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https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-04-05 11:41:22 +08:00
build
This commit is contained in:
krahets
@@ -4,16 +4,16 @@ comments: true
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# 7.1. 二叉树
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「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。
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||||
「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以节点为单位存储的，节点包含「值」和两个「指针」。
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=== "Java"
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```java title=""
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/* 二叉树结点类 */
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/* 二叉树节点类 */
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class TreeNode {
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int val; // 结点值
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||||
TreeNode left; // 左子结点指针
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||||
TreeNode right; // 右子结点指针
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int val; // 节点值
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TreeNode left; // 左子节点指针
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TreeNode right; // 右子节点指针
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||||
TreeNode(int x) { val = x; }
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}
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```
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@@ -21,11 +21,11 @@ comments: true
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=== "C++"
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```cpp title=""
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||||
/* 二叉树结点结构体 */
|
||||
/* 二叉树节点结构体 */
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struct TreeNode {
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int val; // 结点值
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||||
TreeNode *left; // 左子结点指针
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TreeNode *right; // 右子结点指针
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||||
int val; // 节点值
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||||
TreeNode *left; // 左子节点指针
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TreeNode *right; // 右子节点指针
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||||
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
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};
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```
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@@ -33,24 +33,24 @@ comments: true
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||||
=== "Python"
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||||
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||||
```python title=""
|
||||
""" 二叉树结点类 """
|
||||
""" 二叉树节点类 """
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||||
class TreeNode:
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||||
def __init__(self, val: int):
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||||
self.val: int = val # 结点值
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self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子结点指针
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||||
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子结点指针
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||||
self.val: int = val # 节点值
|
||||
self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子节点指针
|
||||
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点指针
|
||||
```
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||||
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||||
=== "Go"
|
||||
|
||||
```go title=""
|
||||
/* 二叉树结点结构体 */
|
||||
/* 二叉树节点结构体 */
|
||||
type TreeNode struct {
|
||||
Val int
|
||||
Left *TreeNode
|
||||
Right *TreeNode
|
||||
}
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||||
/* 结点初始化方法 */
|
||||
/* 节点初始化方法 */
|
||||
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
|
||||
return &TreeNode{
|
||||
Left: nil,
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||||
@@ -63,27 +63,27 @@ comments: true
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||||
=== "JavaScript"
|
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||||
```javascript title=""
|
||||
/* 二叉树结点类 */
|
||||
/* 二叉树节点类 */
|
||||
function TreeNode(val, left, right) {
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||||
this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
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||||
this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针
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||||
this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针
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||||
this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 节点值
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||||
this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子节点指针
|
||||
this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子节点指针
|
||||
}
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||||
```
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||||
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||||
=== "TypeScript"
|
||||
|
||||
```typescript title=""
|
||||
/* 二叉树结点类 */
|
||||
/* 二叉树节点类 */
|
||||
class TreeNode {
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||||
val: number;
|
||||
left: TreeNode | null;
|
||||
right: TreeNode | null;
|
||||
|
||||
constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
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||||
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
|
||||
this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
|
||||
this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
|
||||
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
|
||||
this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点指针
|
||||
this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点指针
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
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||||
@@ -97,11 +97,11 @@ comments: true
|
||||
=== "C#"
|
||||
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||||
```csharp title=""
|
||||
/* 二叉树结点类 */
|
||||
/* 二叉树节点类 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
int val; // 结点值
|
||||
TreeNode? left; // 左子结点指针
|
||||
TreeNode? right; // 右子结点指针
|
||||
int val; // 节点值
|
||||
TreeNode? left; // 左子节点指针
|
||||
TreeNode? right; // 右子节点指针
|
||||
TreeNode(int x) { val = x; }
|
||||
}
|
||||
```
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||||
@@ -109,11 +109,11 @@ comments: true
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title=""
|
||||
/* 二叉树结点类 */
|
||||
/* 二叉树节点类 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
var val: Int // 结点值
|
||||
var left: TreeNode? // 左子结点指针
|
||||
var right: TreeNode? // 右子结点指针
|
||||
var val: Int // 节点值
|
||||
var left: TreeNode? // 左子节点指针
|
||||
var right: TreeNode? // 右子节点指针
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||||
init(x: Int) {
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val = x
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@@ -127,26 +127,26 @@ comments: true
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||||
```
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||||
结点的两个指针分别指向「左子结点」和「右子结点」，并且称该结点为两个子结点的「父结点」。给定二叉树某结点，将“左子结点及其以下结点形成的树”称为该结点的「左子树」，右子树同理。
|
||||
节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，并且称该节点为两个子节点的「父节点」。给定二叉树某节点，将“左子节点及其以下节点形成的树”称为该节点的「左子树」，右子树同理。
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||||
|
||||
除了叶结点外，每个结点都有子结点和子树。例如，若将下图的“结点 2”看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为“结点 4”和“结点 5”，左子树和右子树分别为“结点 4 及其以下结点形成的树”和“结点 5 及其以下结点形成的树”。
|
||||
除了叶节点外，每个节点都有子节点和子树。例如，若将下图的“节点 2”看作父节点，那么其左子节点和右子节点分别为“节点 4”和“节点 5”，左子树和右子树分别为“节点 4 及其以下节点形成的树”和“节点 5 及其以下节点形成的树”。
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<p align="center"> Fig. 父结点、子结点、子树 </p>
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<p align="center"> Fig. 父节点、子节点、子树 </p>
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## 7.1.1. 二叉树常见术语
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二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。
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- 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
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- 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
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||||
- 结点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根结点所处层为 1 ；
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||||
- 结点「度 Degree」：结点的子结点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
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||||
- 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针；
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||||
- 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量；
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||||
- 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量；
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||||
- 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；
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||||
- 「根节点 Root Node」：二叉树最顶层的节点，其没有父节点；
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||||
- 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
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||||
- 节点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根节点所处层为 1 ；
|
||||
- 节点「度 Degree」：节点的子节点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
|
||||
- 「边 Edge」：连接两个节点的边，即节点指针；
|
||||
- 二叉树「高度」：二叉树中根节点到最远叶节点走过边的数量；
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||||
- 节点「深度 Depth」 ：根节点到该节点走过边的数量；
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||||
- 节点「高度 Height」：最远叶节点到该节点走过边的数量；
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@@ -154,16 +154,16 @@ comments: true
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!!! tip "高度与深度的定义"
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||||
值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
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||||
值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过节点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
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## 7.1.2. 二叉树基本操作
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**初始化二叉树**。与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。
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**初始化二叉树**。与链表类似，先初始化节点，再构建引用指向（即指针）。
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=== "Java"
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||||
```java title="binary_tree.java"
|
||||
// 初始化结点
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||||
// 初始化节点
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TreeNode n1 = new TreeNode(1);
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||||
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
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||||
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
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||||
@@ -180,7 +180,7 @@ comments: true
|
||||
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||||
```cpp title="binary_tree.cpp"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
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||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
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||||
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
|
||||
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
|
||||
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
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||||
@@ -197,7 +197,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```python title="binary_tree.py"
|
||||
""" 初始化二叉树 """
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||||
# 初始化结点
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||||
# 初始化节点
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||||
n1 = TreeNode(val=1)
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n2 = TreeNode(val=2)
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||||
n3 = TreeNode(val=3)
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@@ -214,7 +214,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```go title="binary_tree.go"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
|
||||
// 初始化结点
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||||
// 初始化节点
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||||
n1 := NewTreeNode(1)
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||||
n2 := NewTreeNode(2)
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||||
n3 := NewTreeNode(3)
|
||||
@@ -231,7 +231,7 @@ comments: true
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||||
|
||||
```javascript title="binary_tree.js"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
|
||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
|
||||
let n1 = new TreeNode(1),
|
||||
n2 = new TreeNode(2),
|
||||
n3 = new TreeNode(3),
|
||||
@@ -248,7 +248,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```typescript title="binary_tree.ts"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
|
||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
|
||||
let n1 = new TreeNode(1),
|
||||
n2 = new TreeNode(2),
|
||||
n3 = new TreeNode(3),
|
||||
@@ -271,7 +271,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```csharp title="binary_tree.cs"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
|
||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
|
||||
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
|
||||
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
|
||||
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
|
||||
@@ -287,7 +287,7 @@ comments: true
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title="binary_tree.swift"
|
||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
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||||
let n1 = TreeNode(x: 1)
|
||||
let n2 = TreeNode(x: 2)
|
||||
let n3 = TreeNode(x: 3)
|
||||
@@ -306,80 +306,80 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```
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||||
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||||
**插入与删除结点**。与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。
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||||
**插入与删除节点**。与链表类似，插入与删除节点都可以通过修改指针实现。
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<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除结点 </p>
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||||
<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除节点 </p>
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=== "Java"
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||||
```java title="binary_tree.java"
|
||||
TreeNode P = new TreeNode(0);
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||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
|
||||
n1.left = P;
|
||||
P.left = n2;
|
||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
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||||
n1.left = n2;
|
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```
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||||
=== "C++"
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||||
```cpp title="binary_tree.cpp"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
TreeNode* P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
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n1->left = P;
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P->left = n2;
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||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
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||||
n1->left = n2;
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||||
```
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||||
=== "Python"
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||||
```python title="binary_tree.py"
|
||||
""" 插入与删除结点 """
|
||||
""" 插入与删除节点 """
|
||||
p = TreeNode(0)
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||||
# 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
# 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
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||||
n1.left = p
|
||||
p.left = n2
|
||||
# 删除结点 P
|
||||
# 删除节点 P
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||||
n1.left = n2
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```
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=== "Go"
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||||
```go title="binary_tree.go"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
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||||
p := NewTreeNode(0)
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n1.Left = p
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||||
p.Left = n2
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||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
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||||
n1.Left = n2
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||||
```
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||||
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||||
=== "JavaScript"
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||||
|
||||
```javascript title="binary_tree.js"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
let P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
|
||||
n1.left = P;
|
||||
P.left = n2;
|
||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
```
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||||
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||||
=== "TypeScript"
|
||||
|
||||
```typescript title="binary_tree.ts"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
const P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
|
||||
n1.left = P;
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||||
P.left = n2;
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||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
```
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||||
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||||
@@ -392,12 +392,12 @@ comments: true
|
||||
=== "C#"
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||||
|
||||
```csharp title="binary_tree.cs"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
TreeNode P = new TreeNode(0);
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||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
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||||
n1.left = P;
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P.left = n2;
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||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
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||||
n1.left = n2;
|
||||
```
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||||
@@ -405,10 +405,10 @@ comments: true
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||||
```swift title="binary_tree.swift"
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||||
let P = TreeNode(x: 0)
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
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||||
n1.left = P
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||||
P.left = n2
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||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
|
||||
n1.left = n2
|
||||
```
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@@ -420,13 +420,13 @@ comments: true
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!!! note
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插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
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||||
插入节点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除节点往往意味着删除了该节点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
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## 7.1.3. 常见二叉树类型
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### 完美二叉树
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「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的结点都被完全填满。在完美二叉树中，叶结点的度为 $0$ ，其余所有结点的度都为 $2$ ；若树高度 $= h$ ，则结点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
|
||||
「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度 $= h$ ，则节点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
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!!! tip
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@@ -438,9 +438,9 @@ comments: true
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### 完全二叉树
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「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的结点未被填满，且最底层结点尽量靠左填充。
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||||
「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
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**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
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**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空节点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
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@@ -448,7 +448,7 @@ comments: true
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### 完满二叉树
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「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。
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「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
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@@ -456,7 +456,7 @@ comments: true
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### 平衡二叉树
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「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
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「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
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@@ -464,7 +464,7 @@ comments: true
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## 7.1.4. 二叉树的退化
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||||
当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
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||||
当二叉树的每层的节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
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||||
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||||
- 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
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||||
- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ；
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@@ -473,32 +473,32 @@ comments: true
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<p align="center"> Fig. 二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况 </p>
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如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。
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如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
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<div class="center-table" markdown>
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| | 完美二叉树 | 链表 |
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| 第 $i$ 层的结点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的叶结点数量 | $2^h$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的结点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
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| 树的结点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
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| 第 $i$ 层的节点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的叶节点数量 | $2^h$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的节点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
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| 树的节点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
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</div>
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## 7.1.5. 二叉树表示方式 *
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我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为结点 `TreeNode` ，结点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
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我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
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那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将结点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父结点索引与子结点索引之间的「映射公式」：**设结点的索引为 $i$ ，则该结点的左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$** 。
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那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的「映射公式」：**设节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ 、右子节点索引为 $2i + 2$** 。
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**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意结点，我们都可以使用映射公式来访问子结点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
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**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问子节点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
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<p align="center"> Fig. 完美二叉树的数组表示 </p>
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然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空结点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空结点，并且我们无法单凭序列来猜测空结点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
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然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空节点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空节点，并且我们无法单凭序列来猜测空节点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
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```cpp title=""
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/* 二叉树的数组表示 */
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// 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
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// 该方法的使用前提是没有结点的值 = INT_MAX
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// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
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vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };
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```
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<p align="center"> Fig. 任意类型二叉树的数组表示 </p>
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回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空结点，并且最底层的结点尽量靠左，因而所有空结点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
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回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空节点，并且最底层的节点尽量靠左，因而所有空节点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
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<p align="center"> Fig. 完全二叉树的数组表示 </p>
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数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问结点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少结点的数据，空间利用率很低。
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数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问节点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少节点的数据，空间利用率很低。
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Reference in New Issue
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