mirror of
https://github.com/apachecn/ailearning.git
synced 2026-02-12 06:46:14 +08:00
114 lines
3.8 KiB
Markdown
114 lines
3.8 KiB
Markdown
|
||
# 第十一讲：矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
|
||
|
||
## 矩阵空间
|
||
|
||
接上一讲，使用$3 \times 3$矩阵举例，其矩阵空间记为$M$。
|
||
|
||
则$M$的一组基为：
|
||
$
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
1 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 1 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix} \\
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
1 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 1 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix} \\
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
1 & 0 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 1 & 0 \\
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 1 \\
|
||
\end{bmatrix} \\
|
||
$
|
||
|
||
易得，$dim M=9$。
|
||
|
||
所以可以得出，对上讲中的三阶对称矩阵空间有$dim S=6$、上三角矩阵空间有$dim U=6$、对角矩阵空间有$dim D=3$
|
||
|
||
求并（intersect）：$S \cup U=D, dim(S \cup U)=9$；
|
||
|
||
求交（sum）：$S \cap U=M, dim(S \cap U)=3$；
|
||
|
||
可以看出：$dim S + dim U=12=dim(S \cup U) + dim(S \cap U)$。
|
||
|
||
另一个例子来自微分方程：
|
||
|
||
$\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$，即$y''+y=0$
|
||
|
||
方程的解有：$y=\cos{x}, \quad y=\sin{x}, \quad y=e^{ix}, \quad y=e^{-ix}$等等（$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}, \quad e^{-ix}=\cos{x}-i\sin{x}$）
|
||
|
||
而该方程的所有解：$y=c_1 \cos{x} + c_2 \sin{x}$。
|
||
|
||
所以，该方程的零空间的一组基为$\cos{x}, \sin{x}$，零空间的维数为$2$。同理$e^{ix}, e^{-ix}$可以作为另一组基。
|
||
|
||
## 秩一矩阵
|
||
|
||
$2 \times 3$矩阵$A=\begin{bmatrix}1&4&5\\2&8&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4&5\end{bmatrix}$。
|
||
|
||
且$dimC(A)=1=dimC(A^T)$，所有的秩一矩阵都可以划为$A=UV^T$的形式，这里的$U, V$均为列向量。
|
||
|
||
秩一矩阵类似“积木”，可以搭建任何矩阵，如对于一个$5 \times 17$秩为$4$的矩阵，只需要$4$个秩一矩阵就可以组合出来。
|
||
|
||
令$M$代表所有$5 \times 17$，$M$中所有秩$4$矩阵组成的集合并不是一个子空间，通常两个秩四矩阵相加，其结果并不是秩四矩阵。
|
||
|
||
现在，在$\mathbb{R}^4$空间中有向量$v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{bmatrix}$，取$\mathbb{R}^4$中满足$v_1+v_2+v_3+v_4=0$的所有向量组成一个向量空间$S$，则$S$是一个向量子空间。
|
||
|
||
易看出，不论是使用系数乘以该向量，或是用两个满足条件的向量相加，其结果仍然落在分量和为零的向量空间中。
|
||
|
||
求$S$的维数：
|
||
|
||
从另一个角度看，$v_1+v_2+v_3+v_4=0$等价于$\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{bmatrix}=0$，则$S$就是$A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}$的零空间。
|
||
|
||
$rank(A)=1$，则对其零空间有$rank(N(A))=n-r=3=dim N(A)$，则$S$的维数是$3$。
|
||
|
||
顺便看一下$1 \times 4$矩阵$A$的四个基本子空间：
|
||
|
||
行空间：$dim C(A^T)=1$，其中的一组基是$\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$；
|
||
|
||
零空间：$dim N(A)=3$，其中的一组基是$\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\0\\1\end{bmatrix}$
|
||
|
||
列空间：$dim C(A)=1$，其中一组基是$\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}$，可以看出列空间就是整个$\mathbb{R}^1$空间。
|
||
|
||
左零空间：$dim N(A^T)=0$，因为$A$转置后没有非零的$v$可以使$Av=0$成立，就是$\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$。
|
||
|
||
综上，$dim C(A^T)+dim N(A)=4=n, dim C(A)+dim N(A^T)=1=m$
|
||
|
||
## 小世界图
|
||
|
||
图（graph）由节点（node）与边（edge）组成。
|
||
|
||
假设，每个人是图中的一个节点，如果两个人为朋友关系，则在这两个人的节点间添加一条边，通常来说，从一个节点到另一个节点只需要不超过$6$步（即六条边）即可到达。
|