CS_learn/hello-algo
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2023-04-09 04:34:58 +08:00
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262
chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md
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@@ -6,9 +6,9 @@ comments: true
内存空间是所有程序的公共资源，排除已被占用的内存空间，空闲内存空间通常散落在内存各处。在上一节中，我们提到存储数组的内存空间必须是连续的，而当我们需要申请一个非常大的数组时，空闲内存中可能没有这么大的连续空间。
与数组相比，链表更具灵活性，因为它可以存储在非连续的内存空间。「链表 Linked List」是一种线性数据结构，其每个元素都是一个结点对象，各个结点之间通过指针连接，从当前结点通过指针可以访问到下一个结点。由于指针记录了下个结点的内存地址，因此无需保证内存地址的连续性，从而可以将各个结点分散存储在内存各处。
与数组相比，链表更具灵活性，因为它可以存储在非连续的内存空间。「链表 Linked List」是一种线性数据结构，其每个元素都是一个节点对象，各个节点之间通过指针连接，从当前节点通过指针可以访问到下一个节点。由于指针记录了下个节点的内存地址，因此无需保证内存地址的连续性，从而可以将各个节点分散存储在内存各处。
链表「结点 Node」包含两项数据，一是结点「值 Value」，二是指向下一结点的「指针 Pointer」，或称指向下一结点的「引用 Reference」。
链表「节点 Node」包含两项数据，一是节点「值 Value」，二是指向下一节点的「指针 Pointer」，或称指向下一节点的「引用 Reference」。
![链表定义与存储方式](linked_list.assets/linkedlist_definition.png)
@@ -17,10 +17,10 @@ comments: true
=== "Java"
```java title=""
/* 链表结点类 */
/* 链表节点类 */
class ListNode {
int val; // 结点值
ListNode next; // 指向下一结点的指针（引用）
int val; // 节点值
ListNode next; // 指向下一节点的指针（引用）
ListNode(int x) { val = x; } // 构造函数
}
```
@@ -28,10 +28,10 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title=""
/* 链表结点结构体 */
/* 链表节点结构体 */
struct ListNode {
int val; // 结点值
ListNode *next; // 指向下一结点的指针（引用）
int val; // 节点值
ListNode *next; // 指向下一节点的指针（引用）
ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {} // 构造函数
};
```
@@ -39,20 +39,20 @@ comments: true
=== "Python"
```python title=""
""" 链表结点类 """
""" 链表节点类 """
class ListNode:
def __init__(self, val: int):
self.val: int = val # 结点值
self.next: Optional[ListNode] = None # 指向下一结点的指针（引用）
self.val: int = val # 节点值
self.next: Optional[ListNode] = None # 指向下一节点的指针（引用）
```
=== "Go"
```go title=""
/* 链表结点结构体 */
/* 链表节点结构体 */
type ListNode struct {
Val int // 结点值
Next *ListNode // 指向下一结点的指针（引用）
Val int // 节点值
Next *ListNode // 指向下一节点的指针（引用）
}
// NewListNode 构造函数，创建一个新的链表
@@ -67,13 +67,13 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title=""
/* 链表结点类 */
/* 链表节点类 */
class ListNode {
val;
next;
constructor(val, next) {
this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
this.next = (next === undefined ? null : next); // 指向下一结点的引用
this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 节点值
this.next = (next === undefined ? null : next); // 指向下一节点的引用
}
}
```
@@ -81,13 +81,13 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title=""
/* 链表结点类 */
/* 链表节点类 */
class ListNode {
val: number;
next: ListNode | null;
constructor(val?: number, next?: ListNode | null) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
this.next = next === undefined ? null : next; // 指向下一结点的引用
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
this.next = next === undefined ? null : next; // 指向下一节点的引用
}
}
```
@@ -95,16 +95,16 @@ comments: true
=== "C"
```c title=""
/* 链表结点结构体 */
/* 链表节点结构体 */
struct ListNode {
int val; // 结点值
struct ListNode *next; // 指向下一结点的指针（引用）
int val; // 节点值
struct ListNode *next; // 指向下一节点的指针（引用）
};
// typedef 作用是为一种数据类型定义一个新名字
typedef struct ListNode ListNode;
/* 构造函数，初始化一个新结点 */
/* 构造函数，初始化一个新节点 */
ListNode *newListNode(int val) {
ListNode *node, *next;
node = (ListNode *) malloc(sizeof(ListNode));
@@ -117,11 +117,11 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title=""
/* 链表结点类 */
/* 链表节点类 */
class ListNode
{
int val; // 结点值
ListNode next; // 指向下一结点的引用
int val; // 节点值
ListNode next; // 指向下一节点的引用
ListNode(int x) => val = x; //构造函数
}
```
@@ -129,10 +129,10 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title=""
/* 链表结点类 */
/* 链表节点类 */
class ListNode {
var val: Int // 结点值
var next: ListNode? // 指向下一结点的指针（引用）
var val: Int // 节点值
var next: ListNode? // 指向下一节点的指针（引用）
init(x: Int) { // 构造函数
val = x
@@ -143,13 +143,13 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title=""
// 链表结点类
// 链表节点类
pub fn ListNode(comptime T: type) type {
return struct {
const Self = @This();
val: T = 0, // 结点值
next: ?*Self = null, // 指向下一结点的指针（引用）
val: T = 0, // 节点值
next: ?*Self = null, // 指向下一节点的指针（引用）
// 构造函数
pub fn init(self: *Self, x: i32) void {
@@ -160,21 +160,21 @@ comments: true
}
```
!!! question "尾结点指向什么？"
!!! question "尾节点指向什么？"
我们将链表的最后一个结点称为「尾结点」，其指向的是“空”，在 Java, C++, Python 中分别记为 `null`, `nullptr`, `None` 。在不引起歧义的前提下，本书都使用 `null` 来表示空。
我们将链表的最后一个节点称为「尾节点」，其指向的是“空”，在 Java, C++, Python 中分别记为 `null`, `nullptr`, `None` 。在不引起歧义的前提下，本书都使用 `null` 来表示空。
!!! question "如何称呼链表？"
在编程语言中，数组整体就是一个变量，例如数组 `nums` ，包含各个元素 `nums[0]` , `nums[1]` 等等。而链表是由多个结点对象组成，我们通常将头结点当作链表的代称，例如头结点 `head` 和链表 `head` 实际上是同义的。
在编程语言中，数组整体就是一个变量，例如数组 `nums` ，包含各个元素 `nums[0]` , `nums[1]` 等等。而链表是由多个节点对象组成，我们通常将头节点当作链表的代称，例如头节点 `head` 和链表 `head` 实际上是同义的。
**链表初始化方法**。建立链表分为两步，第一步是初始化各个结点对象，第二步是构建引用指向关系。完成后，即可以从链表的头结点（即首个结点）出发，通过指针 `next` 依次访问所有结点。
**链表初始化方法**。建立链表分为两步，第一步是初始化各个节点对象，第二步是构建引用指向关系。完成后，即可以从链表的头节点（即首个节点）出发，通过指针 `next` 依次访问所有节点。
=== "Java"
```java title="linked_list.java"
/* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各个结点
// 初始化各个节点
ListNode n0 = new ListNode(1);
ListNode n1 = new ListNode(3);
ListNode n2 = new ListNode(2);
@@ -191,7 +191,7 @@ comments: true
```cpp title="linked_list.cpp"
/* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各个结点
// 初始化各个节点
ListNode* n0 = new ListNode(1);
ListNode* n1 = new ListNode(3);
ListNode* n2 = new ListNode(2);
@@ -208,7 +208,7 @@ comments: true
```python title="linked_list.py"
""" 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 """
# 初始化各个结点
# 初始化各个节点
n0 = ListNode(1)
n1 = ListNode(3)
n2 = ListNode(2)
@@ -225,7 +225,7 @@ comments: true
```go title="linked_list.go"
/* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各个结点
// 初始化各个节点
n0 := NewListNode(1)
n1 := NewListNode(3)
n2 := NewListNode(2)
@@ -242,7 +242,7 @@ comments: true
```javascript title="linked_list.js"
/* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各个结点
// 初始化各个节点
const n0 = new ListNode(1);
const n1 = new ListNode(3);
const n2 = new ListNode(2);
@@ -259,7 +259,7 @@ comments: true
```typescript title="linked_list.ts"
/* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各个结点
// 初始化各个节点
const n0 = new ListNode(1);
const n1 = new ListNode(3);
const n2 = new ListNode(2);
@@ -276,7 +276,7 @@ comments: true
```c title="linked_list.c"
/* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各个结点
// 初始化各个节点
ListNode* n0 = newListNode(1);
ListNode* n1 = newListNode(3);
ListNode* n2 = newListNode(2);
@@ -293,7 +293,7 @@ comments: true
```csharp title="linked_list.cs"
/* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各个结点
// 初始化各个节点
ListNode n0 = new ListNode(1);
ListNode n1 = new ListNode(3);
ListNode n2 = new ListNode(2);
@@ -310,7 +310,7 @@ comments: true
```swift title="linked_list.swift"
/* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
// 初始化各个结点
// 初始化各个节点
let n0 = ListNode(x: 1)
let n1 = ListNode(x: 3)
let n2 = ListNode(x: 2)
@@ -327,7 +327,7 @@ comments: true
```zig title="linked_list.zig"
// 初始化链表
// 初始化各个结点
// 初始化各个节点
var n0 = inc.ListNode(i32){.val = 1};
var n1 = inc.ListNode(i32){.val = 3};
var n2 = inc.ListNode(i32){.val = 2};
@@ -342,16 +342,16 @@ comments: true
## 4.2.1.   链表优点
**链表中插入与删除结点的操作效率高**。例如，如果我们想在链表中间的两个结点 `A` , `B` 之间插入一个新结点 `P` ，我们只需要改变两个结点指针即可，时间复杂度为 $O(1)$ ；相比之下，数组的插入操作效率要低得多。
**链表中插入与删除节点的操作效率高**。例如，如果我们想在链表中间的两个节点 `A` , `B` 之间插入一个新节点 `P` ，我们只需要改变两个节点指针即可，时间复杂度为 $O(1)$ ；相比之下，数组的插入操作效率要低得多。
![链表插入结点](linked_list.assets/linkedlist_insert_node.png)
![链表插入节点](linked_list.assets/linkedlist_insert_node.png)
<p align="center"> Fig. 链表插入结点 </p>
<p align="center"> Fig. 链表插入节点 </p>
=== "Java"
```java title="linked_list.java"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
/* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
void insert(ListNode n0, ListNode P) {
ListNode n1 = n0.next;
P.next = n1;
@@ -362,7 +362,7 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="linked_list.cpp"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
/* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
void insert(ListNode* n0, ListNode* P) {
ListNode* n1 = n0->next;
P->next = n1;
@@ -374,7 +374,7 @@ comments: true
```python title="linked_list.py"
def insert(n0: ListNode, P: ListNode) -> None:
""" 在链表的结点 n0 之后插入结点 P """
""" 在链表的节点 n0 之后插入节点 P """
n1 = n0.next
P.next = n1
n0.next = P
@@ -383,7 +383,7 @@ comments: true
=== "Go"
```go title="linked_list.go"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
/* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
func insertNode(n0 *ListNode, P *ListNode) {
n1 := n0.Next
P.Next = n1
@@ -394,7 +394,7 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="linked_list.js"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
/* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
function insert(n0, P) {
const n1 = n0.next;
P.next = n1;
@@ -405,7 +405,7 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title="linked_list.ts"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
/* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
function insert(n0: ListNode, P: ListNode): void {
const n1 = n0.next;
P.next = n1;
@@ -422,7 +422,7 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="linked_list.cs"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
/* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
void insert(ListNode n0, ListNode P)
{
ListNode? n1 = n0.next;
@@ -434,7 +434,7 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="linked_list.swift"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
/* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
func insert(n0: ListNode, P: ListNode) {
let n1 = n0.next
P.next = n1
@@ -445,7 +445,7 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="linked_list.zig"
// 在链表的结点 n0 之后插入结点 P
// 在链表的节点 n0 之后插入节点 P
fn insert(n0: ?*inc.ListNode(i32), P: ?*inc.ListNode(i32)) void {
var n1 = n0.?.next;
P.?.next = n1;
@@ -453,16 +453,16 @@ comments: true
}
```
在链表中删除结点也非常方便，只需改变一个结点的指针即可。如下图所示，尽管在删除操作完成后，结点 `P` 仍然指向 `n1`，但实际上 `P` 已经不再属于此链表，因为遍历此链表时无法访问到 `P`。
在链表中删除节点也非常方便，只需改变一个节点的指针即可。如下图所示，尽管在删除操作完成后，节点 `P` 仍然指向 `n1`，但实际上 `P` 已经不再属于此链表，因为遍历此链表时无法访问到 `P`。
![链表删除结点](linked_list.assets/linkedlist_remove_node.png)
![链表删除节点](linked_list.assets/linkedlist_remove_node.png)
<p align="center"> Fig. 链表删除结点 </p>
<p align="center"> Fig. 链表删除节点 </p>
=== "Java"
```java title="linked_list.java"
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
/* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
void remove(ListNode n0) {
if (n0.next == null)
return;
@@ -476,7 +476,7 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="linked_list.cpp"
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
/* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
void remove(ListNode* n0) {
if (n0->next == nullptr)
return;
@@ -493,7 +493,7 @@ comments: true
```python title="linked_list.py"
def remove(n0: ListNode) -> None:
""" 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 """
""" 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 """
if not n0.next:
return
# n0 -> P -> n1
@@ -505,7 +505,7 @@ comments: true
=== "Go"
```go title="linked_list.go"
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
/* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
func removeNode(n0 *ListNode) {
if n0.Next == nil {
return
@@ -520,7 +520,7 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="linked_list.js"
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
/* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
function remove(n0) {
if (!n0.next)
return;
@@ -534,7 +534,7 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title="linked_list.ts"
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
/* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
function remove(n0: ListNode): void {
if (!n0.next) {
return;
@@ -555,7 +555,7 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="linked_list.cs"
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
/* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
void remove(ListNode n0)
{
if (n0.next == null)
@@ -570,7 +570,7 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="linked_list.swift"
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
/* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
func remove(n0: ListNode) {
if n0.next == nil {
return
@@ -586,7 +586,7 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="linked_list.zig"
// 删除链表的结点 n0 之后的首个结点
// 删除链表的节点 n0 之后的首个节点
fn remove(n0: ?*inc.ListNode(i32)) void {
if (n0.?.next == null) return;
// n0 -> P -> n1
@@ -598,12 +598,12 @@ comments: true
## 4.2.2. &nbsp; 链表缺点
**链表访问结点效率较低**。如上节所述，数组可以在 $O(1)$ 时间下访问任意元素。然而，链表无法直接访问任意结点，这是因为系统需要从头结点出发，逐个向后遍历直至找到目标结点。例如，若要访问链表索引为 `index`（即第 `index + 1` 个）的结点，则需要向后遍历 `index` 轮。
**链表访问节点效率较低**。如上节所述，数组可以在 $O(1)$ 时间下访问任意元素。然而，链表无法直接访问任意节点，这是因为系统需要从头节点出发，逐个向后遍历直至找到目标节点。例如，若要访问链表索引为 `index`（即第 `index + 1` 个）的节点，则需要向后遍历 `index` 轮。
=== "Java"
```java title="linked_list.java"
/* 访问链表中索引为 index 的结点 */
/* 访问链表中索引为 index 的节点 */
ListNode access(ListNode head, int index) {
for (int i = 0; i < index; i++) {
if (head == null)
@@ -617,7 +617,7 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="linked_list.cpp"
/* 访问链表中索引为 index 的结点 */
/* 访问链表中索引为 index 的节点 */
ListNode* access(ListNode* head, int index) {
for (int i = 0; i < index; i++) {
if (head == nullptr)
@@ -632,7 +632,7 @@ comments: true
```python title="linked_list.py"
def access(head: ListNode, index: int) -> ListNode | None:
""" 访问链表中索引为 index 的结点 """
""" 访问链表中索引为 index 的节点 """
for _ in range(index):
if not head:
return None
@@ -643,7 +643,7 @@ comments: true
=== "Go"
```go title="linked_list.go"
/* 访问链表中索引为 index 的结点 */
/* 访问链表中索引为 index 的节点 */
func access(head *ListNode, index int) *ListNode {
for i := 0; i < index; i++ {
if head == nil {
@@ -658,7 +658,7 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="linked_list.js"
/* 访问链表中索引为 index 的结点 */
/* 访问链表中索引为 index 的节点 */
function access(head, index) {
for (let i = 0; i < index; i++) {
if (!head) {
@@ -673,7 +673,7 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title="linked_list.ts"
/* 访问链表中索引为 index 的结点 */
/* 访问链表中索引为 index 的节点 */
function access(head: ListNode | null, index: number): ListNode | null {
for (let i = 0; i < index; i++) {
if (!head) {
@@ -694,7 +694,7 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="linked_list.cs"
/* 访问链表中索引为 index 的结点 */
/* 访问链表中索引为 index 的节点 */
ListNode? access(ListNode head, int index)
{
for (int i = 0; i < index; i++)
@@ -710,7 +710,7 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="linked_list.swift"
/* 访问链表中索引为 index 的结点 */
/* 访问链表中索引为 index 的节点 */
func access(head: ListNode, index: Int) -> ListNode? {
var head: ListNode? = head
for _ in 0 ..< index {
@@ -726,7 +726,7 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="linked_list.zig"
// 访问链表中索引为 index 的结点
// 访问链表中索引为 index 的节点
fn access(node: ?*inc.ListNode(i32), index: i32) ?*inc.ListNode(i32) {
var head = node;
var i: i32 = 0;
@@ -738,16 +738,16 @@ comments: true
}
```
**链表的内存占用较大**。链表以结点为单位，每个结点除了保存值之外，还需额外保存指针（引用）。这意味着在相同数据量的情况下，链表比数组需要占用更多的内存空间。
**链表的内存占用较大**。链表以节点为单位，每个节点除了保存值之外，还需额外保存指针（引用）。这意味着在相同数据量的情况下，链表比数组需要占用更多的内存空间。
## 4.2.3. &nbsp; 链表常用操作
**遍历链表查找**。遍历链表，查找链表内值为 `target` 的结点，输出结点在链表中的索引。
**遍历链表查找**。遍历链表，查找链表内值为 `target` 的节点，输出节点在链表中的索引。
=== "Java"
```java title="linked_list.java"
/* 在链表中查找值为 target 的首个结点 */
/* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
int find(ListNode head, int target) {
int index = 0;
while (head != null) {
@@ -763,7 +763,7 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="linked_list.cpp"
/* 在链表中查找值为 target 的首个结点 */
/* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
int find(ListNode* head, int target) {
int index = 0;
while (head != nullptr) {
@@ -780,7 +780,7 @@ comments: true
```python title="linked_list.py"
def find(head: ListNode, target: int) -> int:
""" 在链表中查找值为 target 的首个结点 """
""" 在链表中查找值为 target 的首个节点 """
index = 0
while head:
if head.val == target:
@@ -793,7 +793,7 @@ comments: true
=== "Go"
```go title="linked_list.go"
/* 在链表中查找值为 target 的首个结点 */
/* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
func findNode(head *ListNode, target int) int {
index := 0
for head != nil {
@@ -810,7 +810,7 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="linked_list.js"
/* 在链表中查找值为 target 的首个结点 */
/* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
function find(head, target) {
let index = 0;
while (head !== null) {
@@ -827,7 +827,7 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title="linked_list.ts"
/* 在链表中查找值为 target 的首个结点 */
/* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
function find(head: ListNode | null, target: number): number {
let index = 0;
while (head !== null) {
@@ -850,7 +850,7 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="linked_list.cs"
/* 在链表中查找值为 target 的首个结点 */
/* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
int find(ListNode head, int target)
{
int index = 0;
@@ -868,7 +868,7 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="linked_list.swift"
/* 在链表中查找值为 target 的首个结点 */
/* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
func find(head: ListNode, target: Int) -> Int {
var head: ListNode? = head
var index = 0
@@ -886,7 +886,7 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="linked_list.zig"
// 在链表中查找值为 target 的首个结点
// 在链表中查找值为 target 的首个节点
fn find(node: ?*inc.ListNode(i32), target: i32) i32 {
var head = node;
var index: i32 = 0;
@@ -901,20 +901,20 @@ comments: true
## 4.2.4. &nbsp; 常见链表类型
**单向链表**。即上述介绍的普通链表。单向链表的结点包含值和指向下一结点的指针（引用）两项数据。我们将首个结点称为头结点，将最后一个结点成为尾结点，尾结点指向 `null` 。
**单向链表**。即上述介绍的普通链表。单向链表的节点包含值和指向下一节点的指针（引用）两项数据。我们将首个节点称为头节点，将最后一个节点成为尾节点，尾节点指向 `null` 。
**环形链表**。如果我们令单向链表的尾结点指向头结点（即首尾相接），则得到一个环形链表。在环形链表中，任意结点都可以视作头结点。
**环形链表**。如果我们令单向链表的尾节点指向头节点（即首尾相接），则得到一个环形链表。在环形链表中，任意节点都可以视作头节点。
**双向链表**。与单向链表相比，双向链表记录了两个方向的指针（引用）。双向链表的结点定义同时包含指向后继结点（下一结点）和前驱结点（上一结点）的指针。相较于单向链表，双向链表更具灵活性，可以朝两个方向遍历链表，但相应地也需要占用更多的内存空间。
**双向链表**。与单向链表相比，双向链表记录了两个方向的指针（引用）。双向链表的节点定义同时包含指向后继节点（下一节点）和前驱节点（上一节点）的指针。相较于单向链表，双向链表更具灵活性，可以朝两个方向遍历链表，但相应地也需要占用更多的内存空间。
=== "Java"
```java title=""
/* 双向链表结点类 */
/* 双向链表节点类 */
class ListNode {
int val; // 结点值
ListNode next; // 指向后继结点的指针（引用）
ListNode prev; // 指向前驱结点的指针（引用）
int val; // 节点值
ListNode next; // 指向后继节点的指针（引用）
ListNode prev; // 指向前驱节点的指针（引用）
ListNode(int x) { val = x; } // 构造函数
}
```
@@ -922,11 +922,11 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title=""
/* 双向链表结点结构体 */
/* 双向链表节点结构体 */
struct ListNode {
int val; // 结点值
ListNode *next; // 指向后继结点的指针（引用）
ListNode *prev; // 指向前驱结点的指针（引用）
int val; // 节点值
ListNode *next; // 指向后继节点的指针（引用）
ListNode *prev; // 指向前驱节点的指针（引用）
ListNode(int x) : val(x), next(nullptr), prev(nullptr) {} // 构造函数
};
```
@@ -934,22 +934,22 @@ comments: true
=== "Python"
```python title=""
""" 双向链表结点类 """
""" 双向链表节点类 """
class ListNode:
def __init__(self, val: int):
self.val: int = val # 结点值
self.next: Optional[ListNode] = None # 指向后继结点的指针（引用）
self.prev: Optional[ListNode] = None # 指向前驱结点的指针（引用）
self.val: int = val # 节点值
self.next: Optional[ListNode] = None # 指向后继节点的指针（引用）
self.prev: Optional[ListNode] = None # 指向前驱节点的指针（引用）
```
=== "Go"
```go title=""
/* 双向链表结点结构体 */
/* 双向链表节点结构体 */
type DoublyListNode struct {
Val int // 结点值
Next *DoublyListNode // 指向后继结点的指针（引用）
Prev *DoublyListNode // 指向前驱结点的指针（引用）
Val int // 节点值
Next *DoublyListNode // 指向后继节点的指针（引用）
Prev *DoublyListNode // 指向前驱节点的指针（引用）
}
// NewDoublyListNode 初始化
@@ -965,15 +965,15 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title=""
/* 双向链表结点类 */
/* 双向链表节点类 */
class ListNode {
val;
next;
prev;
constructor(val, next) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
this.next = next === undefined ? null : next; // 指向后继结点的指针（引用）
this.prev = prev === undefined ? null : prev; // 指向前驱结点的指针（引用）
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
this.next = next === undefined ? null : next; // 指向后继节点的指针（引用）
this.prev = prev === undefined ? null : prev; // 指向前驱节点的指针（引用）
}
}
```
@@ -981,15 +981,15 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title=""
/* 双向链表结点类 */
/* 双向链表节点类 */
class ListNode {
val: number;
next: ListNode | null;
prev: ListNode | null;
constructor(val?: number, next?: ListNode | null, prev?: ListNode | null) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
this.next = next === undefined ? null : next; // 指向后继结点的指针（引用）
this.prev = prev === undefined ? null : prev; // 指向前驱结点的指针（引用）
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
this.next = next === undefined ? null : next; // 指向后继节点的指针（引用）
this.prev = prev === undefined ? null : prev; // 指向前驱节点的指针（引用）
}
}
```
@@ -1003,11 +1003,11 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title=""
/* 双向链表结点类 */
/* 双向链表节点类 */
class ListNode {
int val; // 结点值
ListNode next; // 指向后继结点的指针（引用）
ListNode prev; // 指向前驱结点的指针（引用）
int val; // 节点值
ListNode next; // 指向后继节点的指针（引用）
ListNode prev; // 指向前驱节点的指针（引用）
ListNode(int x) => val = x; // 构造函数
}
```
@@ -1015,11 +1015,11 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title=""
/* 双向链表结点类 */
/* 双向链表节点类 */
class ListNode {
var val: Int // 结点值
var next: ListNode? // 指向后继结点的指针（引用）
var prev: ListNode? // 指向前驱结点的指针（引用）
var val: Int // 节点值
var next: ListNode? // 指向后继节点的指针（引用）
var prev: ListNode? // 指向前驱节点的指针（引用）
init(x: Int) { // 构造函数
val = x
@@ -1030,14 +1030,14 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title=""
// 双向链表结点类
// 双向链表节点类
pub fn ListNode(comptime T: type) type {
return struct {
const Self = @This();
val: T = 0, // 结点值
next: ?*Self = null, // 指向后继结点的指针（引用）
prev: ?*Self = null, // 指向前驱结点的指针（引用）
val: T = 0, // 节点值
next: ?*Self = null, // 指向后继节点的指针（引用）
prev: ?*Self = null, // 指向前驱节点的指针（引用）
// 构造函数
pub fn init(self: *Self, x: i32) void {

4
chapter_array_and_linkedlist/summary.md
View File

@@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
- 数组和链表是两种基本数据结构，分别代表数据在计算机内存中的连续空间存储和离散空间存储方式。两者的优缺点呈现出互补的特性。
- 数组支持随机访问、占用内存较少；但插入和删除元素效率低，且初始化后长度不可变。
- 链表通过更改指针实现高效的结点插入与删除，且可以灵活调整长度；但结点访问效率低、占用内存较多。常见的链表类型包括单向链表、循环链表、双向链表。
- 链表通过更改指针实现高效的节点插入与删除，且可以灵活调整长度；但节点访问效率低、占用内存较多。常见的链表类型包括单向链表、循环链表、双向链表。
- 动态数组，又称列表，是基于数组实现的一种数据结构。它保留了数组的优势，同时可以灵活调整长度。列表的出现极大地提高了数组的易用性，但可能导致部分内存空间浪费。
- 下表总结并对比了数组与链表的各项特性。
@@ -23,7 +23,7 @@ comments: true
!!! note "缓存局部性"
在计算机中，数据读写速度排序是“硬盘 < 内存 < CPU 缓存”。当我们访问数组元素时，计算机不仅会加载它，还会缓存其周围的其它数据，从而借助高速缓存来提升后续操作的执行速度。链表则不然，计算机只能挨个地缓存各个结点，这样的多次“搬运”降低了整体效率。
在计算机中，数据读写速度排序是“硬盘 < 内存 < CPU 缓存”。当我们访问数组元素时，计算机不仅会加载它，还会缓存其周围的其它数据，从而借助高速缓存来提升后续操作的执行速度。链表则不然，计算机只能挨个地缓存各个节点，这样的多次“搬运”降低了整体效率。
- 下表对比了数组与链表在各种操作上的效率。

14
chapter_computational_complexity/space_complexity.md
View File

@@ -84,8 +84,8 @@ comments: true
""" 类 """
class Node:
def __init__(self, x: int):
self.val: int = x # 结点值
self.next: Optional[Node] = None # 指向下一结点的指针（引用）
self.val: int = x # 节点值
self.next: Optional[Node] = None # 指向下一节点的指针（引用）
""" 函数 """
def function() -> int:
@@ -137,8 +137,8 @@ comments: true
val;
next;
constructor(val) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
this.next = null; // 指向下一结点的引用
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
this.next = null; // 指向下一节点的引用
}
}
@@ -165,8 +165,8 @@ comments: true
val: number;
next: Node | null;
constructor(val?: number) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
this.next = null; // 指向下一结点的引用
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
this.next = null; // 指向下一节点的引用
}
}
@@ -1375,7 +1375,7 @@ $$
### 指数阶 $O(2^n)$
指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的结点数量为 $2^n - 1$ ，占用 $O(2^n)$ 空间。
指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的节点数量为 $2^n - 1$ ，占用 $O(2^n)$ 空间。
=== "Java"

2
chapter_data_structure/classification_of_data_structure.md
View File

@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
## 3.2.1. &nbsp; 逻辑结构：线性与非线性
**「逻辑结构」揭示了数据元素之间的逻辑关系**。在数组和链表中，数据按照顺序依次排列，体现了数据之间的线性关系；而在树中，数据从顶部向下按层次排列，表现出祖先与后代之间的派生关系；图则由结点和边构成，反映了复杂的网络关系。
**「逻辑结构」揭示了数据元素之间的逻辑关系**。在数组和链表中，数据按照顺序依次排列，体现了数据之间的线性关系；而在树中，数据从顶部向下按层次排列，表现出祖先与后代之间的派生关系；图则由节点和边构成，反映了复杂的网络关系。
逻辑结构通常分为「线性」和「非线性」两类。线性结构比较直观，指数据在逻辑关系上呈线性排列；非线性结构则相反，呈非线性排列，例如网状或树状结构。

4
chapter_graph/graph.md
View File

@@ -18,7 +18,7 @@ $$
<p align="center"> Fig. 链表、树、图之间的关系 </p>
那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看作是一种从「链表」拓展而来的数据结构。**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂**。
那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作节点，把「边」看作连接各个节点的指针，则可将「图」看作是一种从「链表」拓展而来的数据结构。**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂**。
## 9.1.1. &nbsp; 图常见类型
@@ -76,7 +76,7 @@ $$
### 邻接表
「邻接表 Adjacency List」使用 $n$ 个链表来表示图，链表结点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。
「邻接表 Adjacency List」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。
![图的邻接表表示](graph.assets/adjacency_list.png)

6
chapter_graph/graph_operations.md
View File

@@ -780,7 +780,7 @@ comments: true
- **添加边**：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
- **删除边**：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
- **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头结点，使用 $O(1)$ 时间。
- **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 $O(1)$ 时间。
- **删除顶点**：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(1)$ 时间。
- **初始化**：在邻接表中创建 $n$ 个顶点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。
@@ -799,7 +799,7 @@ comments: true
=== "删除顶点"
![adjacency_list_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_remove_vertex.png)
以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，**我们在邻接表中使用 `Vertex` 结点类来表示顶点**，这样做的原因有：
以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，**我们在邻接表中使用 `Vertex` 节点类来表示顶点**，这样做的原因有：
- 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
- 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 $i$ 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部减 $1$，这样操作效率较低。
@@ -889,7 +889,7 @@ comments: true
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
unordered_map<Vertex*, vector<Vertex*>> adjList;
/* 在 vector 中删除指定结点 */
/* 在 vector 中删除指定节点 */
void remove(vector<Vertex*> &vec, Vertex *vet) {
for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
if (vec[i] == vet) {

2
chapter_graph/graph_traversal.md
View File

@@ -28,7 +28,7 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
3. 循环步骤 `2.` ，直到所有顶点被访问完成后结束；
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些结点已被访问。
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些节点已被访问。
=== "Java"

8
chapter_hashing/hash_collision.md
View File

@@ -30,13 +30,13 @@ comments: true
链式地址下，哈希表的操作方法包括：
- **查询元素**：输入 key ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头结点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头结点，然后将结点（即键值对）添加到链表中。
- **删除元素**：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标结点，并将其删除。
- **查询元素**：输入 key ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
- **删除元素**：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。
尽管链式地址法解决了哈希冲突问题，但仍存在一些局限性，包括：
- **占用空间增大**，由于链表或二叉树包含结点指针，相比数组更加耗费内存空间；
- **占用空间增大**，由于链表或二叉树包含节点指针，相比数组更加耗费内存空间；
- **查询效率降低**，因为需要线性遍历链表来查找对应元素；
为了提高操作效率，**可以将链表转换为「AVL 树」或「红黑树」**，将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。

4
chapter_hashing/hash_map.md
View File

@@ -18,8 +18,8 @@ comments: true
1. **无序数组**：每个元素为 `[学号, 姓名]` ；
2. **有序数组**：将 `1.` 中的数组按照学号从小到大排序；
3. **链表**：每个结点的值为 `[学号, 姓名]` ；
4. **二叉搜索树**：每个结点的值为 `[学号, 姓名]` ，根据学号大小来构建树；
3. **链表**：每个节点的值为 `[学号, 姓名]` ；
4. **二叉搜索树**：每个节点的值为 `[学号, 姓名]` ，根据学号大小来构建树；
各项操作的时间复杂度如下表所示（详解可见[二叉搜索树章节](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_search_tree/)）。无论是查找元素还是增删元素，哈希表的时间复杂度都是 $O(1)$，全面胜出！

36
chapter_heap/build_heap.md
View File

@@ -16,7 +16,7 @@ comments: true
### 基于堆化操作实现
有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个结点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶结点执行堆化操作**，因为它们没有子结点。
有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶节点执行堆化操作**，因为它们没有子节点。
=== "Java"
@@ -25,7 +25,7 @@ comments: true
MaxHeap(List<Integer> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
@@ -39,7 +39,7 @@ comments: true
MaxHeap(vector<int> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = nums;
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
@@ -53,7 +53,7 @@ comments: true
""" 构造方法 """
# 将列表元素原封不动添加进堆
self.max_heap = nums
# 堆化除叶结点以外的其他所有结点
# 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
self.sift_down(i)
```
@@ -66,7 +66,7 @@ comments: true
// 将列表元素原封不动添加进堆
h := &maxHeap{data: nums}
for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
h.siftDown(i)
}
return h
@@ -80,7 +80,7 @@ comments: true
constructor(nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.#siftDown(i);
}
@@ -94,7 +94,7 @@ comments: true
constructor(nums?: number[]) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.siftDown(i);
}
@@ -115,7 +115,7 @@ comments: true
{
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = new List<int>(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
var size = parent(this.size() - 1);
for (int i = size; i >= 0; i--)
{
@@ -131,7 +131,7 @@ comments: true
init(nums: [Int]) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = nums
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
siftDown(i: i)
}
@@ -147,7 +147,7 @@ comments: true
self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
// 将列表元素原封不动添加进堆
try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
while (i > 0) : (i -= 1) {
try self.siftDown(i - 1);
@@ -159,18 +159,18 @@ comments: true
为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。
- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶结点后，需要堆化的结点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ ；
- 在从顶至底堆化的过程中，每个结点最多堆化到叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
- 完全二叉树中，设节点总数为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ ；
- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层结点数量远多于顶层结点的特性**。
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性**。
接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而该距离正是“结点高度”**。
接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）节点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**节点堆化最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”**。
![完美二叉树的各层结点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
![完美二叉树的各层节点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
<p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层结点数量 </p>
<p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层节点数量 </p>
因此，我们可以将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，**从而得到所有结点的堆化迭代次数的总和**。
因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
$$
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
@@ -201,4 +201,4 @@ T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
\end{aligned}
$$
进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的节点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。

282
chapter_heap/heap.md
View File

@@ -6,8 +6,8 @@ comments: true
「堆 Heap」是一棵限定条件下的「完全二叉树」。根据成立条件，堆主要分为两种类型：
- 「大顶堆 Max Heap」，任意结点的值 $\geq$ 其子结点的值；
- 「小顶堆 Min Heap」，任意结点的值 $\leq$ 其子结点的值；
- 「大顶堆 Max Heap」，任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值；
- 「小顶堆 Min Heap」，任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值；
![小顶堆与大顶堆](heap.assets/min_heap_and_max_heap.png)
@@ -15,9 +15,9 @@ comments: true
## 8.1.1. &nbsp; 堆术语与性质
- 由于堆是完全二叉树，因此最底层结点靠左填充，其它层结点皆被填满。
- 二叉树中的根结点对应「堆顶」，底层最靠右结点对应「堆底」。
- 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根结点）的值最大 / 最小。
- 由于堆是完全二叉树，因此最底层节点靠左填充，其它层节点皆被填满。
- 二叉树中的根节点对应「堆顶」，底层最靠右节点对应「堆底」。
- 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根节点）的值最大 / 最小。
## 8.1.2. &nbsp; 堆常用操作
@@ -314,9 +314,9 @@ comments: true
在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一棵完全二叉树，**因而我们采用「数组」来存储「堆」**。
**二叉树指针**。使用数组表示二叉树时，元素代表结点值，索引代表结点在二叉树中的位置，**而结点指针通过索引映射公式来实现**。
**二叉树指针**。使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置，**而节点指针通过索引映射公式来实现**。
具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$ 、父结点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。
具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子节点索引为 $2i + 1$ 、右子节点索引为 $2i + 2$ 、父节点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空节点或节点不存在。
![堆的表示与存储](heap.assets/representation_of_heap.png)
@@ -327,17 +327,17 @@ comments: true
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
@@ -346,17 +346,17 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="my_heap.cpp"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2; // 向下取整
}
@@ -366,32 +366,32 @@ comments: true
```python title="my_heap.py"
def left(self, i: int) -> int:
""" 获取左子结点索引 """
""" 获取左子节点索引 """
return 2 * i + 1
def right(self, i: int) -> int:
""" 获取右子结点索引 """
""" 获取右子节点索引 """
return 2 * i + 2
def parent(self, i: int) -> int:
""" 获取父结点索引 """
""" 获取父节点索引 """
return (i - 1) // 2 # 向下整除
```
=== "Go"
```go title="my_heap.go"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {
return 2*i + 1
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {
return 2*i + 2
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {
// 向下整除
return (i - 1) / 2
@@ -401,17 +401,17 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="my_heap.js"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
#left(i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
#right(i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
#parent(i) {
return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}
@@ -420,17 +420,17 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title="my_heap.ts"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
left(i: number): number {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
right(i: number): number {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
parent(i: number): number {
return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}
@@ -449,19 +449,19 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="my_heap.cs"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
int left(int i)
{
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
int right(int i)
{
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
int parent(int i)
{
return (i - 1) / 2; // 向下整除
@@ -471,17 +471,17 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="my_heap.swift"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
func left(i: Int) -> Int {
2 * i + 1
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
func right(i: Int) -> Int {
2 * i + 2
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
func parent(i: Int) -> Int {
(i - 1) / 2 // 向下整除
}
@@ -490,17 +490,17 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="my_heap.zig"
// 获取左子结点索引
// 获取左子节点索引
fn left(i: usize) usize {
return 2 * i + 1;
}
// 获取右子结点索引
// 获取右子节点索引
fn right(i: usize) usize {
return 2 * i + 2;
}
// 获取父结点索引
// 获取父节点索引
fn parent(i: usize) usize {
// return (i - 1) / 2; // 向下整除
return @divFloor(i - 1, 2);
@@ -509,7 +509,7 @@ comments: true
### 访问堆顶元素
堆顶元素是二叉树的根结点，即列表首元素。
堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。
=== "Java"
@@ -600,9 +600,9 @@ comments: true
### 元素入堆
给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。
给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入节点到根节点这条路径上的各个节点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。
考虑从入堆结点开始，**从底至顶执行堆化**。具体地，比较插入结点与其父结点的值，若插入结点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个结点；直至越过根结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。具体地，比较插入节点与其父节点的值，若插入节点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个节点；直至越过根节点时结束，或当遇到无需交换的节点时提前结束。
=== "<1>"
![元素入堆步骤](heap.assets/heap_push_step1.png)
@@ -622,28 +622,28 @@ comments: true
=== "<6>"
![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png)
设结点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
// 添加结点
// 添加节点
maxHeap.add(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
int p = parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -656,21 +656,21 @@ comments: true
```cpp title="my_heap.cpp"
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
// 添加结点
// 添加节点
maxHeap.push_back(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
int p = parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -683,20 +683,20 @@ comments: true
```python title="my_heap.py"
def push(self, val: int):
""" 元素入堆 """
# 添加结点
# 添加节点
self.max_heap.append(val)
# 从底至顶堆化
self.sift_up(self.size() - 1)
def sift_up(self, i: int):
""" 从结点 i 开始，从底至顶堆化 """
""" 从节点 i 开始，从底至顶堆化 """
while True:
# 获取结点 i 的父结点
# 获取节点 i 的父节点
p = self.parent(i)
# 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
# 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if p < 0 or self.max_heap[i] <= self.max_heap[p]:
break
# 交换两结点
# 交换两节点
self.swap(i, p)
# 循环向上堆化
i = p
@@ -707,22 +707,22 @@ comments: true
```go title="my_heap.go"
/* 元素入堆 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
// 添加结点
// 添加节点
h.data = append(h.data, val)
// 从底至顶堆化
h.siftUp(len(h.data) - 1)
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
for true {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
p := h.parent(i)
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
break
}
// 交换两结点
// 交换两节点
h.swap(i, p)
// 循环向上堆化
i = p
@@ -735,20 +735,20 @@ comments: true
```javascript title="my_heap.js"
/* 元素入堆 */
push(val) {
// 添加结点
// 添加节点
this.#maxHeap.push(val);
// 从底至顶堆化
this.#siftUp(this.size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
#siftUp(i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
const p = this.#parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 || this.#maxHeap[i] <= this.#maxHeap[p]) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
this.#swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -761,20 +761,20 @@ comments: true
```typescript title="my_heap.ts"
/* 元素入堆 */
push(val: number): void {
// 添加结点
// 添加节点
this.maxHeap.push(val);
// 从底至顶堆化
this.siftUp(this.size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
siftUp(i: number): void {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
const p = this.parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 || this.maxHeap[i] <= this.maxHeap[p]) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
this.swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -796,23 +796,23 @@ comments: true
/* 元素入堆 */
void push(int val)
{
// 添加结点
// 添加节点
maxHeap.Add(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i)
{
while (true)
{
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
int p = parent(i);
// 若“越过根结点”或“结点无需修复”，则结束堆化
// 若“越过根节点”或“节点无需修复”，则结束堆化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -825,23 +825,23 @@ comments: true
```swift title="my_heap.swift"
/* 元素入堆 */
func push(val: Int) {
// 添加结点
// 添加节点
maxHeap.append(val)
// 从底至顶堆化
siftUp(i: size() - 1)
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
func siftUp(i: Int) {
var i = i
while true {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
let p = parent(i: i)
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {
break
}
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i: i, j: p)
// 循环向上堆化
i = p
@@ -854,21 +854,21 @@ comments: true
```zig title="my_heap.zig"
// 元素入堆
fn push(self: *Self, val: T) !void {
// 添加结点
// 添加节点
try self.max_heap.?.append(val);
// 从底至顶堆化
try self.siftUp(self.size() - 1);
}
// 从结点 i 开始，从底至顶堆化
// 从节点 i 开始，从底至顶堆化
fn siftUp(self: *Self, i_: usize) !void {
var i = i_;
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
var p = parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 or self.max_heap.?.items[i] <= self.max_heap.?.items[p]) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
try self.swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -878,13 +878,13 @@ comments: true
### 堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树根结点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有结点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：
堆顶元素是二叉树根节点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有节点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：
1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根结点与最右叶结点）；
1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）；
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，因为已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；
3. 从根结点开始，**从顶至底执行堆化**；
3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**；
顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们比较根结点的值与其两个子结点的值，将最大的子结点与根结点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们比较根节点的值与其两个子节点的值，将最大的子节点与根节点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶节点时结束，或当遇到无需交换的节点时提前结束。
=== "<1>"
![堆顶元素出堆步骤](heap.assets/heap_pop_step1.png)
@@ -926,9 +926,9 @@ comments: true
// 判空处理
if (isEmpty())
throw new EmptyStackException();
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(0, size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
int val = maxHeap.remove(size() - 1);
// 从顶至底堆化
siftDown(0);
@@ -936,18 +936,18 @@ comments: true
return val;
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
ma = l;
if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
@@ -964,25 +964,25 @@ comments: true
if (empty()) {
throw out_of_range("堆为空");
}
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
// 删除结点
// 删除节点
maxHeap.pop_back();
// 从顶至底堆化
siftDown(0);
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
ma = l;
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i)
break;
swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
@@ -999,9 +999,9 @@ comments: true
""" 元素出堆 """
# 判空处理
assert not self.is_empty()
# 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
# 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
self.swap(0, self.size() - 1)
# 删除结点
# 删除节点
val = self.max_heap.pop()
# 从顶至底堆化
self.sift_down(0)
@@ -1009,18 +1009,18 @@ comments: true
return val
def sift_down(self, i: int):
""" 从结点 i 开始，从顶至底堆化 """
""" 从节点 i 开始，从顶至底堆化 """
while True:
# 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
# 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
l, r, ma = self.left(i), self.right(i), i
if l < self.size() and self.max_heap[l] > self.max_heap[ma]:
ma = l
if r < self.size() and self.max_heap[r] > self.max_heap[ma]:
ma = r
# 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
# 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if ma == i:
break
# 交换两结点
# 交换两节点
self.swap(i, ma)
# 循环向下堆化
i = ma
@@ -1036,9 +1036,9 @@ comments: true
fmt.Println("error")
return nil
}
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
h.swap(0, h.size()-1)
// 删除结点
// 删除节点
val := h.data[len(h.data)-1]
h.data = h.data[:len(h.data)-1]
// 从顶至底堆化
@@ -1048,10 +1048,10 @@ comments: true
return val
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
for true {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 max
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 max
l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
max = l
@@ -1059,11 +1059,11 @@ comments: true
if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
max = r
}
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if max == i {
break
}
// 交换两结点
// 交换两节点
h.swap(i, max)
// 循环向下堆化
i = max
@@ -1078,9 +1078,9 @@ comments: true
pop() {
// 判空处理
if (this.isEmpty()) throw new Error("堆为空");
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
this.#swap(0, this.size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
const val = this.#maxHeap.pop();
// 从顶至底堆化
this.#siftDown(0);
@@ -1088,18 +1088,18 @@ comments: true
return val;
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
#siftDown(i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
const l = this.#left(i),
r = this.#right(i);
let ma = i;
if (l < this.size() && this.#maxHeap[l] > this.#maxHeap[ma]) ma = l;
if (r < this.size() && this.#maxHeap[r] > this.#maxHeap[ma]) ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
this.#swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
@@ -1114,9 +1114,9 @@ comments: true
pop(): number {
// 判空处理
if (this.isEmpty()) throw new RangeError('Heap is empty.');
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
this.swap(0, this.size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
const val = this.maxHeap.pop();
// 从顶至底堆化
this.siftDown(0);
@@ -1124,18 +1124,18 @@ comments: true
return val;
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
siftDown(i: number): void {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
const l = this.left(i),
r = this.right(i);
let ma = i;
if (l < this.size() && this.maxHeap[l] > this.maxHeap[ma]) ma = l;
if (r < this.size() && this.maxHeap[r] > this.maxHeap[ma]) ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
this.swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
@@ -1160,9 +1160,9 @@ comments: true
// 判空处理
if (isEmpty())
throw new IndexOutOfRangeException();
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(0, size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
int val = maxHeap.Last();
maxHeap.RemoveAt(size() - 1);
// 从顶至底堆化
@@ -1171,20 +1171,20 @@ comments: true
return val;
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i)
{
while (true)
{
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
ma = l;
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
ma = r;
// 若“结点 i 最大”或“越过叶结点”，则结束堆化
// 若“节点 i 最大”或“越过叶节点”，则结束堆化
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
@@ -1201,9 +1201,9 @@ comments: true
if isEmpty() {
fatalError("堆为空")
}
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(i: 0, j: size() - 1)
// 删除结点
// 删除节点
let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
// 从顶至底堆化
siftDown(i: 0)
@@ -1211,11 +1211,11 @@ comments: true
return val
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func siftDown(i: Int) {
var i = i
while true {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
let l = left(i: i)
let r = right(i: i)
var ma = i
@@ -1225,11 +1225,11 @@ comments: true
if r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {
ma = r
}
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if ma == i {
break
}
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i: i, j: ma)
// 循环向下堆化
i = ma
@@ -1244,9 +1244,9 @@ comments: true
fn pop(self: *Self) !T {
// 判断处理
if (self.isEmpty()) unreachable;
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
try self.swap(0, self.size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
var val = self.max_heap.?.pop();
// 从顶至底堆化
try self.siftDown(0);
@@ -1254,19 +1254,19 @@ comments: true
return val;
}
// 从结点 i 开始，从顶至底堆化
// 从节点 i 开始，从顶至底堆化
fn siftDown(self: *Self, i_: usize) !void {
var i = i_;
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
var l = left(i);
var r = right(i);
var ma = i;
if (l < self.size() and self.max_heap.?.items[l] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = l;
if (r < self.size() and self.max_heap.?.items[r] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
try self.swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;

24
chapter_searching/hashing_search.md
View File

@@ -130,18 +130,18 @@ comments: true
}
```
再比如，如果我们想要给定一个目标结点值 `target` ，获取对应的链表结点对象，那么也可以使用哈希查找实现。
再比如，如果我们想要给定一个目标节点值 `target` ，获取对应的链表节点对象，那么也可以使用哈希查找实现。
![哈希查找链表结点](hashing_search.assets/hash_search_listnode.png)
![哈希查找链表节点](hashing_search.assets/hash_search_listnode.png)
<p align="center"> Fig. 哈希查找链表结点 </p>
<p align="center"> Fig. 哈希查找链表节点 </p>
=== "Java"
```java title="hashing_search.java"
/* 哈希查找（链表） */
ListNode hashingSearchLinkedList(Map<Integer, ListNode> map, int target) {
// 哈希表的 key: 目标结点值，value: 结点对象
// 哈希表的 key: 目标节点值，value: 节点对象
// 若哈希表中无此 key ，返回 null
return map.getOrDefault(target, null);
}
@@ -152,7 +152,7 @@ comments: true
```cpp title="hashing_search.cpp"
/* 哈希查找（链表） */
ListNode* hashingSearchLinkedList(unordered_map<int, ListNode*> map, int target) {
// 哈希表的 key: 目标结点值，value: 结点对象
// 哈希表的 key: 目标节点值，value: 节点对象
// 若哈希表中无此 key ，返回 nullptr
if (map.find(target) == map.end())
return nullptr;
@@ -165,7 +165,7 @@ comments: true
```python title="hashing_search.py"
def hashing_search_linkedlist(mapp: dict[int, ListNode], target: int) -> ListNode | None:
""" 哈希查找（链表） """
# 哈希表的 key: 目标元素，value: 结点对象
# 哈希表的 key: 目标元素，value: 节点对象
# 若哈希表中无此 key ，返回 None
return mapp.get(target, None)
```
@@ -175,7 +175,7 @@ comments: true
```go title="hashing_search.go"
/* 哈希查找（链表） */
func hashingSearchLinkedList(m map[int]*ListNode, target int) *ListNode {
// 哈希表的 key: 目标结点值，value: 结点对象
// 哈希表的 key: 目标节点值，value: 节点对象
// 若哈希表中无此 key ，返回 nil
if node, ok := m[target]; ok {
return node
@@ -190,7 +190,7 @@ comments: true
```javascript title="hashing_search.js"
/* 哈希查找（链表） */
function hashingSearchLinkedList(map, target) {
// 哈希表的 key: 目标结点值，value: 结点对象
// 哈希表的 key: 目标节点值，value: 节点对象
// 若哈希表中无此 key ，返回 null
return map.has(target) ? map.get(target) : null;
}
@@ -201,7 +201,7 @@ comments: true
```typescript title="hashing_search.ts"
/* 哈希查找（链表） */
function hashingSearchLinkedList(map: Map<number, ListNode>, target: number): ListNode | null {
// 哈希表的 key: 目标结点值，value: 结点对象
// 哈希表的 key: 目标节点值，value: 节点对象
// 若哈希表中无此 key ，返回 null
return map.has(target) ? (map.get(target) as ListNode) : null;
}
@@ -220,7 +220,7 @@ comments: true
ListNode? hashingSearchLinkedList(Dictionary<int, ListNode> map, int target)
{
// 哈希表的 key: 目标结点值，value: 结点对象
// 哈希表的 key: 目标节点值，value: 节点对象
// 若哈希表中无此 key ，返回 null
return map.GetValueOrDefault(target);
}
@@ -231,7 +231,7 @@ comments: true
```swift title="hashing_search.swift"
/* 哈希查找（链表） */
func hashingSearchLinkedList(map: [Int: ListNode], target: Int) -> ListNode? {
// 哈希表的 key: 目标结点值，value: 结点对象
// 哈希表的 key: 目标节点值，value: 节点对象
// 若哈希表中无此 key ，返回 null
return map[target]
}
@@ -242,7 +242,7 @@ comments: true
```zig title="hashing_search.zig"
// 哈希查找（链表）
fn hashingSearchLinkedList(comptime T: type, map: std.AutoHashMap(T, *inc.ListNode(T)), target: T) ?*inc.ListNode(T) {
// 哈希表的 key: 目标结点值，value: 结点对象
// 哈希表的 key: 目标节点值，value: 节点对象
// 若哈希表中无此 key ，返回 null
if (map.getKey(target) == null) return null;
return map.get(target);

34
chapter_searching/linear_search.md
View File

@@ -167,7 +167,7 @@ comments: true
}
```
再比如，我们想要在给定一个目标结点值 `target` ，返回此结点对象，也可以在链表中进行线性查找。
再比如，我们想要在给定一个目标节点值 `target` ，返回此节点对象，也可以在链表中进行线性查找。
=== "Java"
@@ -176,12 +176,12 @@ comments: true
ListNode linearSearchLinkedList(ListNode head, int target) {
// 遍历链表
while (head != null) {
// 找到目标结点，返回之
// 找到目标节点，返回之
if (head.val == target)
return head;
head = head.next;
}
// 未找到目标结点，返回 null
// 未找到目标节点，返回 null
return null;
}
```
@@ -193,12 +193,12 @@ comments: true
ListNode* linearSearchLinkedList(ListNode* head, int target) {
// 遍历链表
while (head != nullptr) {
// 找到目标结点，返回之
// 找到目标节点，返回之
if (head->val == target)
return head;
head = head->next;
}
// 未找到目标结点，返回 nullptr
// 未找到目标节点，返回 nullptr
return nullptr;
}
```
@@ -210,10 +210,10 @@ comments: true
""" 线性查找（链表） """
# 遍历链表
while head:
if head.val == target: # 找到目标结点，返回之
if head.val == target: # 找到目标节点，返回之
return head
head = head.next
return None # 未找到目标结点，返回 None
return None # 未找到目标节点，返回 None
```
=== "Go"
@@ -223,7 +223,7 @@ comments: true
func linearSearchLinkedList(node *ListNode, target int) *ListNode {
// 遍历链表
for node != nil {
// 找到目标结点，返回之
// 找到目标节点，返回之
if node.Val == target {
return node
}
@@ -241,13 +241,13 @@ comments: true
function linearSearchLinkedList(head, target) {
// 遍历链表
while(head) {
// 找到目标结点，返回之
// 找到目标节点，返回之
if(head.val === target) {
return head;
}
head = head.next;
}
// 未找到目标结点，返回 null
// 未找到目标节点，返回 null
return null;
}
```
@@ -259,13 +259,13 @@ comments: true
function linearSearchLinkedList(head: ListNode | null, target: number): ListNode | null {
// 遍历链表
while (head) {
// 找到目标结点，返回之
// 找到目标节点，返回之
if (head.val === target) {
return head;
}
head = head.next;
}
// 未找到目标结点，返回 null
// 未找到目标节点，返回 null
return null;
}
```
@@ -285,12 +285,12 @@ comments: true
// 遍历链表
while (head != null)
{
// 找到目标结点，返回之
// 找到目标节点，返回之
if (head.val == target)
return head;
head = head.next;
}
// 未找到目标结点，返回 null
// 未找到目标节点，返回 null
return null;
}
```
@@ -303,13 +303,13 @@ comments: true
var head = head
// 遍历链表
while head != nil {
// 找到目标结点，返回之
// 找到目标节点，返回之
if head?.val == target {
return head
}
head = head?.next
}
// 未找到目标结点，返回 null
// 未找到目标节点，返回 null
return nil
}
```
@@ -322,7 +322,7 @@ comments: true
var head = node;
// 遍历链表
while (head != null) {
// 找到目标结点，返回之
// 找到目标节点，返回之
if (head.?.val == target) return head;
head = head.?.next;
}

60
chapter_sorting/bucket_sort.md
View File

@@ -145,13 +145,67 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="bucket_sort.js"
[class]{}-[func]{bucketSort}
/* 桶排序 */
function bucketSort(nums) {
// 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
const k = nums.length / 2;
const buckets = [];
for (let i = 0; i < k; i++) {
buckets.push([]);
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (const num of nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
const i = Math.floor(num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
}
// 2. 对各个桶执行排序
for (const bucket of buckets) {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
bucket.sort((a, b) => a - b);
}
// 3. 遍历桶合并结果
let i = 0;
for (const bucket of buckets) {
for (const num of bucket) {
nums[i++] = num;
}
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="bucket_sort.ts"
[class]{}-[func]{bucketSort}
/* 桶排序 */
function bucketSort(nums: number[]): void {
// 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
const k = nums.length / 2;
const buckets: number[][] = [];
for (let i = 0; i < k; i++) {
buckets.push([]);
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (const num of nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
const i = Math.floor(num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
}
// 2. 对各个桶执行排序
for (const bucket of buckets) {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
bucket.sort((a, b) => a - b);
}
// 3. 遍历桶合并结果
let i = 0;
for (const bucket of buckets) {
for (const num of bucket) {
nums[i++] = num;
}
}
}
```
=== "C"
@@ -221,7 +275,7 @@ comments: true
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 $O(n)$ ，**难点是需要将元素均匀分配到各个桶中**，因为现实中的数据往往都不是均匀分布的。举个例子，假设我们想要把淘宝的所有商品根据价格范围平均分配到 10 个桶中，然而商品价格不是均匀分布的，100 元以下非常多、1000 元以上非常少；如果我们将价格区间平均划为 10 份，那么各个桶内的商品数量差距会非常大。
为了实现平均分配，我们可以先大致设置一个分界线，将数据粗略分到 3 个桶，分配完后，**再把商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶内元素数量大致平均为止**。此方法本质上是生成一个递归树，让叶结点的值尽量平均。当然，不一定非要划分为 3 个桶，可以根据数据特点灵活选取。
为了实现平均分配，我们可以先大致设置一个分界线，将数据粗略分到 3 个桶，分配完后，**再把商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶内元素数量大致平均为止**。此方法本质上是生成一个递归树，让叶节点的值尽量平均。当然，不一定非要划分为 3 个桶，可以根据数据特点灵活选取。
![递归划分桶](bucket_sort.assets/scatter_in_buckets_recursively.png)

114
chapter_sorting/counting_sort.md
View File

@@ -127,13 +127,55 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="counting_sort.js"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
function countingSortNaive(nums) {
// 1. 统计数组最大元素 m
let m = 0;
for (const num of nums) {
m = Math.max(m, num);
}
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
const counter = new Array(m + 1).fill(0);
for (const num of nums) {
counter[num]++;
}
// 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
let i = 0;
for (let num = 0; num < m + 1; num++) {
for (let j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
nums[i] = num;
}
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="counting_sort.ts"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
function countingSortNaive(nums: number[]): void {
// 1. 统计数组最大元素 m
let m = 0;
for (const num of nums) {
m = Math.max(m, num);
}
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
const counter: number[] = new Array<number>(m + 1).fill(0);
for (const num of nums) {
counter[num]++;
}
// 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
let i = 0;
for (let num = 0; num < m + 1; num++) {
for (let j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
nums[i] = num;
}
}
}
```
=== "C"
@@ -373,13 +415,77 @@ $$
=== "JavaScript"
```javascript title="counting_sort.js"
[class]{}-[func]{countingSort}
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
function countingSort(nums) {
// 1. 统计数组最大元素 m
let m = 0;
for (const num of nums) {
m = Math.max(m, num);
}
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
const counter = new Array(m + 1).fill(0);
for (const num of nums) {
counter[num]++;
}
// 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
// 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
for (let i = 0; i < m; i++) {
counter[i + 1] += counter[i];
}
// 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
// 初始化数组 res 用于记录结果
const n = nums.length;
const res = new Array(n);
for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
const num = nums[i];
res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
}
// 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = res[i];
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="counting_sort.ts"
[class]{}-[func]{countingSort}
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
function countingSort(nums: number[]): void {
// 1. 统计数组最大元素 m
let m = 0;
for (const num of nums) {
m = Math.max(m, num);
}
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
const counter: number[] = new Array<number>(m + 1).fill(0);
for (const num of nums) {
counter[num]++;
}
// 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
// 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
for (let i = 0; i < m; i++) {
counter[i + 1] += counter[i];
}
// 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
// 初始化数组 res 用于记录结果
const n = nums.length;
const res: number[] = new Array<number>(n);
for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
const num = nums[i];
res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
}
// 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = res[i];
}
}
```
=== "C"

4
chapter_sorting/merge_sort.md
View File

@@ -56,7 +56,7 @@ comments: true
观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。
- **后序遍历**：先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。
- **后序遍历**：先递归左子树、再递归右子树、最后处理根节点。
- **归并排序**：先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。
=== "Java"
@@ -507,7 +507,7 @@ comments: true
归并排序有一个很特别的优势，用于排序链表时有很好的性能表现，**空间复杂度可被优化至 $O(1)$** ，这是因为：
- 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此“将两个短有序链表合并为一个长有序链表”无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 `tmp` ；
- 由于链表可仅通过改变指针来实现节点增删，因此“将两个短有序链表合并为一个长有序链表”无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 `tmp` ；
- 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间；
> 详情参考：[148. 排序链表](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/)

106
chapter_sorting/radix_sort.md
View File

@@ -238,21 +238,115 @@ $$
=== "JavaScript"
```javascript title="radix_sort.js"
[class]{}-[func]{digit}
/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
function digit(num, exp) {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return Math.floor(num / exp) % 10;
}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
function countingSortDigit(nums, exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
const counter = new Array(10).fill(0);
const n = nums.length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (let i = 0; i < n; i++) {
const d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
for (let i = 1; i < 10; i++) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
const res = new Array(n).fill(0);
for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
const d = digit(nums[i], exp);
const j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = res[i];
}
}
[class]{}-[func]{radixSort}
/* 基数排序 */
function radixSort(nums) {
// 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
let m = Number.MIN_VALUE;
for (const num of nums) {
if (num > m) {
m = num;
}
}
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, exp);
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="radix_sort.ts"
[class]{}-[func]{digit}
/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
function digit(num: number, exp: number): number {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return Math.floor(num / exp) % 10;
}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
function countingSortDigit(nums: number[], exp: number): void {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
const counter = new Array(10).fill(0);
const n = nums.length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (let i = 0; i < n; i++) {
const d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
for (let i = 1; i < 10; i++) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
const res = new Array(n).fill(0);
for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
const d = digit(nums[i], exp);
const j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = res[i];
}
}
[class]{}-[func]{radixSort}
/* 基数排序 */
function radixSort(nums: number[]): void {
// 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
let m = Number.MIN_VALUE;
for (const num of nums) {
if (num > m) {
m = num;
}
}
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, exp);
}
}
```
=== "C"

196
chapter_stack_and_queue/deque.md
View File

@@ -295,11 +295,11 @@ comments: true
### 基于双向链表的实现
回忆上节内容，由于可以方便地删除链表头结点（对应出队操作），以及在链表尾结点后添加新结点（对应入队操作），因此我们使用普通单向链表来实现队列。
回忆上节内容，由于可以方便地删除链表头节点（对应出队操作），以及在链表尾节点后添加新节点（对应入队操作），因此我们使用普通单向链表来实现队列。
而双向队列的头部和尾部都可以执行入队与出队操作，换言之，双向队列的操作是“首尾对称”的，也需要实现另一个对称方向的操作。因此，双向队列需要使用「双向链表」来实现。
我们将双向链表的头结点和尾结点分别看作双向队列的队首和队尾，并且实现在两端都能添加与删除结点。
我们将双向链表的头节点和尾节点分别看作双向队列的队首和队尾，并且实现在两端都能添加与删除节点。
=== "LinkedListDeque"
![基于链表实现双向队列的入队出队操作](deque.assets/linkedlist_deque.png)
@@ -321,11 +321,11 @@ comments: true
=== "Java"
```java title="linkedlist_deque.java"
/* 双向链表结点 */
/* 双向链表节点 */
class ListNode {
int val; // 结点值
ListNode next; // 后继结点引用（指针）
ListNode prev; // 前驱结点引用（指针）
int val; // 节点值
ListNode next; // 后继节点引用（指针）
ListNode prev; // 前驱节点引用（指针）
ListNode(int val) {
this.val = val;
prev = next = null;
@@ -334,7 +334,7 @@ comments: true
/* 基于双向链表实现的双向队列 */
class LinkedListDeque {
private ListNode front, rear; // 头结点 front ，尾结点 rear
private ListNode front, rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
private int queSize = 0; // 双向队列的长度
public LinkedListDeque() {
@@ -362,13 +362,13 @@ comments: true
// 将 node 添加至链表头部
front.prev = node;
node.next = front;
front = node; // 更新头结点
front = node; // 更新头节点
// 队尾入队操作
} else {
// 将 node 添加至链表尾部
rear.next = node;
node.prev = rear;
rear = node; // 更新尾结点
rear = node; // 更新尾节点
}
queSize++; // 更新队列长度
}
@@ -391,24 +391,24 @@ comments: true
int val;
// 队首出队操作
if (isFront) {
val = front.val; // 暂存头结点值
// 删除头结点
val = front.val; // 暂存头节点值
// 删除头节点
ListNode fNext = front.next;
if (fNext != null) {
fNext.prev = null;
front.next = null;
}
front = fNext; // 更新头结点
front = fNext; // 更新头节点
// 队尾出队操作
} else {
val = rear.val; // 暂存尾结点值
// 删除尾结点
val = rear.val; // 暂存尾节点值
// 删除尾节点
ListNode rPrev = rear.prev;
if (rPrev != null) {
rPrev.next = null;
rear.prev = null;
}
rear = rPrev; // 更新尾结点
rear = rPrev; // 更新尾节点
}
queSize--; // 更新队列长度
return val;
@@ -450,18 +450,18 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="linkedlist_deque.cpp"
/* 双向链表结点 */
/* 双向链表节点 */
struct DoublyListNode {
int val; // 结点值
DoublyListNode *next; // 后继结点指针
DoublyListNode *prev; // 前驱结点指针
int val; // 节点值
DoublyListNode *next; // 后继节点指针
DoublyListNode *prev; // 前驱节点指针
DoublyListNode(int val) : val(val), prev(nullptr), next(nullptr) {}
};
/* 基于双向链表实现的双向队列 */
class LinkedListDeque {
private:
DoublyListNode *front, *rear; // 头结点 front ，尾结点 rear
DoublyListNode *front, *rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
int queSize = 0; // 双向队列的长度
public:
@@ -470,7 +470,7 @@ comments: true
/* 析构方法 */
~LinkedListDeque() {
// 遍历链表删除结点，释放内存
// 遍历链表删除节点，释放内存
DoublyListNode *pre, *cur = front;
while (cur != nullptr) {
pre = cur;
@@ -500,13 +500,13 @@ comments: true
// 将 node 添加至链表头部
front->prev = node;
node->next = front;
front = node; // 更新头结点
front = node; // 更新头节点
// 队尾入队操作
} else {
// 将 node 添加至链表尾部
rear->next = node;
node->prev = rear;
rear = node; // 更新尾结点
rear = node; // 更新尾节点
}
queSize++; // 更新队列长度
}
@@ -529,26 +529,26 @@ comments: true
int val;
// 队首出队操作
if (isFront) {
val = front->val; // 暂存头结点值
// 删除头结点
val = front->val; // 暂存头节点值
// 删除头节点
DoublyListNode *fNext = front->next;
if (fNext != nullptr) {
fNext->prev = nullptr;
front->next = nullptr;
delete front;
}
front = fNext; // 更新头结点
front = fNext; // 更新头节点
// 队尾出队操作
} else {
val = rear->val; // 暂存尾结点值
// 删除尾结点
val = rear->val; // 暂存尾节点值
// 删除尾节点
DoublyListNode *rPrev = rear->prev;
if (rPrev != nullptr) {
rPrev->next = nullptr;
rear->prev = nullptr;
delete rear;
}
rear = rPrev; // 更新尾结点
rear = rPrev; // 更新尾节点
}
queSize--; // 更新队列长度
return val;
@@ -591,19 +591,19 @@ comments: true
```python title="linkedlist_deque.py"
class ListNode:
""" 双向链表结点 """
""" 双向链表节点 """
def __init__(self, val: int) -> None:
""" 构造方法 """
self.val: int = val
self.next: ListNode | None = None # 后继结点引用（指针）
self.prev: ListNode | None = None # 前驱结点引用（指针）
self.next: ListNode | None = None # 后继节点引用（指针）
self.prev: ListNode | None = None # 前驱节点引用（指针）
class LinkedListDeque:
""" 基于双向链表实现的双向队列 """
def __init__(self) -> None:
""" 构造方法 """
self.front: ListNode | None = None # 头结点 front
self.rear: ListNode | None = None # 尾结点 rear
self.front: ListNode | None = None # 头节点 front
self.rear: ListNode | None = None # 尾节点 rear
self.__size: int = 0 # 双向队列的长度
def size(self) -> int:
@@ -625,13 +625,13 @@ comments: true
# 将 node 添加至链表头部
self.front.prev = node
node.next = self.front
self.front = node # 更新头结点
self.front = node # 更新头节点
# 队尾入队操作
else:
# 将 node 添加至链表尾部
self.rear.next = node
node.prev = self.rear
self.rear = node # 更新尾结点
self.rear = node # 更新尾节点
self.__size += 1 # 更新队列长度
def push_first(self, num: int) -> None:
@@ -649,22 +649,22 @@ comments: true
return None
# 队首出队操作
if is_front:
val: int = self.front.val # 暂存头结点值
# 删除头结点
val: int = self.front.val # 暂存头节点值
# 删除头节点
fnext: ListNode | None = self.front.next
if fnext != None:
fnext.prev = None
self.front.next = None
self.front = fnext # 更新头结点
self.front = fnext # 更新头节点
# 队尾出队操作
else:
val: int = self.rear.val # 暂存尾结点值
# 删除尾结点
val: int = self.rear.val # 暂存尾节点值
# 删除尾节点
rprev: ListNode | None = self.rear.prev
if rprev != None:
rprev.next = None
self.rear.prev = None
self.rear = rprev # 更新尾结点
self.rear = rprev # 更新尾节点
self.__size -= 1 # 更新队列长度
return val
@@ -777,11 +777,11 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="linkedlist_deque.js"
/* 双向链表结点 */
/* 双向链表节点 */
class ListNode {
prev; // 前驱结点引用 (指针)
next; // 后继结点引用 (指针)
val; // 结点值
prev; // 前驱节点引用 (指针)
next; // 后继节点引用 (指针)
val; // 节点值
constructor(val) {
this.val = val;
@@ -792,8 +792,8 @@ comments: true
/* 基于双向链表实现的双向队列 */
class LinkedListDeque {
#front; // 头结点 front
#rear; // 尾结点 rear
#front; // 头节点 front
#rear; // 尾节点 rear
#queSize; // 双向队列的长度
constructor() {
@@ -813,7 +813,7 @@ comments: true
// 将 node 添加至链表尾部
this.#rear.next = node;
node.prev = this.#rear;
this.#rear = node; // 更新尾结点
this.#rear = node; // 更新尾节点
}
this.#queSize++;
}
@@ -829,7 +829,7 @@ comments: true
// 将 node 添加至链表头部
this.#front.prev = node;
node.next = this.#front;
this.#front = node; // 更新头结点
this.#front = node; // 更新头节点
}
this.#queSize++;
}
@@ -839,14 +839,14 @@ comments: true
if (this.#queSize === 0) {
return null;
}
const value = this.#rear.val; // 存储尾结点值
// 删除尾结点
const value = this.#rear.val; // 存储尾节点值
// 删除尾节点
let temp = this.#rear.prev;
if (temp !== null) {
temp.next = null;
this.#rear.prev = null;
}
this.#rear = temp; // 更新尾结点
this.#rear = temp; // 更新尾节点
this.#queSize--;
return value;
}
@@ -856,14 +856,14 @@ comments: true
if (this.#queSize === 0) {
return null;
}
const value = this.#front.val; // 存储尾结点值
// 删除头结点
const value = this.#front.val; // 存储尾节点值
// 删除头节点
let temp = this.#front.next;
if (temp !== null) {
temp.prev = null;
this.#front.next = null;
}
this.#front = temp; // 更新头结点
this.#front = temp; // 更新头节点
this.#queSize--;
return value;
}
@@ -904,11 +904,11 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title="linkedlist_deque.ts"
/* 双向链表结点 */
/* 双向链表节点 */
class ListNode {
prev: ListNode; // 前驱结点引用 (指针)
next: ListNode; // 后继结点引用 (指针)
val: number; // 结点值
prev: ListNode; // 前驱节点引用 (指针)
next: ListNode; // 后继节点引用 (指针)
val: number; // 节点值
constructor(val: number) {
this.val = val;
@@ -919,8 +919,8 @@ comments: true
/* 基于双向链表实现的双向队列 */
class LinkedListDeque {
private front: ListNode; // 头结点 front
private rear: ListNode; // 尾结点 rear
private front: ListNode; // 头节点 front
private rear: ListNode; // 尾节点 rear
private queSize: number; // 双向队列的长度
constructor() {
@@ -940,7 +940,7 @@ comments: true
// 将 node 添加至链表尾部
this.rear.next = node;
node.prev = this.rear;
this.rear = node; // 更新尾结点
this.rear = node; // 更新尾节点
}
this.queSize++;
}
@@ -956,7 +956,7 @@ comments: true
// 将 node 添加至链表头部
this.front.prev = node;
node.next = this.front;
this.front = node; // 更新头结点
this.front = node; // 更新头节点
}
this.queSize++;
}
@@ -966,14 +966,14 @@ comments: true
if (this.queSize === 0) {
return null;
}
const value: number = this.rear.val; // 存储尾结点值
// 删除尾结点
const value: number = this.rear.val; // 存储尾节点值
// 删除尾节点
let temp: ListNode = this.rear.prev;
if (temp !== null) {
temp.next = null;
this.rear.prev = null;
}
this.rear = temp; // 更新尾结点
this.rear = temp; // 更新尾节点
this.queSize--;
return value;
}
@@ -983,14 +983,14 @@ comments: true
if (this.queSize === 0) {
return null;
}
const value: number = this.front.val; // 存储尾结点值
// 删除头结点
const value: number = this.front.val; // 存储尾节点值
// 删除头节点
let temp: ListNode = this.front.next;
if (temp !== null) {
temp.prev = null;
this.front.next = null;
}
this.front = temp; // 更新头结点
this.front = temp; // 更新头节点
this.queSize--;
return value;
}
@@ -1047,11 +1047,11 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="linkedlist_deque.swift"
/* 双向链表结点 */
/* 双向链表节点 */
class ListNode {
var val: Int // 结点值
var next: ListNode? // 后继结点引用（指针）
var prev: ListNode? // 前驱结点引用（指针）
var val: Int // 节点值
var next: ListNode? // 后继节点引用（指针）
var prev: ListNode? // 前驱节点引用（指针）
init(val: Int) {
self.val = val
@@ -1060,8 +1060,8 @@ comments: true
/* 基于双向链表实现的双向队列 */
class LinkedListDeque {
private var front: ListNode? // 头结点 front
private var rear: ListNode? // 尾结点 rear
private var front: ListNode? // 头节点 front
private var rear: ListNode? // 尾节点 rear
private var queSize: Int // 双向队列的长度
init() {
@@ -1091,14 +1091,14 @@ comments: true
// 将 node 添加至链表头部
front?.prev = node
node.next = front
front = node // 更新头结点
front = node // 更新头节点
}
// 队尾入队操作
else {
// 将 node 添加至链表尾部
rear?.next = node
node.prev = rear
rear = node // 更新尾结点
rear = node // 更新尾节点
}
queSize += 1 // 更新队列长度
}
@@ -1121,25 +1121,25 @@ comments: true
let val: Int
// 队首出队操作
if isFront {
val = front!.val // 暂存头结点值
// 删除头结点
val = front!.val // 暂存头节点值
// 删除头节点
let fNext = front?.next
if fNext != nil {
fNext?.prev = nil
front?.next = nil
}
front = fNext // 更新头结点
front = fNext // 更新头节点
}
// 队尾出队操作
else {
val = rear!.val // 暂存尾结点值
// 删除尾结点
val = rear!.val // 暂存尾节点值
// 删除尾节点
let rPrev = rear?.prev
if rPrev != nil {
rPrev?.next = nil
rear?.prev = nil
}
rear = rPrev // 更新尾结点
rear = rPrev // 更新尾节点
}
queSize -= 1 // 更新队列长度
return val
@@ -1181,14 +1181,14 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="linkedlist_deque.zig"
// 双向链表结点
// 双向链表节点
fn ListNode(comptime T: type) type {
return struct {
const Self = @This();
val: T = undefined, // 结点值
next: ?*Self = null, // 后继结点引用（指针）
prev: ?*Self = null, // 前驱结点引用（指针）
val: T = undefined, // 节点值
next: ?*Self = null, // 后继节点引用（指针）
prev: ?*Self = null, // 前驱节点引用（指针）
// Initialize a list node with specific value
pub fn init(self: *Self, x: i32) void {
@@ -1204,8 +1204,8 @@ comments: true
return struct {
const Self = @This();
front: ?*ListNode(T) = null, // 头结点 front
rear: ?*ListNode(T) = null, // 尾结点 rear
front: ?*ListNode(T) = null, // 头节点 front
rear: ?*ListNode(T) = null, // 尾节点 rear
que_size: usize = 0, // 双向队列的长度
mem_arena: ?std.heap.ArenaAllocator = null,
mem_allocator: std.mem.Allocator = undefined, // 内存分配器
@@ -1250,13 +1250,13 @@ comments: true
// 将 node 添加至链表头部
self.front.?.prev = node;
node.next = self.front;
self.front = node; // 更新头结点
self.front = node; // 更新头节点
// 队尾入队操作
} else {
// 将 node 添加至链表尾部
self.rear.?.next = node;
node.prev = self.rear;
self.rear = node; // 更新尾结点
self.rear = node; // 更新尾节点
}
self.que_size += 1; // 更新队列长度
}
@@ -1277,24 +1277,24 @@ comments: true
var val: T = undefined;
// 队首出队操作
if (is_front) {
val = self.front.?.val; // 暂存头结点值
// 删除头结点
val = self.front.?.val; // 暂存头节点值
// 删除头节点
var fNext = self.front.?.next;
if (fNext != null) {
fNext.?.prev = null;
self.front.?.next = null;
}
self.front = fNext; // 更新头结点
self.front = fNext; // 更新头节点
// 队尾出队操作
} else {
val = self.rear.?.val; // 暂存尾结点值
// 删除尾结点
val = self.rear.?.val; // 暂存尾节点值
// 删除尾节点
var rPrev = self.rear.?.prev;
if (rPrev != null) {
rPrev.?.next = null;
self.rear.?.prev = null;
}
self.rear = rPrev; // 更新尾结点
self.rear = rPrev; // 更新尾节点
}
self.que_size -= 1; // 更新队列长度
return val;

94
chapter_stack_and_queue/queue.md
View File

@@ -264,7 +264,7 @@ comments: true
### 基于链表的实现
我们将链表的「头结点」和「尾结点」分别看作是队首和队尾，并规定队尾只可添加结点，队首只可删除结点。
我们将链表的「头节点」和「尾节点」分别看作是队首和队尾，并规定队尾只可添加节点，队首只可删除节点。
=== "LinkedListQueue"
![基于链表实现队列的入队出队操作](queue.assets/linkedlist_queue.png)
@@ -282,7 +282,7 @@ comments: true
```java title="linkedlist_queue.java"
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
private ListNode front, rear; // 头结点 front ，尾结点 rear
private ListNode front, rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
private int queSize = 0;
public LinkedListQueue() {
@@ -302,13 +302,13 @@ comments: true
/* 入队 */
public void push(int num) {
// 尾结点后添加 num
// 尾节点后添加 num
ListNode node = new ListNode(num);
// 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
// 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
if (front == null) {
front = node;
rear = node;
// 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
// 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
} else {
rear.next = node;
rear = node;
@@ -319,7 +319,7 @@ comments: true
/* 出队 */
public int pop() {
int num = peek();
// 删除头结点
// 删除头节点
front = front.next;
queSize--;
return num;
@@ -351,7 +351,7 @@ comments: true
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
private:
ListNode *front, *rear; // 头结点 front ，尾结点 rear
ListNode *front, *rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
int queSize;
public:
@@ -362,7 +362,7 @@ comments: true
}
~LinkedListQueue() {
// 遍历链表删除结点，释放内存
// 遍历链表删除节点，释放内存
freeMemoryLinkedList(front);
}
@@ -378,14 +378,14 @@ comments: true
/* 入队 */
void push(int num) {
// 尾结点后添加 num
// 尾节点后添加 num
ListNode* node = new ListNode(num);
// 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
// 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
if (front == nullptr) {
front = node;
rear = node;
}
// 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
// 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
else {
rear->next = node;
rear = node;
@@ -396,7 +396,7 @@ comments: true
/* 出队 */
void pop() {
int num = peek();
// 删除头结点
// 删除头节点
ListNode *tmp = front;
front = front->next;
// 释放内存
@@ -431,8 +431,8 @@ comments: true
""" 基于链表实现的队列 """
def __init__(self):
""" 构造方法 """
self.__front: ListNode | None = None # 头结点 front
self.__rear: ListNode | None = None # 尾结点 rear
self.__front: ListNode | None = None # 头节点 front
self.__rear: ListNode | None = None # 尾节点 rear
self.__size: int = 0
def size(self) -> int:
@@ -445,13 +445,13 @@ comments: true
def push(self, num: int) -> None:
""" 入队 """
# 尾结点后添加 num
# 尾节点后添加 num
node = ListNode(num)
# 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
# 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
if self.__front is None:
self.__front = node
self.__rear = node
# 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
# 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
else:
self.__rear.next = node
self.__rear = node
@@ -460,7 +460,7 @@ comments: true
def pop(self) -> int:
""" 出队 """
num = self.peek()
# 删除头结点
# 删除头节点
self.__front = self.__front.next
self.__size -= 1
return num
@@ -543,8 +543,8 @@ comments: true
```javascript title="linkedlist_queue.js"
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
#front; // 头结点 #front
#rear; // 尾结点 #rear
#front; // 头节点 #front
#rear; // 尾节点 #rear
#queSize = 0;
constructor() {
@@ -564,13 +564,13 @@ comments: true
/* 入队 */
push(num) {
// 尾结点后添加 num
// 尾节点后添加 num
const node = new ListNode(num);
// 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
// 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
if (!this.#front) {
this.#front = node;
this.#rear = node;
// 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
// 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
} else {
this.#rear.next = node;
this.#rear = node;
@@ -581,7 +581,7 @@ comments: true
/* 出队 */
pop() {
const num = this.peek();
// 删除头结点
// 删除头节点
this.#front = this.#front.next;
this.#queSize--;
return num;
@@ -612,8 +612,8 @@ comments: true
```typescript title="linkedlist_queue.ts"
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
private front: ListNode | null; // 头结点 front
private rear: ListNode | null; // 尾结点 rear
private front: ListNode | null; // 头节点 front
private rear: ListNode | null; // 尾节点 rear
private queSize: number = 0;
constructor() {
@@ -633,13 +633,13 @@ comments: true
/* 入队 */
push(num: number): void {
// 尾结点后添加 num
// 尾节点后添加 num
const node = new ListNode(num);
// 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
// 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
if (!this.front) {
this.front = node;
this.rear = node;
// 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
// 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
} else {
this.rear!.next = node;
this.rear = node;
@@ -651,7 +651,7 @@ comments: true
pop(): number {
const num = this.peek();
if (!this.front) throw new Error('队列为空');
// 删除头结点
// 删除头节点
this.front = this.front.next;
this.queSize--;
return num;
@@ -688,7 +688,7 @@ comments: true
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue
{
private ListNode? front, rear; // 头结点 front ，尾结点 rear
private ListNode? front, rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
private int queSize = 0;
public LinkedListQueue()
@@ -712,14 +712,14 @@ comments: true
/* 入队 */
public void push(int num)
{
// 尾结点后添加 num
// 尾节点后添加 num
ListNode node = new ListNode(num);
// 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
// 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
if (front == null)
{
front = node;
rear = node;
// 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
// 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
}
else if (rear != null)
{
@@ -733,7 +733,7 @@ comments: true
public int pop()
{
int num = peek();
// 删除头结点
// 删除头节点
front = front?.next;
queSize--;
return num;
@@ -770,8 +770,8 @@ comments: true
```swift title="linkedlist_queue.swift"
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
private var front: ListNode? // 头结点
private var rear: ListNode? // 尾结点
private var front: ListNode? // 头节点
private var rear: ListNode? // 尾节点
private var _size = 0
init() {}
@@ -788,14 +788,14 @@ comments: true
/* 入队 */
func push(num: Int) {
// 尾结点后添加 num
// 尾节点后添加 num
let node = ListNode(x: num)
// 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
// 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
if front == nil {
front = node
rear = node
}
// 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
// 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
else {
rear?.next = node
rear = node
@@ -807,7 +807,7 @@ comments: true
@discardableResult
func pop() -> Int {
let num = peek()
// 删除头结点
// 删除头节点
front = front?.next
_size -= 1
return num
@@ -842,8 +842,8 @@ comments: true
return struct {
const Self = @This();
front: ?*inc.ListNode(T) = null, // 头结点 front
rear: ?*inc.ListNode(T) = null, // 尾结点 rear
front: ?*inc.ListNode(T) = null, // 头节点 front
rear: ?*inc.ListNode(T) = null, // 尾节点 rear
que_size: usize = 0, // 队列的长度
mem_arena: ?std.heap.ArenaAllocator = null,
mem_allocator: std.mem.Allocator = undefined, // 内存分配器
@@ -883,14 +883,14 @@ comments: true
// 入队
pub fn push(self: *Self, num: T) !void {
// 尾结点后添加 num
// 尾节点后添加 num
var node = try self.mem_allocator.create(inc.ListNode(T));
node.init(num);
// 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
// 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
if (self.front == null) {
self.front = node;
self.rear = node;
// 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
// 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
} else {
self.rear.?.next = node;
self.rear = node;
@@ -901,7 +901,7 @@ comments: true
// 出队
pub fn pop(self: *Self) T {
var num = self.peek();
// 删除头结点
// 删除头节点
self.front = self.front.?.next;
self.que_size -= 1;
return num;

24
chapter_stack_and_queue/stack.md
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@@ -264,9 +264,9 @@ comments: true
### 基于链表的实现
使用「链表」实现栈时，将链表的头结点看作栈顶，将尾结点看作栈底。
使用「链表」实现栈时，将链表的头节点看作栈顶，将尾节点看作栈底。
对于入栈操作，将元素插入到链表头部即可，这种结点添加方式被称为“头插法”。而对于出栈操作，则将头结点从链表中删除即可。
对于入栈操作，将元素插入到链表头部即可，这种节点添加方式被称为“头插法”。而对于出栈操作，则将头节点从链表中删除即可。
=== "LinkedListStack"
![基于链表实现栈的入栈出栈操作](stack.assets/linkedlist_stack.png)
@@ -284,7 +284,7 @@ comments: true
```java title="linkedlist_stack.java"
/* 基于链表实现的栈 */
class LinkedListStack {
private ListNode stackPeek; // 将头结点作为栈顶
private ListNode stackPeek; // 将头节点作为栈顶
private int stkSize = 0; // 栈的长度
public LinkedListStack() {
@@ -343,7 +343,7 @@ comments: true
/* 基于链表实现的栈 */
class LinkedListStack {
private:
ListNode* stackTop; // 将头结点作为栈顶
ListNode* stackTop; // 将头节点作为栈顶
int stkSize; // 栈的长度
public:
@@ -353,7 +353,7 @@ comments: true
}
~LinkedListStack() {
// 遍历链表删除结点，释放内存
// 遍历链表删除节点，释放内存
freeMemoryLinkedList(stackTop);
}
@@ -515,7 +515,7 @@ comments: true
```javascript title="linkedlist_stack.js"
/* 基于链表实现的栈 */
class LinkedListStack {
#stackPeek; // 将头结点作为栈顶
#stackPeek; // 将头节点作为栈顶
#stkSize = 0; // 栈的长度
constructor() {
@@ -573,7 +573,7 @@ comments: true
```typescript title="linkedlist_stack.ts"
/* 基于链表实现的栈 */
class LinkedListStack {
private stackPeek: ListNode | null; // 将头结点作为栈顶
private stackPeek: ListNode | null; // 将头节点作为栈顶
private stkSize: number = 0; // 栈的长度
constructor() {
@@ -638,7 +638,7 @@ comments: true
/* 基于链表实现的栈 */
class LinkedListStack
{
private ListNode? stackPeek; // 将头结点作为栈顶
private ListNode? stackPeek; // 将头节点作为栈顶
private int stkSize = 0; // 栈的长度
public LinkedListStack()
@@ -710,7 +710,7 @@ comments: true
```swift title="linkedlist_stack.swift"
/* 基于链表实现的栈 */
class LinkedListStack {
private var _peek: ListNode? // 将头结点作为栈顶
private var _peek: ListNode? // 将头节点作为栈顶
private var _size = 0 // 栈的长度
init() {}
@@ -771,7 +771,7 @@ comments: true
return struct {
const Self = @This();
stack_top: ?*inc.ListNode(T) = null, // 将头结点作为栈顶
stack_top: ?*inc.ListNode(T) = null, // 将头节点作为栈顶
stk_size: usize = 0, // 栈的长度
mem_arena: ?std.heap.ArenaAllocator = null,
mem_allocator: std.mem.Allocator = undefined, // 内存分配器
@@ -1311,7 +1311,7 @@ comments: true
在数组（列表）实现中，入栈与出栈操作都是在预先分配好的连续内存中操作，具有很好的缓存本地性，效率很好。然而，如果入栈时超出数组容量，则会触发扩容机制，那么该次入栈操作的时间复杂度为 $O(n)$ 。
在链表实现中，链表的扩容非常灵活，不存在上述数组扩容时变慢的问题。然而，入栈操作需要初始化结点对象并修改指针，因而效率不如数组。进一步地思考，如果入栈元素不是 `int` 而是结点对象，那么就可以省去初始化步骤，从而提升效率。
在链表实现中，链表的扩容非常灵活，不存在上述数组扩容时变慢的问题。然而，入栈操作需要初始化节点对象并修改指针，因而效率不如数组。进一步地思考，如果入栈元素不是 `int` 而是节点对象，那么就可以省去初始化步骤，从而提升效率。
综上所述，当入栈与出栈操作的元素是基本数据类型（例如 `int` , `double` ）时，则结论如下：
@@ -1322,7 +1322,7 @@ comments: true
在初始化列表时，系统会给列表分配“初始容量”，该容量可能超过我们的需求。并且扩容机制一般是按照特定倍率（比如 2 倍）进行扩容，扩容后的容量也可能超出我们的需求。因此，**数组实现栈会造成一定的空间浪费**。
当然，由于结点需要额外存储指针，因此 **链表结点比数组元素占用更大**。
当然，由于节点需要额外存储指针，因此 **链表节点比数组元素占用更大**。
综上，我们不能简单地确定哪种实现更加省内存，需要 case-by-case 地分析。

2
chapter_stack_and_queue/summary.md
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@@ -6,6 +6,6 @@ comments: true
- 栈是一种遵循先入后出的数据结构，可以使用数组或链表实现。
- 在时间效率方面，栈的数组实现具有更好的平均效率，但扩容时会导致单次入栈操作的时间复杂度劣化至 $O(n)$ 。相对地，栈的链表实现具有更加稳定的效率表现。
- 在空间效率方面，栈的数组实现会造成一定空间浪费，然而链表结点比数组元素占用内存更大。
- 在空间效率方面，栈的数组实现会造成一定空间浪费，然而链表节点比数组元素占用内存更大。
- 队列是一种遵循先入先出的数据结构，可以使用数组或链表实现。对于两种实现的时间效率与空间效率对比，与上述栈的结论相同。
- 双向队列的两端都可以添加与删除元素。

618
chapter_tree/avl_tree.md
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498
chapter_tree/binary_search_tree.md
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194
chapter_tree/binary_tree.md
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@@ -4,16 +4,16 @@ comments: true
# 7.1. &nbsp; 二叉树
「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。
「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以节点为单位存储的，节点包含「值」和两个「指针」。
=== "Java"
```java title=""
/* 二叉树结点类 */
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
int val; // 结点值
TreeNode left; // 左子结点指针
TreeNode right; // 右子结点指针
int val; // 节点值
TreeNode left; // 左子节点指针
TreeNode right; // 右子节点指针
TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
@@ -21,11 +21,11 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title=""
/* 二叉树结点结构体 */
/* 二叉树节点结构体 */
struct TreeNode {
int val; // 结点值
TreeNode *left; // 左子结点指针
TreeNode *right; // 右子结点指针
int val; // 节点值
TreeNode *left; // 左子节点指针
TreeNode *right; // 右子节点指针
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
```
@@ -33,24 +33,24 @@ comments: true
=== "Python"
```python title=""
""" 二叉树结点类 """
""" 二叉树节点类 """
class TreeNode:
def __init__(self, val: int):
self.val: int = val # 结点值
self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子结点指针
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子结点指针
self.val: int = val # 节点值
self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子节点指针
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点指针
```
=== "Go"
```go title=""
/* 二叉树结点结构体 */
/* 二叉树节点结构体 */
type TreeNode struct {
Val int
Left *TreeNode
Right *TreeNode
}
/* 结点初始化方法 */
/* 节点初始化方法 */
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
return &TreeNode{
Left: nil,
@@ -63,27 +63,27 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title=""
/* 二叉树结点类 */
/* 二叉树节点类 */
function TreeNode(val, left, right) {
this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针
this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针
this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 节点值
this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子节点指针
this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子节点指针
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
/* 二叉树结点类 */
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
val: number;
left: TreeNode | null;
right: TreeNode | null;
constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点指针
this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点指针
}
}
```
@@ -97,11 +97,11 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title=""
/* 二叉树结点类 */
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
int val; // 结点值
TreeNode? left; // 左子结点指针
TreeNode? right; // 右子结点指针
int val; // 节点值
TreeNode? left; // 左子节点指针
TreeNode? right; // 右子节点指针
TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
@@ -109,11 +109,11 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title=""
/* 二叉树结点类 */
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
var val: Int // 结点值
var left: TreeNode? // 左子结点指针
var right: TreeNode? // 右子结点指针
var val: Int // 节点值
var left: TreeNode? // 左子节点指针
var right: TreeNode? // 右子节点指针
init(x: Int) {
val = x
@@ -127,26 +127,26 @@ comments: true
```
结点的两个指针分别指向「左子结点」和「右子结点」，并且称该结点为两个子结点的「父结点」。给定二叉树某结点，将“左子结点及其以下结点形成的树”称为该结点的「左子树」，右子树同理。
节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，并且称该节点为两个子节点的「父节点」。给定二叉树某节点，将“左子节点及其以下节点形成的树”称为该节点的「左子树」，右子树同理。
除了叶结点外，每个结点都有子结点和子树。例如，若将下图的“结点 2”看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为“结点 4”和“结点 5”，左子树和右子树分别为“结点 4 及其以下结点形成的树”和“结点 5 及其以下结点形成的树”。
除了叶节点外，每个节点都有子节点和子树。例如，若将下图的“节点 2”看作父节点，那么其左子节点和右子节点分别为“节点 4”和“节点 5”，左子树和右子树分别为“节点 4 及其以下节点形成的树”和“节点 5 及其以下节点形成的树”。
![父结点、子结点、子树](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)
![父节点、子节点、子树](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)
<p align="center"> Fig. 父结点、子结点、子树 </p>
<p align="center"> Fig. 父节点、子节点、子树 </p>
## 7.1.1. &nbsp; 二叉树常见术语
二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。
- 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
- 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
- 结点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根结点所处层为 1 ；
- 结点「度 Degree」：结点的子结点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
- 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针；
- 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量；
- 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量；
- 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；
- 「根节点 Root Node」：二叉树最顶层的节点，其没有父节点；
- 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
- 节点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根节点所处层为 1 ；
- 节点「度 Degree」：节点的子节点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
- 「边 Edge」：连接两个节点的边，即节点指针；
- 二叉树「高度」：二叉树中根节点到最远叶节点走过边的数量；
- 节点「深度 Depth」 ：根节点到该节点走过边的数量；
- 节点「高度 Height」：最远叶节点到该节点走过边的数量；
![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)
@@ -154,16 +154,16 @@ comments: true
!!! tip "高度与深度的定义"
值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过节点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
## 7.1.2. &nbsp; 二叉树基本操作
**初始化二叉树**。与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。
**初始化二叉树**。与链表类似，先初始化节点，再构建引用指向（即指针）。
=== "Java"
```java title="binary_tree.java"
// 初始化结点
// 初始化节点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
@@ -180,7 +180,7 @@ comments: true
```cpp title="binary_tree.cpp"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
// 初始化节点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
@@ -197,7 +197,7 @@ comments: true
```python title="binary_tree.py"
""" 初始化二叉树 """
# 初始化结点
# 初始化节点
n1 = TreeNode(val=1)
n2 = TreeNode(val=2)
n3 = TreeNode(val=3)
@@ -214,7 +214,7 @@ comments: true
```go title="binary_tree.go"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
// 初始化节点
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
@@ -231,7 +231,7 @@ comments: true
```javascript title="binary_tree.js"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
// 初始化节点
let n1 = new TreeNode(1),
n2 = new TreeNode(2),
n3 = new TreeNode(3),
@@ -248,7 +248,7 @@ comments: true
```typescript title="binary_tree.ts"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
// 初始化节点
let n1 = new TreeNode(1),
n2 = new TreeNode(2),
n3 = new TreeNode(3),
@@ -271,7 +271,7 @@ comments: true
```csharp title="binary_tree.cs"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
// 初始化节点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
@@ -287,7 +287,7 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="binary_tree.swift"
// 初始化结点
// 初始化节点
let n1 = TreeNode(x: 1)
let n2 = TreeNode(x: 2)
let n3 = TreeNode(x: 3)
@@ -306,80 +306,80 @@ comments: true
```
**插入与删除结点**。与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。
**插入与删除节点**。与链表类似，插入与删除节点都可以通过修改指针实现。
![在二叉树中插入与删除结点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
![在二叉树中插入与删除节点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除结点 </p>
<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除节点 </p>
=== "Java"
```java title="binary_tree.java"
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
// 删除节点 P
n1.left = n2;
```
=== "C++"
```cpp title="binary_tree.cpp"
/* 插入与删除结点 */
/* 插入与删除节点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除结点 P
// 删除节点 P
n1->left = n2;
```
=== "Python"
```python title="binary_tree.py"
""" 插入与删除结点 """
""" 插入与删除节点 """
p = TreeNode(0)
# 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
# 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = p
p.left = n2
# 删除结点 P
# 删除节点 P
n1.left = n2
```
=== "Go"
```go title="binary_tree.go"
/* 插入与删除结点 */
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
/* 插入与删除节点 */
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// 删除结点 P
// 删除节点 P
n1.Left = n2
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_tree.js"
/* 插入与删除结点 */
/* 插入与删除节点 */
let P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
// 删除节点 P
n1.left = n2;
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_tree.ts"
/* 插入与删除结点 */
/* 插入与删除节点 */
const P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
// 删除节点 P
n1.left = n2;
```
@@ -392,12 +392,12 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="binary_tree.cs"
/* 插入与删除结点 */
/* 插入与删除节点 */
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
// 删除节点 P
n1.left = n2;
```
@@ -405,10 +405,10 @@ comments: true
```swift title="binary_tree.swift"
let P = TreeNode(x: 0)
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P
P.left = n2
// 删除结点 P
// 删除节点 P
n1.left = n2
```
@@ -420,13 +420,13 @@ comments: true
!!! note
插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
插入节点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除节点往往意味着删除了该节点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
## 7.1.3. &nbsp; 常见二叉树类型
### 完美二叉树
「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的结点都被完全填满。在完美二叉树中，叶结点的度为 $0$ ，其余所有结点的度都为 $2$ ；若树高度 $= h$ ，则结点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度 $= h$ ，则节点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
!!! tip
@@ -438,9 +438,9 @@ comments: true
### 完全二叉树
「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的结点未被填满，且最底层结点尽量靠左填充。
「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空节点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
![完全二叉树](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)
@@ -448,7 +448,7 @@ comments: true
### 完满二叉树
「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。
「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
![完满二叉树](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)
@@ -456,7 +456,7 @@ comments: true
### 平衡二叉树
「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
![平衡二叉树](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)
@@ -464,7 +464,7 @@ comments: true
## 7.1.4. &nbsp; 二叉树的退化
当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
当二叉树的每层的节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
- 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ；
@@ -473,32 +473,32 @@ comments: true
<p align="center"> Fig. 二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况 </p>
如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。
如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
<div class="center-table" markdown>
| | 完美二叉树 | 链表 |
| ----------------------------- | ---------- | ---------- |
| 第 $i$ 层的结点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
| 树的高度为 $h$ 时的叶结点数量 | $2^h$ | $1$ |
| 树的高度为 $h$ 时的结点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
| 树的结点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
| 第 $i$ 层的节点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
| 树的高度为 $h$ 时的叶节点数量 | $2^h$ | $1$ |
| 树的高度为 $h$ 时的节点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
| 树的节点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
</div>
## 7.1.5. &nbsp; 二叉树表示方式 *
我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为结点 `TreeNode` ，结点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将结点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父结点索引与子结点索引之间的「映射公式」：**设结点的索引为 $i$ ，则该结点的左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$** 。
那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的「映射公式」：**设节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ 、右子节点索引为 $2i + 2$** 。
**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意结点，我们都可以使用映射公式来访问子结点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问子节点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
![完美二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png)
<p align="center"> Fig. 完美二叉树的数组表示 </p>
然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空结点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空结点，并且我们无法单凭序列来猜测空结点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空节点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空节点，并且我们无法单凭序列来猜测空节点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
![给定数组对应多种二叉树可能性](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png)
@@ -519,7 +519,7 @@ comments: true
```cpp title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
// 该方法的使用前提是没有结点的值 = INT_MAX
// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };
```
@@ -587,10 +587,10 @@ comments: true
<p align="center"> Fig. 任意类型二叉树的数组表示 </p>
回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空结点，并且最底层的结点尽量靠左，因而所有空结点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空节点，并且最底层的节点尽量靠左，因而所有空节点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
![完全二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)
<p align="center"> Fig. 完全二叉树的数组表示 </p>
数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问结点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少结点的数据，空间利用率很低。
数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问节点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少节点的数据，空间利用率很低。

142
chapter_tree/binary_tree_traversal.md
View File

@@ -4,13 +4,13 @@ comments: true
# 7.2. &nbsp; 二叉树遍历
从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历结点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。
从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历节点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。
常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
## 7.2.1. &nbsp; 层序遍历
「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问节点。
层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。
@@ -27,17 +27,17 @@ comments: true
```java title="binary_tree_bfs.java"
/* 层序遍历 */
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
List<Integer> list = new ArrayList<>();
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
list.add(node.val); // 保存结点值
list.add(node.val); // 保存节点值
if (node.left != null)
queue.offer(node.left); // 左子结点入队
queue.offer(node.left); // 左子节点入队
if (node.right != null)
queue.offer(node.right); // 右子结点入队
queue.offer(node.right); // 右子节点入队
}
return list;
}
@@ -48,7 +48,7 @@ comments: true
```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
/* 层序遍历 */
vector<int> levelOrder(TreeNode* root) {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
queue<TreeNode*> queue;
queue.push(root);
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
@@ -56,11 +56,11 @@ comments: true
while (!queue.empty()) {
TreeNode* node = queue.front();
queue.pop(); // 队列出队
vec.push_back(node->val); // 保存结点值
vec.push_back(node->val); // 保存节点值
if (node->left != nullptr)
queue.push(node->left); // 左子结点入队
queue.push(node->left); // 左子节点入队
if (node->right != nullptr)
queue.push(node->right); // 右子结点入队
queue.push(node->right); // 右子节点入队
}
return vec;
}
@@ -71,18 +71,18 @@ comments: true
```python title="binary_tree_bfs.py"
def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
""" 层序遍历 """
# 初始化队列，加入根结点
# 初始化队列，加入根节点
queue: deque[TreeNode] = deque()
queue.append(root)
# 初始化一个列表，用于保存遍历序列
res: list[int] = []
while queue:
node: TreeNode = queue.popleft() # 队列出队
res.append(node.val) # 保存结点值
res.append(node.val) # 保存节点值
if node.left is not None:
queue.append(node.left) # 左子结点入队
queue.append(node.left) # 左子节点入队
if node.right is not None:
queue.append(node.right) # 右子结点入队
queue.append(node.right) # 右子节点入队
return res
```
@@ -91,7 +91,7 @@ comments: true
```go title="binary_tree_bfs.go"
/* 层序遍历 */
func levelOrder(root *TreeNode) []int {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
queue := list.New()
queue.PushBack(root)
// 初始化一个切片，用于保存遍历序列
@@ -99,14 +99,14 @@ comments: true
for queue.Len() > 0 {
// 队列出队
node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
// 保存结点值
// 保存节点值
nums = append(nums, node.Val)
if node.Left != nil {
// 左子结点入队
// 左子节点入队
queue.PushBack(node.Left)
}
if node.Right != nil {
// 右子结点入队
// 右子节点入队
queue.PushBack(node.Right)
}
}
@@ -119,17 +119,17 @@ comments: true
```javascript title="binary_tree_bfs.js"
/* 层序遍历 */
function levelOrder(root) {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
const queue = [root];
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
const list = [];
while (queue.length) {
let node = queue.shift(); // 队列出队
list.push(node.val); // 保存结点值
list.push(node.val); // 保存节点值
if (node.left)
queue.push(node.left); // 左子结点入队
queue.push(node.left); // 左子节点入队
if (node.right)
queue.push(node.right); // 右子结点入队
queue.push(node.right); // 右子节点入队
}
return list;
@@ -141,18 +141,18 @@ comments: true
```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
/* 层序遍历 */
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
const queue = [root];
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
const list: number[] = [];
while (queue.length) {
let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
list.push(node.val); // 保存结点值
list.push(node.val); // 保存节点值
if (node.left) {
queue.push(node.left); // 左子结点入队
queue.push(node.left); // 左子节点入队
}
if (node.right) {
queue.push(node.right); // 右子结点入队
queue.push(node.right); // 右子节点入队
}
}
return list;
@@ -171,7 +171,7 @@ comments: true
/* 层序遍历 */
List<int> levelOrder(TreeNode root)
{
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
Queue<TreeNode> queue = new();
queue.Enqueue(root);
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
@@ -179,11 +179,11 @@ comments: true
while (queue.Count != 0)
{
TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
list.Add(node.val); // 保存结点值
list.Add(node.val); // 保存节点值
if (node.left != null)
queue.Enqueue(node.left); // 左子结点入队
queue.Enqueue(node.left); // 左子节点入队
if (node.right != null)
queue.Enqueue(node.right); // 右子结点入队
queue.Enqueue(node.right); // 右子节点入队
}
return list;
}
@@ -194,18 +194,18 @@ comments: true
```swift title="binary_tree_bfs.swift"
/* 层序遍历 */
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
var queue: [TreeNode] = [root]
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
var list: [Int] = []
while !queue.isEmpty {
let node = queue.removeFirst() // 队列出队
list.append(node.val) // 保存结点值
list.append(node.val) // 保存节点值
if let left = node.left {
queue.append(left) // 左子结点入队
queue.append(left) // 左子节点入队
}
if let right = node.right {
queue.append(right) // 右子结点入队
queue.append(right) // 右子节点入队
}
}
return list
@@ -217,7 +217,7 @@ comments: true
```zig title="binary_tree_bfs.zig"
// 层序遍历
fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T));
var queue = L{};
var root_node = try mem_allocator.create(L.Node);
@@ -228,16 +228,16 @@ comments: true
while (queue.len > 0) {
var queue_node = queue.popFirst().?; // 队列出队
var node = queue_node.data;
try list.append(node.val); // 保存结点值
try list.append(node.val); // 保存节点值
if (node.left != null) {
var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
tmp_node.data = node.left.?;
queue.append(tmp_node); // 左子结点入队
queue.append(tmp_node); // 左子节点入队
}
if (node.right != null) {
var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
tmp_node.data = node.right.?;
queue.append(tmp_node); // 右子结点入队
queue.append(tmp_node); // 右子节点入队
}
}
return list;
@@ -246,15 +246,15 @@ comments: true
### 复杂度分析
**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
**空间复杂度**：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个结点，使用 $O(n)$ 空间。
**空间复杂度**：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个节点，使用 $O(n)$ 空间。
## 7.2.2. &nbsp; 前序、中序、后序遍历
相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。
如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
![二叉搜索树的前、中、后序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png)
@@ -262,9 +262,9 @@ comments: true
<div class="center-table" markdown>
| 位置 | 含义 | 此处访问结点时对应 |
| 位置 | 含义 | 此处访问节点时对应 |
| ---------- | ------------------------------------ | ----------------------------- |
| 橙色圆圈处 | 刚进入此结点，即将访问该结点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal |
| 橙色圆圈处 | 刚进入此节点，即将访问该节点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal |
| 蓝色圆圈处 | 已访问完左子树，即将访问右子树 | 中序遍历 In-Order Traversal |
| 紫色圆圈处 | 已访问完左子树和右子树，即将返回 | 后序遍历 Post-Order Traversal |
@@ -278,7 +278,7 @@ comments: true
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.add(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
@@ -287,7 +287,7 @@ comments: true
/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.add(root.val);
inOrder(root.right);
@@ -296,7 +296,7 @@ comments: true
/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.add(root.val);
@@ -309,7 +309,7 @@ comments: true
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
vec.push_back(root->val);
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
@@ -318,7 +318,7 @@ comments: true
/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root->left);
vec.push_back(root->val);
inOrder(root->right);
@@ -327,7 +327,7 @@ comments: true
/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
vec.push_back(root->val);
@@ -341,7 +341,7 @@ comments: true
""" 前序遍历 """
if root is None:
return
# 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
# 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
res.append(root.val)
pre_order(root=root.left)
pre_order(root=root.right)
@@ -350,7 +350,7 @@ comments: true
""" 中序遍历 """
if root is None:
return
# 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
# 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
in_order(root=root.left)
res.append(root.val)
in_order(root=root.right)
@@ -359,7 +359,7 @@ comments: true
""" 后序遍历 """
if root is None:
return
# 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
# 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
post_order(root=root.left)
post_order(root=root.right)
res.append(root.val)
@@ -373,7 +373,7 @@ comments: true
if node == nil {
return
}
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
nums = append(nums, node.Val)
preOrder(node.Left)
preOrder(node.Right)
@@ -384,7 +384,7 @@ comments: true
if node == nil {
return
}
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(node.Left)
nums = append(nums, node.Val)
inOrder(node.Right)
@@ -395,7 +395,7 @@ comments: true
if node == nil {
return
}
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(node.Left)
postOrder(node.Right)
nums = append(nums, node.Val)
@@ -408,7 +408,7 @@ comments: true
/* 前序遍历 */
function preOrder(root) {
if (root === null) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.push(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
@@ -417,7 +417,7 @@ comments: true
/* 中序遍历 */
function inOrder(root) {
if (root === null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.push(root.val);
inOrder(root.right);
@@ -426,7 +426,7 @@ comments: true
/* 后序遍历 */
function postOrder(root) {
if (root === null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.push(root.val);
@@ -441,7 +441,7 @@ comments: true
if (root === null) {
return;
}
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.push(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
@@ -452,7 +452,7 @@ comments: true
if (root === null) {
return;
}
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.push(root.val);
inOrder(root.right);
@@ -463,7 +463,7 @@ comments: true
if (root === null) {
return;
}
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.push(root.val);
@@ -487,7 +487,7 @@ comments: true
void preOrder(TreeNode? root)
{
if (root == null) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.Add(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
@@ -497,7 +497,7 @@ comments: true
void inOrder(TreeNode? root)
{
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.Add(root.val);
inOrder(root.right);
@@ -507,7 +507,7 @@ comments: true
void postOrder(TreeNode? root)
{
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.Add(root.val);
@@ -522,7 +522,7 @@ comments: true
guard let root = root else {
return
}
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.append(root.val)
preOrder(root: root.left)
preOrder(root: root.right)
@@ -533,7 +533,7 @@ comments: true
guard let root = root else {
return
}
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root: root.left)
list.append(root.val)
inOrder(root: root.right)
@@ -544,7 +544,7 @@ comments: true
guard let root = root else {
return
}
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root: root.left)
postOrder(root: root.right)
list.append(root.val)
@@ -557,7 +557,7 @@ comments: true
// 前序遍历
fn preOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
if (root == null) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
try list.append(root.?.val);
try preOrder(T, root.?.left);
try preOrder(T, root.?.right);
@@ -566,7 +566,7 @@ comments: true
// 中序遍历
fn inOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
try inOrder(T, root.?.left);
try list.append(root.?.val);
try inOrder(T, root.?.right);
@@ -575,7 +575,7 @@ comments: true
// 后序遍历
fn postOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
try postOrder(T, root.?.left);
try postOrder(T, root.?.right);
try list.append(root.?.val);
@@ -588,6 +588,6 @@ comments: true
### 复杂度分析
**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
**空间复杂度**：当树退化为链表时达到最差情况，递归深度达到 $n$ ，系统使用 $O(n)$ 栈帧空间。

14
chapter_tree/summary.md
View File

@@ -6,12 +6,12 @@ comments: true
### 二叉树
- 二叉树是一种非线性数据结构，代表着“一分为二”的分治逻辑。二叉树的结点包含「值」和两个「指针」，分别指向左子结点和右子结点。
- 选定二叉树中某结点，将其左（右）子结点以下形成的树称为左（右）子树。
- 二叉树的术语较多，包括根结点、叶结点、层、度、边、高度、深度等。
- 二叉树的初始化、结点插入、结点删除操作与链表的操作方法类似。
- 二叉树是一种非线性数据结构，代表着“一分为二”的分治逻辑。二叉树的节点包含「值」和两个「指针」，分别指向左子节点和右子节点。
- 选定二叉树中某节点，将其左（右）子节点以下形成的树称为左（右）子树。
- 二叉树的术语较多，包括根节点、叶节点、层、度、边、高度、深度等。
- 二叉树的初始化、节点插入、节点删除操作与链表的操作方法类似。
- 常见的二叉树类型包括完美二叉树、完全二叉树、完满二叉树、平衡二叉树。完美二叉树是理想状态，链表则是退化后的最差状态。
- 二叉树可以使用数组表示，具体做法是将结点值和空位按照层序遍历的顺序排列，并基于父结点和子结点之间的索引映射公式实现指针。
- 二叉树可以使用数组表示，具体做法是将节点值和空位按照层序遍历的顺序排列，并基于父节点和子节点之间的索引映射公式实现指针。
### 二叉树遍历
@@ -21,5 +21,5 @@ comments: true
### 二叉搜索树
- 二叉搜索树是一种高效的元素查找数据结构，查找、插入、删除操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。二叉搜索树退化为链表后，各项时间复杂度劣化至 $O(n)$ ，因此如何避免退化是非常重要的课题。
- AVL 树又称平衡二叉搜索树，其通过旋转操作，使得在不断插入与删除结点后，仍然可以保持二叉树的平衡（不退化）。
- AVL 树的旋转操作分为右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。在插入或删除结点后，AVL 树会从底至顶地执行旋转操作，使树恢复平衡。
- AVL 树又称平衡二叉搜索树，其通过旋转操作，使得在不断插入与删除节点后，仍然可以保持二叉树的平衡（不退化）。
- AVL 树的旋转操作分为右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。在插入或删除节点后，AVL 树会从底至顶地执行旋转操作，使树恢复平衡。