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0 & 0 & 0 \\
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||
0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 7 \\
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||
\end{bmatrix}
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||
$
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，可以发现，任何三阶对角矩阵均可用这三个矩阵的线性组合生成，因此，他们生成了三阶对角矩阵空间，即这三个矩阵是三阶对角矩阵空间的一组基。
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