CS_learn/hello-algo
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2023-04-09 04:34:58 +08:00
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36
chapter_heap/build_heap.md
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@@ -16,7 +16,7 @@ comments: true
### 基于堆化操作实现
有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个结点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶结点执行堆化操作**，因为它们没有子结点。
有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶节点执行堆化操作**，因为它们没有子节点。
=== "Java"
@@ -25,7 +25,7 @@ comments: true
MaxHeap(List<Integer> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
@@ -39,7 +39,7 @@ comments: true
MaxHeap(vector<int> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = nums;
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
@@ -53,7 +53,7 @@ comments: true
""" 构造方法 """
# 将列表元素原封不动添加进堆
self.max_heap = nums
# 堆化除叶结点以外的其他所有结点
# 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
self.sift_down(i)
```
@@ -66,7 +66,7 @@ comments: true
// 将列表元素原封不动添加进堆
h := &maxHeap{data: nums}
for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
h.siftDown(i)
}
return h
@@ -80,7 +80,7 @@ comments: true
constructor(nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.#siftDown(i);
}
@@ -94,7 +94,7 @@ comments: true
constructor(nums?: number[]) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.siftDown(i);
}
@@ -115,7 +115,7 @@ comments: true
{
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = new List<int>(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
var size = parent(this.size() - 1);
for (int i = size; i >= 0; i--)
{
@@ -131,7 +131,7 @@ comments: true
init(nums: [Int]) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = nums
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
siftDown(i: i)
}
@@ -147,7 +147,7 @@ comments: true
self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
// 将列表元素原封不动添加进堆
try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
while (i > 0) : (i -= 1) {
try self.siftDown(i - 1);
@@ -159,18 +159,18 @@ comments: true
为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。
- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶结点后，需要堆化的结点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ ；
- 在从顶至底堆化的过程中，每个结点最多堆化到叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
- 完全二叉树中，设节点总数为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ ；
- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层结点数量远多于顶层结点的特性**。
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性**。
接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而该距离正是“结点高度”**。
接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）节点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**节点堆化最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”**。
![完美二叉树的各层结点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
![完美二叉树的各层节点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
<p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层结点数量 </p>
<p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层节点数量 </p>
因此，我们可以将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，**从而得到所有结点的堆化迭代次数的总和**。
因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
$$
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
@@ -201,4 +201,4 @@ T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
\end{aligned}
$$
进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的节点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。

282
chapter_heap/heap.md
View File

@@ -6,8 +6,8 @@ comments: true
「堆 Heap」是一棵限定条件下的「完全二叉树」。根据成立条件，堆主要分为两种类型：
- 「大顶堆 Max Heap」，任意结点的值 $\geq$ 其子结点的值；
- 「小顶堆 Min Heap」，任意结点的值 $\leq$ 其子结点的值；
- 「大顶堆 Max Heap」，任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值；
- 「小顶堆 Min Heap」，任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值；
![小顶堆与大顶堆](heap.assets/min_heap_and_max_heap.png)
@@ -15,9 +15,9 @@ comments: true
## 8.1.1. &nbsp; 堆术语与性质
- 由于堆是完全二叉树，因此最底层结点靠左填充，其它层结点皆被填满。
- 二叉树中的根结点对应「堆顶」，底层最靠右结点对应「堆底」。
- 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根结点）的值最大 / 最小。
- 由于堆是完全二叉树，因此最底层节点靠左填充，其它层节点皆被填满。
- 二叉树中的根节点对应「堆顶」，底层最靠右节点对应「堆底」。
- 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根节点）的值最大 / 最小。
## 8.1.2. &nbsp; 堆常用操作
@@ -314,9 +314,9 @@ comments: true
在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一棵完全二叉树，**因而我们采用「数组」来存储「堆」**。
**二叉树指针**。使用数组表示二叉树时，元素代表结点值，索引代表结点在二叉树中的位置，**而结点指针通过索引映射公式来实现**。
**二叉树指针**。使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置，**而节点指针通过索引映射公式来实现**。
具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$ 、父结点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。
具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子节点索引为 $2i + 1$ 、右子节点索引为 $2i + 2$ 、父节点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空节点或节点不存在。
![堆的表示与存储](heap.assets/representation_of_heap.png)
@@ -327,17 +327,17 @@ comments: true
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
@@ -346,17 +346,17 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="my_heap.cpp"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2; // 向下取整
}
@@ -366,32 +366,32 @@ comments: true
```python title="my_heap.py"
def left(self, i: int) -> int:
""" 获取左子结点索引 """
""" 获取左子节点索引 """
return 2 * i + 1
def right(self, i: int) -> int:
""" 获取右子结点索引 """
""" 获取右子节点索引 """
return 2 * i + 2
def parent(self, i: int) -> int:
""" 获取父结点索引 """
""" 获取父节点索引 """
return (i - 1) // 2 # 向下整除
```
=== "Go"
```go title="my_heap.go"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {
return 2*i + 1
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {
return 2*i + 2
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {
// 向下整除
return (i - 1) / 2
@@ -401,17 +401,17 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="my_heap.js"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
#left(i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
#right(i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
#parent(i) {
return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}
@@ -420,17 +420,17 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title="my_heap.ts"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
left(i: number): number {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
right(i: number): number {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
parent(i: number): number {
return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}
@@ -449,19 +449,19 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="my_heap.cs"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
int left(int i)
{
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
int right(int i)
{
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
int parent(int i)
{
return (i - 1) / 2; // 向下整除
@@ -471,17 +471,17 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="my_heap.swift"
/* 获取左子结点索引 */
/* 获取左子节点索引 */
func left(i: Int) -> Int {
2 * i + 1
}
/* 获取右子结点索引 */
/* 获取右子节点索引 */
func right(i: Int) -> Int {
2 * i + 2
}
/* 获取父结点索引 */
/* 获取父节点索引 */
func parent(i: Int) -> Int {
(i - 1) / 2 // 向下整除
}
@@ -490,17 +490,17 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="my_heap.zig"
// 获取左子结点索引
// 获取左子节点索引
fn left(i: usize) usize {
return 2 * i + 1;
}
// 获取右子结点索引
// 获取右子节点索引
fn right(i: usize) usize {
return 2 * i + 2;
}
// 获取父结点索引
// 获取父节点索引
fn parent(i: usize) usize {
// return (i - 1) / 2; // 向下整除
return @divFloor(i - 1, 2);
@@ -509,7 +509,7 @@ comments: true
### 访问堆顶元素
堆顶元素是二叉树的根结点，即列表首元素。
堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。
=== "Java"
@@ -600,9 +600,9 @@ comments: true
### 元素入堆
给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。
给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入节点到根节点这条路径上的各个节点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。
考虑从入堆结点开始，**从底至顶执行堆化**。具体地，比较插入结点与其父结点的值，若插入结点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个结点；直至越过根结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。具体地，比较插入节点与其父节点的值，若插入节点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个节点；直至越过根节点时结束，或当遇到无需交换的节点时提前结束。
=== "<1>"
![元素入堆步骤](heap.assets/heap_push_step1.png)
@@ -622,28 +622,28 @@ comments: true
=== "<6>"
![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png)
设结点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
// 添加结点
// 添加节点
maxHeap.add(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
int p = parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -656,21 +656,21 @@ comments: true
```cpp title="my_heap.cpp"
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
// 添加结点
// 添加节点
maxHeap.push_back(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
int p = parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -683,20 +683,20 @@ comments: true
```python title="my_heap.py"
def push(self, val: int):
""" 元素入堆 """
# 添加结点
# 添加节点
self.max_heap.append(val)
# 从底至顶堆化
self.sift_up(self.size() - 1)
def sift_up(self, i: int):
""" 从结点 i 开始，从底至顶堆化 """
""" 从节点 i 开始，从底至顶堆化 """
while True:
# 获取结点 i 的父结点
# 获取节点 i 的父节点
p = self.parent(i)
# 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
# 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if p < 0 or self.max_heap[i] <= self.max_heap[p]:
break
# 交换两结点
# 交换两节点
self.swap(i, p)
# 循环向上堆化
i = p
@@ -707,22 +707,22 @@ comments: true
```go title="my_heap.go"
/* 元素入堆 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
// 添加结点
// 添加节点
h.data = append(h.data, val)
// 从底至顶堆化
h.siftUp(len(h.data) - 1)
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
for true {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
p := h.parent(i)
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
break
}
// 交换两结点
// 交换两节点
h.swap(i, p)
// 循环向上堆化
i = p
@@ -735,20 +735,20 @@ comments: true
```javascript title="my_heap.js"
/* 元素入堆 */
push(val) {
// 添加结点
// 添加节点
this.#maxHeap.push(val);
// 从底至顶堆化
this.#siftUp(this.size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
#siftUp(i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
const p = this.#parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 || this.#maxHeap[i] <= this.#maxHeap[p]) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
this.#swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -761,20 +761,20 @@ comments: true
```typescript title="my_heap.ts"
/* 元素入堆 */
push(val: number): void {
// 添加结点
// 添加节点
this.maxHeap.push(val);
// 从底至顶堆化
this.siftUp(this.size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
siftUp(i: number): void {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
const p = this.parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 || this.maxHeap[i] <= this.maxHeap[p]) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
this.swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -796,23 +796,23 @@ comments: true
/* 元素入堆 */
void push(int val)
{
// 添加结点
// 添加节点
maxHeap.Add(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i)
{
while (true)
{
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
int p = parent(i);
// 若“越过根结点”或“结点无需修复”，则结束堆化
// 若“越过根节点”或“节点无需修复”，则结束堆化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -825,23 +825,23 @@ comments: true
```swift title="my_heap.swift"
/* 元素入堆 */
func push(val: Int) {
// 添加结点
// 添加节点
maxHeap.append(val)
// 从底至顶堆化
siftUp(i: size() - 1)
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
func siftUp(i: Int) {
var i = i
while true {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
let p = parent(i: i)
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {
break
}
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i: i, j: p)
// 循环向上堆化
i = p
@@ -854,21 +854,21 @@ comments: true
```zig title="my_heap.zig"
// 元素入堆
fn push(self: *Self, val: T) !void {
// 添加结点
// 添加节点
try self.max_heap.?.append(val);
// 从底至顶堆化
try self.siftUp(self.size() - 1);
}
// 从结点 i 开始，从底至顶堆化
// 从节点 i 开始，从底至顶堆化
fn siftUp(self: *Self, i_: usize) !void {
var i = i_;
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
// 获取节点 i 的父节点
var p = parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
// 当“越过根节点”或“节点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 or self.max_heap.?.items[i] <= self.max_heap.?.items[p]) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
try self.swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
@@ -878,13 +878,13 @@ comments: true
### 堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树根结点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有结点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：
堆顶元素是二叉树根节点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有节点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：
1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根结点与最右叶结点）；
1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）；
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，因为已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；
3. 从根结点开始，**从顶至底执行堆化**；
3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**；
顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们比较根结点的值与其两个子结点的值，将最大的子结点与根结点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们比较根节点的值与其两个子节点的值，将最大的子节点与根节点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶节点时结束，或当遇到无需交换的节点时提前结束。
=== "<1>"
![堆顶元素出堆步骤](heap.assets/heap_pop_step1.png)
@@ -926,9 +926,9 @@ comments: true
// 判空处理
if (isEmpty())
throw new EmptyStackException();
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(0, size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
int val = maxHeap.remove(size() - 1);
// 从顶至底堆化
siftDown(0);
@@ -936,18 +936,18 @@ comments: true
return val;
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
ma = l;
if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
@@ -964,25 +964,25 @@ comments: true
if (empty()) {
throw out_of_range("堆为空");
}
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
// 删除结点
// 删除节点
maxHeap.pop_back();
// 从顶至底堆化
siftDown(0);
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
ma = l;
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i)
break;
swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
@@ -999,9 +999,9 @@ comments: true
""" 元素出堆 """
# 判空处理
assert not self.is_empty()
# 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
# 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
self.swap(0, self.size() - 1)
# 删除结点
# 删除节点
val = self.max_heap.pop()
# 从顶至底堆化
self.sift_down(0)
@@ -1009,18 +1009,18 @@ comments: true
return val
def sift_down(self, i: int):
""" 从结点 i 开始，从顶至底堆化 """
""" 从节点 i 开始，从顶至底堆化 """
while True:
# 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
# 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
l, r, ma = self.left(i), self.right(i), i
if l < self.size() and self.max_heap[l] > self.max_heap[ma]:
ma = l
if r < self.size() and self.max_heap[r] > self.max_heap[ma]:
ma = r
# 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
# 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if ma == i:
break
# 交换两结点
# 交换两节点
self.swap(i, ma)
# 循环向下堆化
i = ma
@@ -1036,9 +1036,9 @@ comments: true
fmt.Println("error")
return nil
}
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
h.swap(0, h.size()-1)
// 删除结点
// 删除节点
val := h.data[len(h.data)-1]
h.data = h.data[:len(h.data)-1]
// 从顶至底堆化
@@ -1048,10 +1048,10 @@ comments: true
return val
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
for true {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 max
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 max
l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
max = l
@@ -1059,11 +1059,11 @@ comments: true
if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
max = r
}
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if max == i {
break
}
// 交换两结点
// 交换两节点
h.swap(i, max)
// 循环向下堆化
i = max
@@ -1078,9 +1078,9 @@ comments: true
pop() {
// 判空处理
if (this.isEmpty()) throw new Error("堆为空");
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
this.#swap(0, this.size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
const val = this.#maxHeap.pop();
// 从顶至底堆化
this.#siftDown(0);
@@ -1088,18 +1088,18 @@ comments: true
return val;
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
#siftDown(i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
const l = this.#left(i),
r = this.#right(i);
let ma = i;
if (l < this.size() && this.#maxHeap[l] > this.#maxHeap[ma]) ma = l;
if (r < this.size() && this.#maxHeap[r] > this.#maxHeap[ma]) ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
this.#swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
@@ -1114,9 +1114,9 @@ comments: true
pop(): number {
// 判空处理
if (this.isEmpty()) throw new RangeError('Heap is empty.');
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
this.swap(0, this.size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
const val = this.maxHeap.pop();
// 从顶至底堆化
this.siftDown(0);
@@ -1124,18 +1124,18 @@ comments: true
return val;
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
siftDown(i: number): void {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
const l = this.left(i),
r = this.right(i);
let ma = i;
if (l < this.size() && this.maxHeap[l] > this.maxHeap[ma]) ma = l;
if (r < this.size() && this.maxHeap[r] > this.maxHeap[ma]) ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
this.swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
@@ -1160,9 +1160,9 @@ comments: true
// 判空处理
if (isEmpty())
throw new IndexOutOfRangeException();
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(0, size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
int val = maxHeap.Last();
maxHeap.RemoveAt(size() - 1);
// 从顶至底堆化
@@ -1171,20 +1171,20 @@ comments: true
return val;
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i)
{
while (true)
{
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
ma = l;
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
ma = r;
// 若“结点 i 最大”或“越过叶结点”，则结束堆化
// 若“节点 i 最大”或“越过叶节点”，则结束堆化
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
@@ -1201,9 +1201,9 @@ comments: true
if isEmpty() {
fatalError("堆为空")
}
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(i: 0, j: size() - 1)
// 删除结点
// 删除节点
let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
// 从顶至底堆化
siftDown(i: 0)
@@ -1211,11 +1211,11 @@ comments: true
return val
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func siftDown(i: Int) {
var i = i
while true {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
let l = left(i: i)
let r = right(i: i)
var ma = i
@@ -1225,11 +1225,11 @@ comments: true
if r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {
ma = r
}
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if ma == i {
break
}
// 交换两结点
// 交换两节点
swap(i: i, j: ma)
// 循环向下堆化
i = ma
@@ -1244,9 +1244,9 @@ comments: true
fn pop(self: *Self) !T {
// 判断处理
if (self.isEmpty()) unreachable;
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
try self.swap(0, self.size() - 1);
// 删除结点
// 删除节点
var val = self.max_heap.?.pop();
// 从顶至底堆化
try self.siftDown(0);
@@ -1254,19 +1254,19 @@ comments: true
return val;
}
// 从结点 i 开始，从顶至底堆化
// 从节点 i 开始，从顶至底堆化
fn siftDown(self: *Self, i_: usize) !void {
var i = i_;
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
var l = left(i);
var r = right(i);
var ma = i;
if (l < self.size() and self.max_heap.?.items[l] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = l;
if (r < self.size() and self.max_heap.?.items[r] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i) break;
// 交换两结点
// 交换两节点
try self.swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;