build

ru/docs/chapter_graph/graph.md

@@ -0,0 +1,103 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 9.1   Граф
+
+<u>Граф (graph)</u> - это нелинейная структура данных, состоящая из <u>вершин (vertex)</u> и <u>ребер (edge)</u>. Мы можем абстрактно представить граф $G$ как множество вершин $V$ и множество ребер $E$ . В примере ниже показан граф, содержащий 5 вершин и 7 ребер.
+
+$$
+\begin{aligned}
+V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
+E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
+G & = \{ V, E \} \newline
+\end{aligned}
+$$
+
+Если рассматривать вершины как узлы, а ребра как ссылки (указатели), соединяющие эти узлы, то граф можно считать структурой данных, выросшей из связного списка. Как показано на рисунке 9-1, **по сравнению с линейными отношениями (связный список) и отношениями разделения (дерево), сетевые отношения (граф) обладают большей свободой** , а потому и сложнее.
+
+![Связь между связным списком, деревом и графом](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> Рисунок 9-1 &nbsp; Связь между связным списком, деревом и графом </p>
+
+## 9.1.1 &nbsp; Распространенные типы и термины графов
+
+В зависимости от того, имеют ли ребра направление, графы делятся на <u>неориентированные графы (undirected graph)</u> и <u>ориентированные графы (directed graph)</u> , как показано на рисунке 9-2.
+
+- В неориентированном графе ребро означает "двустороннюю" связь между двумя вершинами, например отношение "друзья" в WeChat или QQ.
+- В ориентированном графе ребро имеет направление, то есть ребра $A \rightarrow B$ и $A \leftarrow B$ независимы друг от друга, как, например, отношения "подписка" и "подписчик" в Weibo или Douyin.
+
+![Ориентированный и неориентированный графы](graph.assets/directed_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> Рисунок 9-2 &nbsp; Ориентированный и неориентированный графы </p>
+
+В зависимости от того, достижимы ли все вершины друг из друга, граф делится на <u>связный граф (connected graph)</u> и <u>несвязный граф (disconnected graph)</u> , как показано на рисунке 9-3.
+
+- В связном графе, начиная из некоторой вершины, можно добраться до любой другой вершины.
+- В несвязном графе, начиная из некоторой вершины, по крайней мере одна вершина оказывается недостижимой.
+
+![Связный и несвязный графы](graph.assets/connected_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> Рисунок 9-3 &nbsp; Связный и несвязный графы </p>
+
+Мы также можем добавить к ребрам переменную "вес" и тем самым получить <u>взвешенный граф (weighted graph)</u> , показанный на рисунке 9-4. Например, в мобильных играх вроде Honor of Kings система может вычислять "степень близости" между игроками по времени, проведенному в совместных играх; такую сеть близости можно описать взвешенным графом.
+
+![Взвешенный и невзвешенный графы](graph.assets/weighted_graph.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> Рисунок 9-4 &nbsp; Взвешенный и невзвешенный графы </p>
+
+Для структуры данных "граф" используются следующие распространенные термины.
+
+- <u>Смежность (adjacency)</u>: если между двумя вершинами существует ребро, то эти вершины называются "смежными". На рисунке 9-4 вершинам 2, 3, 5 смежна вершина 1.
+- <u>Путь (path)</u>: последовательность ребер, ведущая из вершины A в вершину B, называется "путем" от A до B. На рисунке 9-4 последовательность ребер 1-5-2-4 представляет один из путей от вершины 1 к вершине 4.
+- <u>Степень (degree)</u>: число ребер, принадлежащих вершине. Для ориентированного графа <u>входящая степень (in-degree)</u> показывает число ребер, ведущих в вершину, а <u>исходящая степень (out-degree)</u> показывает число ребер, исходящих из вершины.
+
+## 9.1.2 &nbsp; Представление графа
+
+Распространенные способы представления графа включают "матрицу смежности" и "список смежности". Ниже в качестве примера используется неориентированный граф.
+
+### 1. &nbsp; Матрица смежности
+
+Пусть число вершин графа равно $n$ ; тогда <u>матрица смежности (adjacency matrix)</u> использует матрицу размера $n \times n$ для представления графа: каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы отражают наличие ребра, то есть показывают, существует между двумя вершинами связь или нет.
+
+Как показано на рисунке 9-5, пусть матрица смежности обозначается как $M$ , а список вершин - как $V$ ; тогда элемент матрицы $M[i, j] = 1$ означает, что между вершинами $V[i]$ и $V[j]$ существует ребро, а элемент $M[i, j] = 0$ означает, что ребра между ними нет.
+
+![Представление графа матрицей смежности](graph.assets/adjacency_matrix.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> Рисунок 9-5 &nbsp; Представление графа матрицей смежности </p>
+
+Матрица смежности обладает следующими особенностями.
+
+- В простом графе вершина не может соединяться сама с собой, поэтому элементы на главной диагонали матрицы смежности не имеют смысла.
+- Для неориентированного графа ребра в двух направлениях эквивалентны, поэтому матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.
+- Если заменить в матрице смежности значения $1$ и $0$ на веса, то можно представить и взвешенный граф.
+
+При представлении графа матрицей смежности мы можем напрямую обращаться к элементам матрицы, чтобы получить информацию о ребрах, поэтому операции добавления, удаления, поиска и изменения обладают высокой эффективностью, равной $O(1)$ . Однако пространственная сложность матрицы равна $O(n^2)$ , поэтому она занимает заметный объем памяти.
+
+### 2. &nbsp; Список смежности
+
+<u>Список смежности (adjacency list)</u> использует $n$ связанных списков для представления графа, где узлы списка обозначают вершины. $i$-й список соответствует вершине $i$ и хранит все вершины, смежные с ней, то есть все вершины, соединенные с этой вершиной. На рисунке 9-6 показан пример графа, представленного списком смежности.
+
+![Представление графа списком смежности](graph.assets/adjacency_list.png){ class="animation-figure" }
+
+<p align="center"> Рисунок 9-6 &nbsp; Представление графа списком смежности </p>
+
+Список смежности хранит только реально существующие ребра, а общее число ребер обычно значительно меньше $n^2$ , поэтому этот способ существенно экономит пространство. Однако для поиска ребра в списке смежности нужно проходить по списку, поэтому по времени он уступает матрице смежности.
+
+Если посмотреть на рисунок 9-6, можно заметить, что **структура списка смежности очень похожа на "метод цепочек" в хеш-таблице, поэтому для оптимизации эффективности здесь можно использовать сходные идеи**. Например, когда список становится слишком длинным, его можно преобразовать в AVL-дерево или красно-черное дерево, чтобы улучшить временную сложность с $O(n)$ до $O(\log n)$ ; можно также превратить его в хеш-таблицу и снизить сложность до $O(1)$ .
+
+## 9.1.3 &nbsp; Типичные применения графов
+
+Как показано в таблице 9-1, многие реальные системы можно моделировать графами, а соответствующие задачи затем сводить к задачам вычислений на графах.
+
+<p align="center"> Таблица 9-1 &nbsp; Распространенные графы в реальной жизни </p>
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+|          | Вершина | Ребро                | Задача вычислений на графе |
+| -------- | ------- | -------------------- | -------------------------- |
+| Социальные сети | Пользователь | Дружеская связь     | Рекомендация потенциальных друзей |
+| Линии метро | Станция | Связность между станциями | Рекомендация кратчайшего маршрута |
+| Солнечная система | Небесное тело | Гравитационное взаимодействие между телами | Вычисление орбит планет |
+
+</div>

ru/docs/chapter_graph/index.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+---
+comments: true
+icon: material/graphql
+---
+
+# Глава 9.   Графы
+
+![Графы](../assets/covers/chapter_graph.jpg){ class="cover-image" }
+
+!!! abstract
+
+    На жизненном пути мы подобны узлам, соединенным бесчисленными невидимыми ребрами.
+    
+    Каждая встреча и каждое расставание оставляют в этой огромной сети свой особый след.
+
+## Содержание главы
+
+- [9.1   Граф](graph.md)
+- [9.2   Базовые операции над графами](graph_operations.md)
+- [9.3   Обход графа](graph_traversal.md)
+- [9.4   Резюме](summary.md)

ru/docs/chapter_graph/summary.md

@@ -0,0 +1,35 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 9.4   Краткие итоги
+
+### 1.   Основные моменты
+
+- Граф состоит из вершин и ребер и может быть задан как множество вершин и множество ребер.
+- По сравнению с линейными отношениями (связный список) и отношениями разделения (дерево), сетевые отношения (граф) обладают большей свободой и потому более сложны.
+- Ребра ориентированного графа имеют направление, в связном графе любые вершины достижимы друг из друга, а в взвешенном графе каждое ребро несет переменную веса.
+- Матрица смежности использует матрицу для представления графа: каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы показывают, есть между двумя вершинами ребро или нет. Матрица смежности очень эффективна для операций добавления, удаления, поиска и изменения, но расходует больше памяти.
+- Список смежности использует несколько списков для представления графа; $i$-й список соответствует вершине $i$ и хранит все ее смежные вершины. По сравнению с матрицей смежности список смежности экономит пространство, но для поиска ребра в нем приходится обходить список, поэтому по времени он уступает.
+- Когда списки в списке смежности становятся слишком длинными, их можно преобразовать в красно-черное дерево или хеш-таблицу, чтобы ускорить поиск.
+- С точки зрения алгоритмической идеи матрица смежности отражает принцип "обмен пространства на время", а список смежности - принцип "обмена времени на пространство".
+- Графы можно использовать для моделирования различных реальных систем, таких как социальные сети, линии метро и так далее.
+- Дерево является частным случаем графа, а обход дерева - частным случаем обхода графа.
+- Обход графа в ширину представляет собой способ поиска, который расширяется от ближнего к дальнему и обычно реализуется с помощью очереди.
+- Обход графа в глубину представляет собой способ поиска, который сначала идет до самого конца, а затем возвращается назад, когда путь исчерпан; обычно он реализуется на основе рекурсии.
+
+### 2.   Q & A
+
+**Q**: Что считается путем: последовательность вершин или последовательность ребер?
+
+Определение в разных языковых версиях Википедии различается: в английской версии путь определяется как "последовательность ребер", а в китайской версии - как "последовательность вершин". В английской версии исходная формулировка выглядит так: In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices.
+
+В этой книге путь рассматривается как последовательность ребер, а не как последовательность вершин. Причина в том, что между двумя вершинами может существовать несколько ребер, и в таком случае каждому ребру соответствует свой путь.
+
+**Q**: Есть ли в несвязном графе вершины, до которых нельзя дойти?
+
+В несвязном графе, начиная из некоторой вершины, по крайней мере одна вершина оказывается недостижимой. Чтобы обойти весь несвязный граф, нужно задать несколько стартовых точек и обойти все связные компоненты графа.
+
+**Q**: Есть ли требования к порядку вершин в списке "всех вершин, соединенных с данной вершиной" в списке смежности?
+
+Порядок может быть произвольным. Но на практике может понадобиться сортировка по определенному правилу, например по порядку добавления вершин или по возрастанию значений вершин; это помогает быстро находить вершины с некоторым экстремальным свойством.