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## 纵向联邦学习
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现在我们介绍另一种联邦学习算法：纵向联邦学习（Vertical Federated Learning）。纵向联邦学习的参与方拥有相同样本空间、不同特征空间的数据，通过共有样本数据进行安全联合建模，在金融、广告等领域拥有广泛的应用场景。和横向联邦学习相比，纵向联邦学习的参与方之间需要协同完成数据求交集、模型联合训练和推理，实现技术方法会相对更加复杂，并且随着参与方增多复杂度越高。
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下面以企业A和企业B两方为例来介绍纵向联邦的基本架构和流程。假设企业A有特征数据$X_a$和标签数据$Y$，可以独立建模；企业B有特征数据$X_b$，缺乏标签数据，因此无法独立建模。由于隐私法规和行业规范等原因，两个企业之间的数据无法直接互通。企业A和企业B可采用纵向联邦学习解决方案进行合作，数据不出本地，使用双方共同样本数据$X_a$、$Y$和$X_b$进行联合建模和训练。最终双方都能获得一个更强大的模型。
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### 纵向联邦架构
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:label:`federated-learning-vfl-arch`
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纵向联邦学习系统中的模型训练一般分为如下阶段：
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- 样本对齐：首先对齐企业A和企业B中具有相同ID（Identification）的样本数据。在数据对齐阶段，系统会采用加密算法对数据进行保护，确保任何一方的用户数据不会暴露。
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- 联合训练：在确定企业A和企业B共有用户数据后，可以使用这些共有的数据来协同训练一个业务模型。模型训练过程中，模型参数信息以加密方式进行传递。已训练好的联邦学习模型可以部署在联邦学习系统的各参与方。
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### 样本对齐
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隐私集合求交（Private Set Intersection，PSI）技术是纵向联邦学习中数据样本对齐的常用解决方案。业界PSI实现方案有多种：基于电路、基于公钥加密、基于不经意传输协议和基于全同态加密等。不同PSI方案各有优劣势。例如，基于公钥加密方案不需要辅助服务器运行，但公钥加密的计算开销大；而基于不经意传输方案计算性能高，但通信开销较大。因此在具体应用时，要根据实际场景来选择功能、性能和安全之间的最佳平衡方案。
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基于RSA盲签名是一种基于公钥加密的经典PSI方法，也是当前业界纵向联邦学习系统中广泛应用的技术之一。下面以企业A和企业B为例描述RSA盲签名算法的基本流程。
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:label:`federated-learning-vfl-data`
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企业A作为服务端，拥有标签数据和样本ID集合$\{a_1, a_2, …,a_w\}$。企业B则作为客户端，拥有样本ID集合$\{b_1, b_2, …,b_v\}$。
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首先，在企业A的服务端利用RSA算法生成私钥和公钥。其中，私钥$(n,d)$保留在服务端，公钥$(n,e)$则发送给企业B的客户端。
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在服务端侧生成RSA计算样本对齐ID的签名：
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$$t_j=H^{'}(K_{a:j})$$
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其中，
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$K_{a:j}=(H(a_j))^d \ mod \ n$，是采用私钥$d$加密的对$H(a_j)$的RSA加密的结果。$H()$和$H^{'}()$是哈希函数。
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同样，在客户端侧对样本ID进行公钥加密，并乘以一个随机数$R_{b,i}$用于加盲扰动：
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$$y_i=H(b_i)\cdot(R_{b,i})^e \ mod \ n$$
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客户端侧将上述计算出来的$\{y_1,...,y_v\}$值传输给服务端侧。服务端侧收到$y_i$值后，使用私钥$d$进行签名并计算：
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$$y_i^{'}=y_i^d \ mod \ n$$
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然后将计算出的$\{y_1^{'},...,y_v^{'}\}$和$\{t_1,...,t_w\}$发送给客户端侧。
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而客户端侧收到$y_i^{'}$和$t_j$后，首先完成去盲操作：
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$$K_{b:i}={y_i}^{'}/R_{b,i}$$
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并将自己的ID签名与服务端发过来的ID签名进行样本对齐，得到加密和哈希组合状态下的ID交集$I$，
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$${t_i}^{'}=H^{'}(K_{b:i}) \\I=\{t_1,...,t_w\}\cap \{{t_1}^{'},...,{t_v}^{'}\}$$
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最后，将对齐后的样本ID交集$I$发送给服务端，服务端利用自身的映射表单独求取明文结果。这样企业A和企业B在加密状态下完成了求取相交的用户集合，并且在整个过程中双方非重叠样本ID都不会对外暴露。
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### 联合训练
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在确样本ID对齐后，就可以使用这些公共的数据来训练机器学习模型。目前，线性回归、决策树和神经网络等模型已经被广泛应用到纵向联邦系统中。
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在纵向联邦的模型训练过程中，一般会引入第三方协作者C来实现中心服务器功能，并且假设这个第三方协作者C是可信的，不会与其他参与方合谋。中心服务器在训练过程中作为中立方，产生和分发密钥，并对加密数据进行解密和计算。但中心服务器角色是非必须的，例如在两方联邦学习的场景下，不需要第三方协作者C来协调双方的训练任务，可以由具有标签数据的企业A来充当中心服务服务器的角色。不失一般性，下面继续以包含第三方协作者C的方案来描述纵向联邦模型联合训练过程。
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:label:`federated-learning-vfl-train`
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- 第一步：由第三方协作者C创建密钥对，将公钥发送给企业A和B。
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- 第二步：在企业A和B侧分别计算梯度和损失计算需要的中间结果，并进行加密和交换。
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- 第三步：企业A和B分别计算加密梯度和添加掩码。同时企业A还将计算加密损失值。计算完成后，企业A和B向第三方协作者C发送加密后的值。
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- 第四步：第三方协作者C对梯度和损失值解密，然后将结果发送回企业A和B。
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- 第五步：企业A和B将收到的值首先去除梯度上的掩码，然后更新本地模型参数。
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在整个训练过程中，企业A和B之间的任何敏感数据都是经过加密算法加密之后再发出己信任域。同态加密（Homomorphic Encryption,HE）是业界联邦学习框架常用的算法之一。同态加密是指加密过后的两份数据进行某些运算之后直接解密，可以得到真实数据经过相同运算的结果。当这种运算是加法时，就称为加法同态加密。将加密函数记为$[[\cdot]]$，加法同态加密具有如下特征：
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$$[[a+b]]=[[a]]+[[b]]$$
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Paillier算法是一种满足加法的同态加密算法，已经广泛应用在第三方数据处理领域和信号处理领域。在纵向联邦学习中，通常采用Paillier加密算法对损失函数和梯度进行加密，从而实现跨机构的模型安全联合训练。
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模型联合训练完成后就可以投入生产环境部署应用。由于纵向联邦中每个参与方具有部分模型结构，因此推理也需要双方协作完成计算。联合推理过程和联合训练类似，首先第三方协作者C将推理数据ID发送给企业A和B，双方在本地完成推理计算后将结果加密后传输到第三方协作者C，由C计算模型最终的联合推理结果。
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